Quantum Field Theory II

理想 (环论)[编辑]





[ltr]理想（Ideal）是一个抽象代数中的概念。[/ltr]

• 1 定义
  
  
  
  • 1.1 示例
    
  • 1.2 一些结论
    
  
  
  
• 2 生成理想
  
• 3 主理想
  
• 4 相关概念和结论
  
• 5 参见
  

[ltr]

定义[编辑]
环(R,+,·)，易知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：[/ltr]

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
   
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。
   

[ltr]
类似地，I称为R的左理想，若以下条件成立：[/ltr]

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
   
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。
   

[ltr]
若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称R上的理想。
示例[编辑][/ltr]

• 整数环的理想：整数环Z只有形如nZ的理想。
  

[ltr]
一些结论[编辑][/ltr]

• 在环中，(左或右)理想的交和并仍然是(左或右)理想。
  

• 对于R的两个理想A，B，记。按定义不难证明：
  

• (1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想。
  
• (2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想。
  
• (3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
  

• R的子集I是R的理想，若I满足：
  
  
  
  1. ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
     
  2. ∀a ∈ I, r ∈ R， 则a·r∈ I。
     
  
  
  

• 交换环的理想：交换环的理想都是双边理想。
  

• 除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
  

[ltr]
生成理想[编辑]
如果A环R的一个非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，则<A>是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：[/ltr]

• (1) 当是交换环时，<A>=RA+ZA
  

• (2) 当是有单位元1的环时，<A>=RAR
  

• (3) 当是有单位元交换环时，<A>=RA
  

[ltr]

主理想[编辑]
设集合A = {a₁,a₂,...,a_n}，则记<A> = <a₁,a₂,...,a_n>，称是有限生成理想.特别当是单元素集时，称为环R的主理想。注意作为生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：
[/ltr]

• 性质：
  

[ltr]
几类特殊环中的主理想：[/ltr]

• (1) 如果是交换环，则
  

• (2) 如果是有单位元的环，则
  

• (3) 如果是有单位元的交换环，则
  

[ltr]

　　
相关概念和结论[编辑][/ltr]

• 真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的真理想。
  
• 极大理想： 环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
  
  
  
  • 极大左理想：设 I 是环R的左理想，若I ≠ R并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
    
    
    
    1. 如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
       
    2. 极大理想未必是极大左理想。
       
    
    
    
  • 单环：在幺环中，若零理想是其极大理想，称该环为单环。
    
    
    
    • 除环是单环，其零理想是极大理想。
      
    • 域是单环。
      
    
    
    
  • 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
    
  • 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
    
  • 设I是环R的左理想，则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有 I+J=R。
    
  
  
  

• 素理想：环 R 的真理想 I 被称为素理想，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I 或 B ⊆ I。
  
• 素环：若环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。
  
  
  
  • 无零因子环是素环。
    
  • 在交换环 R 中，真理想 I 是素理想的充要条件是： R / I 是素环。
    
  
  
  
• 准素理想：环R的真理想I。若∀R上的理想P，有P² ⊆ I ⇒ P ⊆ I，称 I 是 R的准素理想。
  
  
  
  • 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。
    
  
  
  

[ltr]
参见[编辑][/ltr]

• 理想 (序理论)
  

[th] [隐藏] 查  论  编 与抽象代数相关主题[/th][th]群论[/th][th]环论[/th][th]域论[/th] 代数系统 | 群 | 半群 | 幺半群 | 环 | 域 | 伽罗瓦域 | 本原元 | 格 | 逆元素 | 等价关系 |同构基本定理 | 合成列 | 自由对象 子群 | 阶 | 阿贝尔群 | 非阿贝尔群 | 循环群 | 有限群 | 李群 | 中心 | 陪集 |正规子群 | 拉格朗日定理 | 幂零群 | 商群 | 双陪集 | 共轭类 | 群表示 | 群作用 |交换子 | 中心化子和正规化子 | 交换子群 | 可解群 | p-群 | 对称群 | 西罗定理 |稳定子群 | 单群 | 半单群 | 典型群 | 自由群 整环 | 除环 | 多项式环 | 环的理想 | 模 | 幂零元 | 特征 | 主理想环 | 唯一分解环| 素环 | 商环 | 自由模 | 平坦模 | 诺特环 | 完备化 | 阿廷模 | 诺特模 | 局部化 |深度 (模论) | 局部环 | 赋值环 | 交换环上的代数 | 单模 域扩张 | 有限域 | 原根 | 有限扩张 | 超越扩张 | 代数闭域 | 局部域 | 分式环 |单扩张 | 代数扩张 同态 | 同构 | 商结构（商系统） 在抽象代数里，环的理想称为主理想（principal ideal），若 如果所有的理想都是主理想，则称为主理想环。 素理想[编辑] 关于序理论中的素理想，请见“理想 (序理论)”。 [ltr] 在数学中，素理想是环的一个子集，与整数环中的素数共享许多重要的性质。 目录   [隐藏]  [/ltr] 1 正式定义 2 交换环的素理想 2.1 例子 2.2 性质 3 非交换环的素理想 3.1 例子 4 参考文献 [ltr] 正式定义[编辑][/ltr] 环R的理想P是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，P ≠ R），且对于R的任何两个理想A和B使得AB ⊆ P，都有A ⊆ P或B ⊆ P。 [ltr] 交换环的素理想[编辑] 素理想对交换环有一个较简单的描述：如果R是一个交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：[/ltr] 只要a，b是R的两个元素，使得它们的乘积ab位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。 P不等于整个环R。 [ltr] 这推广了素数的以下性质：如果p是一个素数，且p能整除两个整数的乘积ab，那么p要么能整除a，要么能整除b。因此，我们可以说： 正整数n是素数，当且仅当理想nZ是Z的素理想。 例子[编辑][/ltr] 如果R表示复系数二元多项式环C[X, Y]，那么由多项式Y2 − X3 − X − 1生成的理想是素理想（参见椭圆曲线）。 在整系数多项式环Z[X]中，由2和X生成的理想是素理想。它由所有系数项为偶数的多项式组成。 在任何环R中，极大理想是一个理想M，它是R的所有真理想的集合中的极大元，也就是说，M包含在R的正好两个理想内，即M本身和整个环R。每一个极大理想实际上是素理想；在主理想整环中，每一个非零的素理想都是极大的，但这一般不成立。 如果M是光滑流形，R是M上的光滑函数环，而x是M中的一个点，那么所有满足f(x) = 0的光滑函数f形成了R内的一个素理想（甚至是极大理想）。 [ltr] 性质[编辑][/ltr] 交换环R中的理想I是素理想，当且仅当商环R/I是整环。 环R的理想I是素理想，当且仅当R \ I在乘法运算下封闭。 每一个非零的交换环都含有至少一个素理想（实际上它含有至少一个极大理想），这是克鲁尔定理的一个直接结果。 一个交换环是整环，当且仅当{0}是一个素理想。 一个交换环是域，当且仅当{0}是唯一的素理想，或等价地，当且仅当{0}是一个极大理想。 一个素理想在环同态下的原像是素理想。 两个素理想的和不一定是素理想。例如，考虑环，它的素理想为P = (x2 + y2 - 1)和Q = (x)（分别由x2 + y2 - 1和x生成）。然而，它们的和P + Q = (x2 + y2 - 1 , x) = (y2 - 1 , x)不是素理想。注意商环具有零因子意味着不是整环，因此P + Q不能是素理想。 [ltr] 非交换环的素理想[编辑] 如果R是非交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：[/ltr] 只要a，b是R的两个元素，使得对于R的所有元素r，它们的乘积arb都位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。 P不等于整个环R。 [ltr] 对于交换环，这个定义等价于前面所述的定义。对于非交换环，这两个定义是不同的。使ab位于P内意味着a或b位于P内的理想称为完全素理想。完全素理想是素理想，但反过来不成立。例如，n × n矩阵环中的零理想是素理想，但不是完全素理想。 例子[编辑][/ltr] 任何极大理想都是素理想。 任何本原理想都是素理想。 任何素环的零理想都是素理想。 [ltr] 参考文献[编辑][/ltr] David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra 第三版. John Wiley & Sons, Inc. 2004年: 第255–256页.

准素理想[编辑]



[ltr]在交换代数中，一个交换环  里的理想  若满足 ，而且其中每个零除数都是幂零的，则称之为准素理想。另一种等价的刻画是：对任意 ，若 ，则或有 ，或 。
若设  为  的根（必为素理想），则也称  为P-准素理想。
任何素理想都是准素理想。在整数环  中，准素理想对应到素数的幂。
一般而言，对任何 -模 ，定义

其中 。
对于子模 ，若  只有一个元素 ，则称  为 -准素子模。取 ，便回到先前的定义。
参见[size=13][编辑]
[/ltr][/size]

• 准素分解
  

[size][ltr]
文献[编辑]
[/ltr][/size]

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6MR1322960
  
• V. T. Markov, Primary Ideal//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104
  

[size][ltr]
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群作用[编辑]



[size][ltr]
数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。
定义[编辑]
若为一个群而为一个集合，则在上的一个(左) 群作用是一个二元函数

(其中和的像写作)，满足如下两条公理：
[/ltr][/size]

1.  对于所有  和 成立
   
2. 对于每个成立 (代表的幺元)
   

[size][ltr]
从这两条公理，可以得出对于每个，映射到的函数是一个双射，从映射到。因此，也可以将在上的群作用定义为从到对称群的群同态。
若群作用给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。
完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数，满足以下公理：
[/ltr][/size]

1. 
   
2. 
   

[size][ltr]
注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则

是一左作用，因为

而

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。
[/ltr][/size]

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域 (数学)[编辑]





[ltr]在抽象代数中，域（Field）是一种可进行加、减、乘和除（除了除以零之外）运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。
域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元素之外）可以进行除法运算，这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时，在现代的定义中，域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps)，或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中，除环被称为“域”，而现代意义上的域被称为“交换域”。[/ltr]

• 1 定义
  
  
  
  • 1.1 定义 1
    
  • 1.2 定义 2
    
  • 1.3 定义 3
    
  
  
  
• 2 例子
  
• 3 基本性质
  
• 4 参见
  

[ltr]

定义[编辑]
定义 1[编辑]
域是交换性除环。
定义 2[编辑]
域是一种交换环 (F, +, *)，当中加法单位元（0）不等于乘法单位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。
定义 3[编辑]
域明确的满足如下性质：
在加法和乘法上封闭 对所有属于F的，和属于F（另一种说法：加法和乘法是F上的二元运算）。加法和乘法符合结合律 对所有属于F的，，加法和乘法符合交换律 对所有属于F的, ，符合乘法对加法的分配律 对所有属于F的，存在加法单位 在F中有元素0，使得所有属于F的，存在乘法单位 在F中有不同于0的元素1，使得所有属于F的，存在加法逆元 对所有属于F的，存在使得存在乘法逆元 对所有，存在元素使得
其中0 ≠ 1 的要求排除了没有什么意义的只由一个元素组成的域。
由以上性质可以得出一些最基本的推论:
−(a * b) = (−a) * b = a * (−b)a * 0 = 0如果 a * b = 0 ，则要么 a = 0 ，要么 b = 0
例子[编辑][/ltr]

• 常见的数域都是域。比如说，全体复数的集合对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合也是一个域，它是的子域，并且不包含更小的子域了。
  

• 代数数域: 代数数域是有理数域的有限扩域，也就是说代数数域是上的有限维向量空间。代数数域都同构于的子域，并且这个同构保持不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
  

• 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作。是有理数域的代数闭包(见下)。是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
  

• 全体实数的集合对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
  

• 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是的一个子域。
  

• 任意一个有限域的元素个数是一个素数 q 的乘方，一般记作 F_q ，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数 q 的域都同构于 Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1} 。令 p = 2, 就得到最小的域：F₂ 。F₂ 只含有两个元素 0 和 1运算法则如下：
  

[ltr]
⊕ 0 1 ∧ 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1[/ltr]

• 设 E 和 F 是两个域， E 是 F 的子域，则 F 是 E 的 扩域。设 x 是 F 中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含 E 和 x 的 F 的子域，记作 E(x)， E(x)称作 E 在 F 中关于 x 的单扩张。比如说，复数域就是实数域在中关于 虚数单位 i 的单扩张。
  

• 每一个有乘法幺元的环 R 都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作 K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明， K(R) 是包含 R 的“最小”的域。
  

• 设 F 是一个域，定义 F(X) 是所有以 F 中元素为系数的分式的集合，则F(X) 是 F 的一个扩域。 F(X) 是 F 上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
  

• 设 F 是一个域， p(X) 是多项式环 F[X] 上的一个不可约多项式，则商环F[X]/<p(X)> 是一个域。其中的 <p(X)> 表示由 p(X) 生成的理想。举例来说， R[X]/<X² + 1> 是一个域(同构于复数域  )。可以证明， F 的所有单扩张都同构于此类形式的域。
  

• 若 V 是域 F 上的一个代数簇，则所有 V → F 的有理函数构成一个域，称为 V 的函数域。
  

• 若 S 是一个黎曼曲面，则全体 S → C 的亚纯函数构成一个域。
  

• 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于的所有自然数构成的子集）都是域。
  

[ltr]
基本性质[编辑][/ltr]

• 域F中的所有非零元素的集合(一般记作F^×) 是一个关于乘法的阿贝尔群。F^×的每个有限子群都是循环群。
  

• 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1 (n 个1)，那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数 p，要么是0（表示这样的n不存在）。 此时  中最小的子域分别是  或有限域 ，称之为  的素域。
  

• 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
  

• 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。
  

[ltr]
参见[编辑][/ltr]

• 特征 (代数)
  
• 环论
  
• 域论
  
• 有序域
  

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域扩张[编辑]



[ltr]域扩张（field extensions）是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象，基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为环扩张。

[/ltr]

1 定义

2 例子

3 基本性质

4 代数元与超越元



• 4.1 极小多项式
  
• 4.2 分裂域与代数闭包
  



5 域扩张的自同构群

6 正规、可分与伽罗瓦扩张

7 相关条目

8 注释

9 参考来源

[size][ltr]

定义[编辑]
设K和L是两个域。如果存在从K到L的域同态ι，则称(L,ι)是K的一个域扩张，记作L/K或K⊆L、K⊂L^[1]:9。K称为域扩张的基域，L称为K的扩域^[2]:2。如果某个域F既是K的扩域，又是L的子域，则称域扩张F/K是域扩张L/K的子扩张，称F（域扩张L/K的）中间域。
域扩张的记法L/K只是形式上的标记，不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为L:K。
另外，因为ι是域同态，所以ι是单射^[3]。由于K是域，所以ι(K)是一个L的同构于K的子域。很多时候也直接省略ι，直接将K视为L的一个子域^[1]:9。为了记叙方便，下文中将依情况使用这种省略方式^{[N 1]}。
设有域扩张L/K，给定一个由L中不属于ι(K)的元素组成的集合S，考虑L中所有同时包含ι(K)和S的子域，其中有一个“最小的”^{[N 2]}，称为“在K中添加（集合）S生成的扩域”，记作K(S)。它是所有同时包含ι(K)和S的域的子域^[2]:4-5。如果集合S只有一个元素a，则称域扩张K(S)/K为单扩张，对应的扩域一般简记作K(a)。a称为这个域扩张的本原元。
每个域扩张中，扩域可以看作是以基域为系数域的向量空间。设有域扩张L/K，将L中元素看作向量，K中元素看作系数，可以定义L中的域加法运算作为向量的加法运算，同时可以定义K中元素作为系数与L中元素的数乘运算。可以验证，在这样定义下，L是一个K-向量空间^[1]:9[2]:2。它的维数称为域扩张的次数或度数，一般记作[L:K]^[1]:9[2]:2。次数为1的扩张，扩域和基域同构，称为平凡扩张。次数有限的域扩张称为有限扩张，否则称为无限扩张^[1]:9[2]:2。
例子[编辑]
复数域是实数域的扩域，而则是有理数域的扩域。这样，显然也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数：。因为可以看作是以为基的实向量空间。故扩张是有限扩张^[1]:10。，所以这个扩张是单扩张。
集合是在中添加生成的扩域，显然也是一个单扩张。它的次数是2，因为因为可作为一个基。的有限扩张也称为代数数域，在代数数论有重要地位^[2]:2。
有理数的另一个扩张域是关于一个素数p的p进数域。它与类似，是有理数域完备化得到的数域。但由于使用的拓扑不同，所以与有着截然不同的性质。
对任何的素数p和正整数n，都存在一个元素个数为pⁿ的有限域，记作GF(pⁿ)。它是有限域GF(p)（即）的扩域。
给定域K和以K中元素为系数的K-不可约多项式P^{[N 3]}，P为K上的多项式环K[X]的元素。P生成的理想是极大理想，因此K[X]/P是域，而且是K的扩域。其中不定元X是多项式P的根。
给定域K，考虑所有以K中元素为系数的有理函数，即可以表示为两个以K中元素为系数的多项式P、Q之比：PQ的函数。它们构成一个域，记作K(X)，是多项式环K[X]的分式域。它是域K的扩域，次数为无限大^[1]:10。
基本性质[编辑]
设有域扩张L/K，则扩域L与K有相同的加法和乘法单位元。加法群 (K, +) 是 (L,+) 的一个子群，乘法群 (K^×, ·) 是 (L^×, ·) 的一个子群。因此，L与K有相同的特征。
设有域扩张L/K及某个中间域F，则域扩张F/K和L/F的次数乘积等于L/K的次数^[1]:10[2]:9：

代数元与超越元[编辑]
主条目：代数扩张
给定域扩张L/K，如果L中一个元素a是某个以K中元素为系数的（非零）多项式（以下简称为K-多项式）的根，则称a是K上的一个代数元，否则称其为超越元^[1]:10。如果L中每个元素都是K上的代数元，就称域扩张L/K为代数扩张，否则称其为超越扩张^[1]:11。例如和都是上的代数元，而e与π都是上的超越元^[1]:11。上的代数元和超越元分别叫做代数数与超越数。
每个有限扩张都是代数扩张，反之则不然^[2]:10-11。超越扩张必然是无限扩张。给定域扩张L/K，如果L中元素要么属于K，要么是K上的超越元，则称L是K的纯超越扩张。一个单扩张如果由添加代数元生成则是有限扩张，如果由添加超越元生成则是纯超越扩张。
极小多项式[编辑]
主条目：极小多项式
给定域扩张L/K，如果L中一个元素a是K上的代数元，那么在所有使得f(a) = 0的首一K-多项式f中，存在一个次数最小的，称为a在K上的极小多项式，记为π_a^[1]:11-12。设π_a为n次多项式，则中间域K(a)等于所有以a为不定元的K-多项式的集合。更具体地说，等于所有以a为不定元的、次数严格小于n的K-多项式的集合：K(a) = K[a] = K_n-1[a]。这说明K(a)中任何元素b都可以写成的形式。其中是n个K中元素。由于π_a是极小多项式，所以可推出：是中间域K(a)作为K-向量空间的基。扩张K(a)/K的次数是[K(a) : K] = n.
分裂域与代数闭包[编辑]
主条目：分裂域和代数闭域
分裂域是将某个多项式的根全部添加到其系数域中生成的域扩张，将多项式转化为域扩张进行研究。给定域扩张L/K，称一个K-多项式f在L中分裂，如果f可以写成：

的形式，即f的每个根都是L中的元素^[2]:27-28。如果f在L中分裂，但不在L的任何一个包含K的真子域中分裂（也就是说L是令f在其中分裂的“最小”的域扩张），就称L是f在K上的分裂域^[2]:28。
给定域K，如果所有K-多项式在K分裂，则称K为代数闭域^[2]:30。给定代数扩张L/K，如果L是代数闭域，则称其为K的代数闭包，一般记作K^alg[2]:31。给定K，则它所有的代数闭包都是K-同构的^{[N 4][2]:35}。
域扩张的自同构群[编辑]
除了将扩域看作基域上的向量空间外，另一个研究域扩张的角度是考察域扩张的自同构群。给定域扩张L/K，L上的一个自同构σ被称为K-自同构，当且仅当σ限制在K上的部分是平凡的（即为恒等映射）^[2]:15-16：

所有的K-自同构组成一个群，称为域扩张的自同构群，记作Aut(L/K)。这些自同构描绘了K“以外”的元素可以怎样相互变换而保持域L的域结构不变^[2]:15-16。
正规、可分与伽罗瓦扩张[编辑]
主条目：正规扩张和伽罗瓦扩张
伽罗瓦扩张是伽罗瓦理论中的基础概念。有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理，在此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域之间建立了一一对应的关系，从而给出了中间域的清晰描述。
一般定义伽罗瓦扩张是正规且可分的域扩张^[2]:42。一个域扩张L/K称为正规扩张，如果对任何一个以K中元素为系数的不可约多项式P，只要它有一个根在L中，则它的所有根都在L中，也就是说可以分解为L上一次因式的乘积^[2]:36。正规扩张也叫做准伽罗瓦扩张，它与伽罗瓦扩张的差别是伽罗瓦扩张还是可分扩张。一个代数扩张L/K称为可分扩张，如果L中每个元素在K上的极小多项式是可分的，即（在 K的一个代数闭包中）没有重根^[2]:42。从以上正规扩张和可分扩张的定义中可以推出：一个域扩张L/K是伽罗瓦扩张，当且仅当它是某个以K中元素为系数的可分多项式的分裂域^[2]:42。
伽罗瓦扩张的自同构群称为其伽罗瓦群，记作Gal(L/K)。它的阶数（群中元素个数）等于伽罗瓦扩张的次数：[L:K]= | Gal(L/K) |。伽罗瓦理论基本定理说明，当伽罗瓦扩张是有限扩张的时候，给定Gal(L/K)的任一个子群H，唯一存在一个中间域K⊂L^H⊂L与之对应，这个域L^H恰好是L中对所有的H中的自同构固定的元素的集合^[2]:51：

这种对应关系被称作伽罗瓦对应。给定Gal(L/K)的子群H，L^H被称为H的对应域。伽罗瓦对应建立了特定条件下域扩张与群论之间转化的纽带，通过研究特定群的结构，可以给出域扩张的仔细刻画。
相关条目[编辑]
[/ltr][/size]

• 域论
  
• 域论术语
  

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注释[编辑]
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1. ^ 即，在不需要强调ι的时候，可以默认基域K是扩域L的子域。
   
2. ^ 称某个代数结构是“最小”的，是指它是所有满足条件的代数结构的子集。如果承认佐恩引理，则这样的“最小”者一定存在：它是所有满足条件的代数结构的交集。下文同。
   
3. ^ 这里的“多项式”指单变量多项式，下文同。
   
4. ^ 即两者间存在环同构φ，并且它限制在K上的部分是平凡的（恒等映射）。
   

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参考来源[编辑]
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1. ^ ^{1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11} Antoine Chambert-Loir. A Field Guide to Algebra. Springer（插图版）. 2005.ISBN 9780387214283 （英文）.
   
2. ^ ^{2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.162.17 2.18 2.19} Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer（插图版）. 1996. ISBN 9780387947532 （英文）.
   
3. ^ Francis Borceux, George Janelidze. Galois Theories. Cambridge University Press（插图版, 再版）. 2001: Preface: x. ISBN 9780521803090（英文）.
   

代数几何[编辑]

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[ltr]
代数几何是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点，而现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。
代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。
代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。
进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支：[/ltr]

• 研究代数簇中，坐标在有理数域或代数数域里的点；这一分支发展成算术几何（更经典地，丢番图几何），属于代数数论的分支。
  
• 研究代数簇的实点，即实代数几何。
  
• 奇点理论的一大部分致力于研究代数簇中的奇异点，及关于奇异点的解消的存在性和方法。
  
• 代数簇的上同调理论，如晶体上同调、平展上同调、以及Motive上同调。
  
• 几何不变量理论，起始于戴维·芒福德在二十世纪六十年代的研究，其思想起源于大卫·希尔伯特的古典不变量理论。
  
• 随着计算机的兴起，计算代数几何作为代数几何与符号运算两支的交叉而崭露头角。这一分支本质上包含开发算法和软件与寻找显代数簇的性质这两项工作。
  

[ltr]
20世纪以来，代数几何主流的许多进展都在抽象代数的框架内进行，越发强调代数簇“内蕴的”性质，即那些不取决于代数簇在射影空间的具体嵌入方式的性质，与拓扑学、微分几何及复几何等学科的发展相应。抽象代数几何的一大关键成就是格罗滕迪克的概形论；概形论允许人们应用层论研究代数簇，某种意义上与应用层论研究微分流形与解析流形是否相似。概形论延伸了点的概念。在经典代数几何中，根据希尔伯特零点定理，一个仿射代数簇的一点对应于坐标环上的一个极大理想，仿射概形上的子簇则对应于坐标环的素理想。而在概型论中，概型的点集包含了经典情况代数簇的点集，以及所有子簇的信息。这种方法使得经典代数几何（主要涉及闭点）同时联系起了微分几何、数论等主流分支的问题研究。[/ltr]

• 1 联立多项式的零点
  
• 2 仿射簇
  
• 3 正则函数
  
• 4 仿射簇范畴
  
• 5 射影空间
  
• 6 现代的观点
  
• 7 与数论的关系;Hodge 结构
  
• 8 极小模型与双有理几何
  
• 9 与拓扑场论的关系
  
• 10 注解
  
• 11 参见
  
• 12 参考书目
  

[ltr]

联立多项式的零点[编辑][/ltr]


[ltr]
在古典代数几何中，主要的研究对象是一组多项式的公共零点集，即同时满足一个或多个多项式方程的所有点组成的集合。 例如，在三维欧几里德空间中的单位球面被定义为满足方程

的所有点的集合。
一个 "倾斜的" 圆周在三维欧几里德空间中可以被定义为同时满足如下两个方程
，
的所有点的集合。
仿射簇[编辑]
现在我们开始进入稍微抽象的领域。考虑一个数域 k，在古典代数几何中这个域通常是复数域C，现在我们把它推广为一个代数封闭的数域。我们定义数域 k上的 n维仿射空间，简单讲来，它只是一些点的集合，以下为方便我们简记为。
如果函数

可以被写为多项式，即如果有多项式p在
k[x₁,...,x_n] 上，
对上的每个点
(t₁,...,t_n)
都有
f(t₁,...,t_n) = p(t₁,...,t_n)，定义这个函数是正则的。
n维仿射空间的正则函数正是数域 k上n个变量的多项式。我们将上的正则函数记为 。
正则函数[编辑]
仿射簇范畴[编辑]
射影空间[编辑]
现代的观点[编辑]
与数论的关系;Hodge 结构[编辑]
极小模型与双有理几何[编辑]
与拓扑场论的关系[编辑]
拓扑场论是数学物理中对sigma 模型（sigma model）的场做路径积分量子化的理论。
sigma 模型是从一个实二维曲面到一个固定空间的映射，再加上此二维曲面上一些丛的平滑截面。其中映射部份被称为玻色场（boson field），截面部份被称为费米场（fermi field）。该理论的主要目的是通过路径积分计算配分函数 （partition function）。
在一些特殊情况下，可以用局部化方法把配分函数原在无限维空间的积分化简为在有限维空间的积分。对不同的作用量（action）而言，这个过程给出了代数几何的几种计数理论，包括：[/ltr]

• Gromov Witten 不变量（即IIA型弦论）
  
• 辛流形里的全纯曲线计数
  
• Seiberg Witten不变量
  
• Chern Simon 数规范场
  

[ltr]
IIB型弦论则利用了 Hodge 结构的形变来计算。
注解[编辑]

参见[编辑]
参考书目[编辑]
经典教科书，先于概形:[/ltr]

• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe. Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press. 1994. ISBN 0-521-46900-7.
  
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel. Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press. 1994. ISBN 0-521-46901-5.
  
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel. Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press. 1994. ISBN 0-521-46775-6.
  

[ltr]
不使用概形的语言的现代教科书:[/ltr]

• Phillip Griffiths; Joe Harris. Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. 1994. ISBN 0-471-05059-8.
  
• Joe Harris. Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-97716-3.
  
• David Mumford. Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties 2nd ed. Springer-Verlag. 1995. ISBN 3-540-58657-1.
  
• Miles Reid. Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. 1988. ISBN 0-521-35662-8.
  
• Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space 2nd ed. Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-54812-2.
  

[ltr]
关于概形的教科书和参考书:[/ltr]

• David Eisenbud; Joe Harris. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 0-387-98637-5.
  
• 亚历山大·格罗滕迪克. 代数几何基础. Publications mathématiques de l'IHÉS. 1960.
  
• 亚历山大·格罗滕迪克. 代数几何基础 1 2nd ed. Springer-Verlag. 1971. ISBN 3-540-05113-9.
  
• Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997. ISBN 0-387-90244-9.
  
• David Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians 2nd ed. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-63293-X.
  
• Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-54812-2.
  

[ltr]
互联网上的资料:[/ltr]

• Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System
  
• Algebraic geometry entry on PlanetMath
  
• Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations
  

[th] [隐藏] 查  论  编 数学[/th][th]领域[/th][th]分支[/th] 数理逻辑 · 集合论 · 范畴论 · 代数 (初等 – 线性 – 多重线性 – 抽象) · 数论 · 分析/微积分 · 微分方程/动态系统 · 数学物理 · 数理统计 · 几何(代数 – 微分 – 有限) · 拓扑 · 动力系统 · 组合 · 泛函分析 · 博弈论 ·信息论 · 数值分析 · 最优化 · 计算 · 概率 · 表示 · 统计 · 三角 纯粹数学   应用数学   离散数学   计算数学 数学主题 · 注释：数学的领域也可根据“MSC分类标准”或“中国学科分类国家标准”进行分类。

代数曲线[编辑]





[ltr]在代数几何中，一条代数曲线是一维的代数簇。最典型的例子是射影平面  上由一个齐次多项式  定义的零点。[/ltr]

• 1 仿射曲线
  
• 2 射影曲线
  
• 3 代数函数域
  
• 4 复代数曲线与黎曼曲面
  
• 5 奇点
  
  
  
  • 5.1 判断方式
    
  • 5.2 奇点分类
    
  
  
  
• 6 曲线的例子
  
  
  
  • 6.1 有理曲线
    
  • 6.2 椭圆曲线
    
  • 6.3 亏格大于一的曲线
    
  
  
  
• 7 文献
  

[ltr]

仿射曲线[编辑]
定义在域  上的仿射代数曲线可以看作是  中由若干个 -元多项式  定义的公共零点，使得其维数为一。
利用结式，我们可以将变量消至两个，并化约到与之双有理等价的平面代数曲线 ，其中 ，因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。
射影曲线[编辑]
射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化，它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程 （） 中，我们作代换：

遂得到  个齐次多项式，它们在射影空间  中定义一条曲线，此射影曲线与开集  的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括  中的费马曲线 ，其上的有理点对应到费马方程  的互素整数解。
代数函数域[编辑]
更多资料：函数域
代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域  上的函数域  是超越次数为一的有限型域扩张，换言之：存在元素  使得  在  上超越，而且  是有限扩张。
以复数域  为例，我们可以定义复系数有理函数域 。变元  对代数关系  生成的域  是一个椭圆函数域，代数曲线  给出它的一个几何模型。
若基域  非代数封闭域，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域  并考虑其上的代数曲线 ，此方程定义了一个  的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而

代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。
复代数曲线与黎曼曲面[编辑]
更多资料：黎曼曲面
复射影曲线可以嵌入  维复射影空间 。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以采复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。
于是我们有三个相互等价的范畴：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与  上的函数域。因此一维复分析（包括位势论）、代数几何与域论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。
奇点[编辑]
判断方式[编辑]
曲线在一点  的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于  中的曲线：设该曲线由  个  个变元的齐次多项式  定义，若其雅可比矩阵 在区线上一点  满秩，则称它  点光滑；反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式  的选取无关，也与曲线的嵌入方式无关。
在平面射影曲线的例子，假设曲线  由齐次方程式  定义，则  的奇点恰为  上使得  为零的点，即：

在特征非零的域上，一条代数曲线仅有有限个奇点；无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可借着平面的拉开映射或正规化解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对代数封闭域上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。
奇点分类[编辑][/ltr]


[ltr]
曲线的奇点包括多重点（这是曲线的自交点）及尖点（如仿射曲线  之于原点 ，见右图）等等。一般来说，仿射平面曲线  在一点  的奇点性质可以透过下述方式理解：
透过平移，不妨假设 。将多项式  写成

其中  是  次齐次多项式。直观地想像， 在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项，设之为 。根据齐次性可以将之分解成

换言之，曲线在原点附近将近似于  条（含重复）直线  的联集。上式中相异的直线数  称作分支数，正整数  称作平面曲线在该点的重数，此外还有一个内在的不变量 ，其中  是该曲线的正规化态射。资料 [m, δ, r] 能够被用来分类奇点。例如一般尖点对应到 ，一般双重点对应到 ，而一般n重点则对应到 。
各奇点的不变量 δ_P决定平面曲线  的亏格：设 ，则有

对于在复数域上的平面曲线，John Milnor 以拓扑方式定义了不变量 μ，称为Milnor 数 ：同样假设 ，在原点附近够小的四维球  内有 ，此时有连续映射

由于  同伦等价于三维球面 ，于是可定义 μ 为此映射的拓扑次数。μ 与前述不变量的关系由下式表明：

事实上， 在 ε 够小时是  中的一个环圈，称作奇点环圈，它具有复杂的拓扑性质。例如： 在尖点附近的奇点环圈是三叶结。
曲线的例子[编辑]
有理曲线[编辑]
域  上的有理曲线是双有理等价于射影直线  的曲线，换言之，其函数域同构于单变元有理函数域 。当  代数封闭时，这也等价于该曲线之亏格为零，对一般的域则不然；实数域上由  给出的函数域亏格为零，而非有理函数域。
具体地说，一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线，例子请见条目有理正规曲线。
任何  上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下：过给定有理点  而斜率为  的直线交平面上一条二次曲线于两点，就 x 坐标来说，交点的 x 坐标是一个二次多项式的根，其中一个属于  的根已知，即  的 x 坐标；因此透过根与系数的关系得知另一根也属于 ，而且能表作  在  上的有理函数。y 坐标的作法相同。[/ltr]


[ltr]
例 . 考虑斜椭圆 ，其中  是有理点。画一条过该点且斜率为 t 之直线 ，并带入 E 的等式，于是得到：

这就给出 E 的有理参数化，于是证明了 E 是有理曲线。
将此结果置于射影几何的框架下，则能导出若干数论的结论。例如我们可在 E 中加入无穷远点，得到射影曲线

以上参数化遂表为

若取  为整数，对应的  是不定方程  的整数解；若将  代以 ，则此方程诠释为 θ=60° 时的余弦定理，借此能描述所有一角为 60° 且边长均为整数的三角形，例如取 ，就得到边长分别为 X=3, Y=8, Z=7 的三角形。
椭圆曲线[编辑]
更多资料：椭圆曲线
椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线，它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的反曲点为给定的有理点，这时该曲线可以写作射影版本的 Tate-魏尔施特拉斯形式：

椭圆曲线带有唯一的阿贝尔群结构，使得给定有理点为单位元素，且加法为代数簇的态射，因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形，三点和为零当且仅当它们共线。对于复数域上的椭圆曲线，此阿贝尔簇同构于 ，其中的  由相应的椭圆函数给出。
亏格大于一的曲线[编辑]
对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据 Falting 定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为黎曼曲面，它们则带有双曲几何的结构。例子包括超椭圆曲线、克莱因四次曲线与一开始提到的费马曲线在  的情形。
文献[编辑][/ltr]

• Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
  
• Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
  
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Su***ces, Springer, 1980
  
• Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
  
• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
  
• Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982
  
• John Milnor, Singular Points of Complex Hypersu***ces, Princeton University Press, 1968
  
• George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
  
• Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988
  

代数簇[编辑]



[ltr]本文是关于代数簇的。关于“一簇代数”的概念，和其区别的解释，请参看簇 (泛代数)。
代数几何学上，代数簇是多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是经典（某种程度上也是现代）代数几何的中心研究对象。
术语簇（variety）取自拉丁语族中词源（cognate of word）的概念，有基于“同源”而“变形”之意。
历史上，代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系，它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定，而根集合是内在的几何对象。在此基础上，希尔伯特零点定理提供了多项式环的理想和仿射空间子集的基本对应。利用零点定理和相关结果，我们能够用代数术语捕捉簇的几何概念，也能够用几何来承载环论中的问题。

[/ltr]

1 形式定义



• 1.1 仿射簇
  
• 1.2 射影簇
  
• 1.3 拟仿射簇与拟射影簇
  



2 基本结果

3 讨论与推广

4 参见

5 文献

[size][ltr]

形式定义[编辑]
仿射簇[编辑]
令 k 为代数封闭域并令为 k 上的 n 维仿射空间。 借着代值可以视之为上的-值函数。对任何子集，定义的零点为里使中所有元素取零值的点：
对于所有
若存在使得满足，则称之仿射代数集。一个非空代数集被称作不可约，当且仅当它无法被写成两个真代数子集的联集。不可约仿射代数集称作仿射代数簇。
借由将所有代数集定义为闭集，仿射簇可被赋与一个自然的拓扑结构，称之扎里斯基拓扑。
给定，令为所有在上取零值的函数所成的理想：

对任意仿射代数集，其座标环是多项式环对上述理想的商。
仿射簇之间的态射定义为多项式映射的限制。
射影簇[编辑]
令为  上的 n 维射影空间。虽然中的齐次多项式无法在齐次座标上取值（因为齐次坐标系实际上是一个等价类），其零点却可明确地定义。对任意齐次多项式集合 ，定义其零点为

若存在使得，则称之射影代数集。不可约性的定义同前。不可约射影代数集称作射影代数簇。
借着将所有代数集定为闭集，射影簇也赋有扎里斯基拓扑。
给定，令为所有在上取零的齐次多项式。对任意射影代数集，其齐次座标环定义为多项式环对此理想的商，这是一个分次环。
射影代数集可由一组有限的仿射开集覆盖。射影簇之间的映射被称作态射，当且仅当存在仿射开覆盖及，使得每个都是多项式映射。
拟仿射簇与拟射影簇[编辑]
一个仿射簇的开子集被称作拟仿射簇（例如，可证明它既非射影簇亦非仿射簇）；同理，一个射影簇的开子集被称作拟射影簇。其间态射同样定义作局部上的多项式映射。
拟射影簇同时涵括了仿射簇、拟仿射簇与射影簇，它也是经典代数几何学的基本范畴。一个拟射影簇容许一组拓扑基，使得其中每个开集都是仿射簇；在此意义下，我们说一个拟射影簇可由仿射簇黏合而来。
基本结果[编辑]
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• 仿射代数集是簇的充要条件是为素理想；等价的说法是：是簇当且仅当其座标环是整环。
  
• 每个非空仿射代数集都可以表成代数簇的联集，使得此分解中的代数簇两两不相包含，且此表法唯一。
  
• 令表簇的座标环，的维度是的分式环对的超越次数。
  

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讨论与推广[编辑]
上述定义与事实让我们可以探讨经典代数几何。如欲更进一步（例如探讨非代数封闭域上的代数簇），则需要一些根本的改变。现行的代数簇概念较上述定义复杂，且适用于任何域：一个抽象代数簇是上的有限型分离整概形。
概形可表为有限个仿射概形沿着开集的黏合，而上的有限型仿射整概形不外就是仿射簇。因此我们可以沿着开集黏合有限多个上的仿射簇，从而得到抽象代数簇，且无须担心它是否可嵌入射影空间。这也引起一个问题：我们可能会得到病态的对象，例如将沿着黏合，遂得到带有两个原点的仿射直线；是故要求分离性以排除之。
某些现代学者还去掉定义中的整性，只要求每个仿射开集的座标环有平凡的幂零根。
上述的簇被称作塞尔意义下的簇，因为让-皮埃尔·塞尔的奠基之作Faisceaux algébriques cohérents（代数凝聚层）探讨了这类簇。尽管现在已有更抽象的对象作辅助，它们仍然是代数几何的踏脚石。
另一条推广的进路是容许可约代数集，所以其座标环不一定是整域；这在技术上只是一小步，更重要的推广是容许结构层中有幂零元素；幂零元无法被看作座标函数，也不影响拓扑结构。就范畴论观点，为了构造有限的射影极限（或构造纤维积），就必须容许幂零元。几何上而言，一个好的映射之纤维仍可能有“无穷小”结构。亚历山大·格罗滕迪克的概形论能融贯上述各种推广，但一般的“概形”仍不如“簇”来得富有几何直观。
此外尚有称作堆与代数空间的深入推广。
参见[编辑]
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• 函数域
  
• 奇点
  
• 双有理几何
  
• 阿贝尔簇
  
• 动形
  
• 概形
  

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文献[编辑]
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• Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997. ISBN 0387902449.
  
• David Cox; John Little, Don O'Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms second edition. Springer-Verlag. 1997. ISBN 0387946802.
  
• David Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1999. ISBN 0387942696.
  
• David Dummit; Richard Foote. Abstract Algebra third edition. Wiley. 2003. ISBN 0471433349.
  

黎曼－罗赫定理[编辑]





[ltr]黎曼–罗赫定理（Riemann–Roch theorem）是数学中，特别是复分析和代数几何，一个重要工具，它可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 g 的连通紧黎曼曲面上的复分析以某种方式可转换为纯代数设置。
此定理最初是黎曼不等式，对黎曼曲面的确定形式由黎曼短命的学生古斯塔·罗赫于1850年代证明。随后推广到代数曲面，高维代数簇，等等。[/ltr]

• 1 一些数据
  
• 2 定理的陈述
  
• 3 推广
  
• 4 脚注
  
• 5 参考文献
  

[ltr]

一些数据[编辑]
我们从一个亏格 g 的连通紧黎曼曲面开始，在上面取定一点 P。我们想知道极点只在 P 的函数。这是向量空间的一个递增序列：没有极点的函数（即常值函数），在 P 有单极点，在P 点最多有两个极点，三个极点……这些空间都是有限维的。在 g=0 我们可知维数的序列前几项为
1, 2, 3, ...:
这可由部分分式理论得出。反之，如果此序列开始为
1, 2, ...
则 g 必然是零（所谓黎曼球面）。
由椭圆函数理论知，g=1 时此序列是
1, 1, 2, 3, 4, 5 ...
且这也刻画了 g=1 情形。当 g > 2 时，序列前端不是固定的；但我们可以确定此序列的后端。我们也可以看到为什么 g=2 的情形是特殊的，由超椭圆曲线理论，其序列开始几项为
1, 1, 2, ...
这些结论为何具有这种形式可以追溯到此定理的表述（罗赫的部分）：两个维数之差。当其中一个可以为零，我们得到一个确定的公式，对亏格与度数（即自由度的个数）是线性的。这些例子已经可重构出如下形式
维数 − 修正项 = 度数 − g + 1。
对 g = 1，修正项当度数为 0 时是 1；其它情形是 0。整个定理说明修正项是函数空间的一个“补空间”的维数。
定理的陈述[编辑]
用现代记法，亏格为 g 的紧黎曼曲面与一个典范除子 K 的黎曼–罗赫定理表述为：
l(D) − l(K − D) = deg(D) − g + 1.
这对所有除子 D 均成立。除子是曲面上点的自由阿贝尔群中一个元素。等价地，一个除子是曲面上一些点的整系数线性组合。
我们定义一个亚纯函数 f 的除子为

这里 R(f) 是所有零点与极点的集合，而 s_ν 定义为[/ltr]

	，如果  是一个  重零点；
	，如果  是一个  阶极点。

[ltr]

我们类似地定义一个亚纯 1-形式的除子。一个整体亚纯函数的除子叫做主除子。相差一个主除子的两个除子称为线性等价。一个整体亚纯 1-形式的除子叫做典范除子（通常记作K）。任何两个亚纯 1-形式都是线性等价的，所以典范除子在线性等价的意义下是惟一的。
符号 deg(D) 表示除子 D 的度数，即在 D 中出现的系数之和。可以证明一个整体亚纯函数的除子的度数总是 0，所以除子的度数只取决于线性等价类。
数 l(D) 是首先感兴趣的量：使得 (h) + D 的所有系数都是非负的曲面上亚纯函数 h 组成的向量空间的维数（在 C 上）。直觉上，我们可以将其想象为在每一点处的极点不比 D 中对应系数更坏的所有亚纯函数；如果在 z 处 D 的系数是负数，则我们要求 h 在 z 处至少有那个重数的零点；如果 D 的系数是正数，h 最多有那个阶数的极点。线性等价的除子相应的向量空间通过乘以那个整体亚纯函数（这在差一个常数下是良定义的）是自然同构的。
即便我们对 K 一无所知，我们知道特殊性指标（index of speciality）^[1][2]（上文所说的修正项）
l(K − D) ≥ 0,
所以
l(D) ≥ deg(D) − g + 1
这就是早先提到的黎曼不等式。
上面定理对所有紧连通黎曼曲面都成立。这个公式对一个代数闭域 k 上所有非奇异射影代数曲线也成立。这里 l(D) 表示在每一点的极点不坏于 D 中对应系数的曲线上有理函数空间的维数（在 k 上）。
为了将其与我们上面的例子联系起来，我们需要 K 的一些信息：对 g=1 我们可取 K=0，而对 g=0 可取 K = −2P （任何 P）。一般地 K 的度数是 2g − 2。只要 D 的度数至少是 2g − 1 我们可确保修正项是 0。
回到 g= 2 的情形我们可知上面提到的序列是
1, 1, ?, 2, 3, ... .
由此知度数为 2 的不确定项是 1 或 2，当然与点的选择有关。可以证明任何亏格为 2 的曲线恰有六个点的序列是 1, 1, 2, 2, ... 而其它一般点的序列是 1, 1, 1, 2, ...。特别地，一个亏格 2 曲线是超椭圆曲线。对 g>2 几乎所有点的序列以 g+1 个 1 开始，只有有限个点为其它序列（参见魏尔斯特拉斯点）。
推广[编辑]
曲线的黎曼–罗赫定理对黎曼曲面由黎曼与罗赫于1850年代证明，对代数曲线由施密特于1929年证明。它是基本的，曲线后续理论试图加细它的结论（比如布里尔–诺特理论（Brill–Noether theory））。
在更高维（适当的定义除子或线丛）此定理有多个版本。它们的一般表述取决于将定理分成两部分。其一，现在称为塞尔对偶性，将 l(K − D) 项解释为第一层同调群的维数，l(D) 为零次上同调群（或截面的空间）的维数，定理左边成为一个欧拉示性数，而右边给出它的计算，正好只与黎曼曲面的拓扑有关的一个度数。
在二维代数几何中这样一个公式由意大利几何学派找到；代数曲面的黎曼-罗赫定理证明了（有各种版本，最早可能属于马克斯·诺特。这样的问题大约在1950年前解决了。
n-维推广，希策布鲁赫–黎曼–罗赫定理，由弗里德里希·希策布鲁赫找到并证明，利用了代数拓扑学中的示性类；他深受小平邦彦的工作影响。大约在同一时间让-皮埃尔·塞尔给出了塞尔对偶性的一般形式，故我们冠以他的姓氏。
亚历山大·格罗滕迪克于1957年证明了一个深远的推广，现在叫做格罗滕迪克–黎曼–罗赫定理。他的工作将黎曼–罗赫重新解释为不仅是关于一个簇的定理，而是关于两个簇之间的一个态射的。证明的细节由博雷尔–塞尔于1958年发表。
最后在代数拓扑中也找到了一个一般版本。这些发展本质上在1950年至1960年完成。阿蒂亚–辛格指标定理开启了这一条推广的道路。
它导致的结论是一个凝聚层相当好计算。如果只对交错和中一项感兴趣，这是通常的情形，必需更进一步的讨论比如消灭定理（vanishing theorem）。
脚注[编辑][/ltr]

1. ^ Stichtenoth p.22
   
2. ^ Mukai pp.295-297
   

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参考文献[编辑][/ltr]

• Borel, Armand & Serre, Jean-Pierre (1958), Le théorème de Riemann-Roch, d'après Grothendieck, Bull.S.M.F. 86 (1958), 97-136.
  
• Grothendieck, Alexander, et al. (1966/67), Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
  
• William Fulton. Algebraic Curves. Mathematics Lecture Note Series. W.A. Benjamin. 1974. ISBN 0-8053-3081-4 请检查
  

  代码:

  |isbn=

  值 (帮助)., available online at [1]
  
• Jost, Jürgen, Compact Riemann Su***ces, Berlin, New York: Springer-Verlag. 2006, ISBN 978-3-540-33065-3, see pages 208–219 for the proof in the complex situation. Note that Jost uses slightly different notation.
  
• Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1977, MR0463157, ISBN 978-0-387-90244-9, OCLC 13348052, contains the statement for curves over an algebraically closed field. See section IV.1.
  
• Hirzebruch, Friedrich, Topological methods in algebraic geometry, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1995, MR1335917, ISBN 978-3-540-58663-0. A good general modern reference.
  
• Shigeru Mukai; William Oxbury (translator). An Introduction to Invariants and Moduli. Cambridge studies in advanced mathematics 81. New York: Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-80906-1.
  
• Henning Stichtenoth. Algebraic Function Fields and Codes. Springer-Verlag. 1993. ISBN 3-540-56489-6.
  
• Misha Kapovich, The Riemann–Roch Theorem (lecture note) an elementary introduction
  
• J. Gray, The Riemann-Roch theorem and Geometry, 1854-1914.
  

卡拉比－丘流形[编辑]



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卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）在数学上是一个的第一陈类为0的紧致n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。数学家卡拉比（Eugenio Calabi）在1957年猜想所有这种流形（对于每个凯勒类）有一个里奇平坦流形的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理（Yau's theorem）。因此，卡拉比–丘流形也可定义为“紧里奇平坦卡拉比流形”（compact Ricci-flat Kähler manifold）。
也可以定义卡拉比–丘n流形为有一个SU(n)和乐（holonomy）的流形。再一个等价的定义是流形有一个全局非0的全纯(n,0)-形式。

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1 例子

2 在弦论中的应用

3 参看

4 文献

5 外部链接

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例子[编辑]
在复一维的情况，唯一的例子就是环面族。注意环上里奇平坦的度量就是一个平坦度量，所以和乐群（holonomy）是平凡群，也叫SU(1)。
在复二维的情形，环T⁴和K3曲面组成了仅有的实例。T⁴有时不被算作卡拉比–丘流形，因为其和乐群（也是平凡群）是SU(2)的子群而不是同构于SU(2)。从另一方面讲，K3曲面的和乐群是整个SU(2)，所以他可以真正成为2维的卡拉比–丘流形。
在复三维的情况，可能的卡拉比–丘流形的分类还是未解决的问题。3维卡拉比–丘流形的一个例子是复射影空间CP⁴中的非奇异的五次超曲面。
在弦论中的应用[编辑]
卡拉比–丘流形对于超弦理论很重要。在最常规的超弦模型中，弦论中有十个猜想中的维度，作为我们所知的4个维度出现，在加上某种纤维化，纤维的维度为6。卡拉比–丘n-流形的紧致化很重要，因为他们保持一些原有的超对称性不被破坏。更精确地说，卡拉比–丘 3-流形（实维度6）的紧致化保持四分之一的原有超对称性不变。
参看[编辑]
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• 超凯勒流形
  

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文献[编辑]
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• Besse, Arthur L., Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 10, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1987, ISBN 978-3-540-15279-8,OCLC 13793300
  
• Chan,Yat-Ming (2004)"Desingularization Of Calabi–Yau 3-Folds With A Conical Singularity"
  
• Calabi, Eugenio, The space of Kähler metrics, Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam, 2. 1954:  206–207
  
• Calabi, Eugenio, On Kähler manifolds with vanishing canonical class//Fox, Ralph H.; Spencer, D. C.; Tucker, A. W., Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton Mathematical Series, 12, Princeton University Press. 1957:  78–89
  
• Greene, Brian "String Theory On Calabi–Yau Manifolds"
  
• Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward, Vacuum configurations for superstrings, Nuclear Physics B. 1985, 258: 46–74, doi:10.1016/0550-3213(85)90602-9, Bibcode 1985NuPhB.258...46C
  
• Gross, M.; Huybrechts, D.; Joyce, Dominic, Calabi–Yau manifolds and related geometries, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag. 2003, ISBN 978-3-540-44059-8,OCLC 50695398
  
• Hitchin, Nigel, Generalized Calabi–Yau manifolds, The Quarterly Journal of Mathematics. 2003, 54 (3): 281–308, doi:10.1093/qmath/hag025
  
• Hübsch, Tristan, Calabi–Yau Manifolds: a Bestiary for Physicists, Singapore, New York: World Scientific. 1994, ISBN 981-02-1927-X, OCLC 34989218
  
• Im, Mee Seong (2008) "[url=http://silver.ima.umn.edu/2007-2008/SP7.14-25.08/activities/Im-Mee Seong/]Singularities-in-Calabi-Yau-varieties.pdf Singularities in Calabi–Yau varieties[/url]"
  
• Joyce, Dominic, Compact Manifolds with Special Holonomy, Oxford University Press. 2000, ISBN 978-0-19-850601-0, OCLC 43864470
  
• Tian, Gang; Yau, Shing-Tung, Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, I, Amer. Math. Soc.. 1990, 3 (3): 579–609, doi:10.2307/1990928
  
• Tian, Gang; Yau, Shing-Tung, Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, II, Invent. Math.. 1991, 106 (1): 27–60, doi:10.1007/BF01243902, Bibcode1991InMat.106...27T
  
• Yau, Shing Tung, On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I, Communications on Pure and Applied Mathematics. 1978,31 (3): 339–411, doi:10.1002/cpa.3160310304
  
• Yau, Shing-Tung, A survey of Calabi-Yau manifolds, Surveys in differential geometry. Vol. XIII. Geometry, analysis, and algebraic geometry: forty years of the Journal of Differential Geometry, Scholarpedia, Surv. Differ. Geom.. Int. Press, Somerville, MA. 2009, 4 (: 277–318, doi:10.4249/scholarpedia.6524
  

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外部链接[编辑]
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• （英文）Calabi-Yau Home Page
  

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Projective geometry

From Wikipedia, the free encyclopedia


[th]Geometry[/th]

P. Oxy. I 29, one of the Oxyrhynchus papyri, includes a fragment of Euclid's Elements.

History

Branches[show]

Concepts[show]

Geometers[show]

v t e

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In mathematics, projective geometry is the study of geometric properties that are invariant under projective transformations. This means that, compared to elementary geometry, projective geometry has a different setting, projective space, and a selective set of basic geometric concepts. The basic intuitions are that projective space has more points than Euclidean space, in a given dimension, and that geometric transformations are permitted that move the extra points (called "points at infinity") to traditional points, and vice versa.
Properties meaningful in projective geometry are respected by this new idea of transformation, which is more radical in its effects than expressible by a transformation matrix and translations (the affine transformations). The first issue for geometers is what kind of geometric language is adequate to the novel situation. It is not possible to talk about angles in projective geometry as it is inEuclidean geometry, because angle is an example of a concept not invariant under projective transformations, as is seen clearly inperspective drawing. One source for projective geometry was indeed the theory of perspective. Another difference from elementary geometry is the way in which parallel lines can be said to meet in a point at infinity, once the concept is translated into projective geometry's terms. Again this notion has an intuitive basis, such as railway tracks meeting at the horizon in a perspective drawing. Seeprojective plane for the basics of projective geometry in two dimensions.
While the ideas were available earlier, projective geometry was mainly a development of the nineteenth century. A huge body of research made it the most representative field of geometry of that time. This was the theory of complex projective space, since the coordinates used (homogeneous coordinates) were complex numbers. Several major strands of more abstract mathematics (including invariant theory, the Italian school of algebraic geometry, and Felix Klein's Erlangen programme leading to the study of the classical groups) built on projective geometry. It was also a subject with a large number of practitioners for its own sake, under the banner of synthetic geometry. Another field that emerged from axiomatic studies of projective geometry is finite geometry.
The field of projective geometry is itself now divided into many research subfields, two examples of which are projective algebraic geometry (the study of projective varieties) andprojective differential geometry (the study of differential invariants of the projective transformations).

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1 Overview

2 History

3 Description

4 Duality

5 Axioms of projective geometry



• 5.1 Whitehead's axioms
  
• 5.2 Axioms using a ternary relation
  
• 5.3 Axioms for projective planes
  



6 See also

7 Notes

8 References

9 External links

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Overview[edit]
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Projective geometry is an elementary non-metrical form of geometry, meaning that it is not based on a concept of distance. In two dimensions it begins with the study of configurations of points and lines. That there is indeed some geometric interest in this sparse setting was seen as projective geometry was developed by Desargues and others in their exploration of the principles of perspective art.^[1] In higher dimensional spaces there are considered hyperplanes (that always meet), and other linear subspaces, which exhibit the principle of duality. The simplest illustration of duality is in the projective plane, where the statements "two distinct points determine a unique line" (i.e. the line through them) and "two distinct lines determine a unique point" (i.e. their point of intersection) show the same structure as propositions. Projective geometry can also be seen as a geometry of constructions with a straight-edge alone.^[2] Since projective geometry excludes compass constructions, there are no circles, no angles, no measurements, no parallels, and no concept of intermediacy.^[3] It was realised that the theorems that do hold in projective geometry are simpler statements. For example the different conic sections are all equivalent in (complex) projective geometry, and some theorems about circles can be seen as special cases of these general theorems.
In the early 19th century the work of Poncelet, Lazare Carnot and others established projective geometry as an independent field of mathematics .^[3] Its rigorous foundations were addressed by Karl von Staudt and perfected by Italians Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa and Gino Fano late in the 19th century.^[4] Projective geometry, like affine andEuclidean geometry, can also be developed from the Erlangen program of Felix Klein; projective geometry is characterized byinvariants under transformations of the projective group.
After much work on the very large number of theorems in the subject, therefore, the basics of projective geometry became understood. The incidence structure and the cross-ratioare fundamental invariants under projective transformations. Projective geometry can be modeled by the affine plane (or affine space) plus a line (hyperplane) "at infinity" and then treating that line (or hyperplane) as "ordinary".^[5] An algebraic model for doing projective geometry in the style of analytic geometry is given by homogeneous coordinates.^[6][7] On the other hand axiomatic studies revealed the existence of non-Desarguesian planes, examples to show that the axioms of incidence can be modelled (in two dimensions only) by structures not accessible to reasoning through homogeneous coordinate systems.
[/ltr][/size][size][ltr]
In a foundational sense, projective geometry and ordered geometry are elementary since they involve a minimum of axiomsand either can be used as the foundation for affine and Euclidean geometry.^[8][9] Projective geometry is not "ordered"^[3] and so it is a distinct foundation for geometry.
History[edit]
The first geometrical properties of a projective nature were discovered in the third century A.D. by Pappus of Alexandria.^[3]Filippo Brunelleschi (1404–1472) started investigating the geometry of perspective in 1425^[10] (see the history of perspectivefor a more thorough discussion of the work in the fine arts that motivated much of the development of projective geometry).Johannes Kepler (1571–1630) and Gérard Desargues (1591–1661) independently developed the pivotal concept of the "point at infinity".^[11] Desargues developed an alternative way of constructing perspective drawings by generalizing the use of vanishing points to include the case when these are infinitely far away. He made Euclidean geometry, where parallel lines are truly parallel, into a special case of an all-encompassing geometric system. Desargues's study on conic sections drew the attention of 16-year old Blaise Pascal and helped him formulate Pascal's theorem. The works of Gaspard Monge at the end of 18th and beginning of 19th century were important for the subsequent development of projective geometry. The work of Desargues was ignored until Michel Chasles chanced upon a handwritten copy in 1845. Meanwhile, Jean-Victor Poncelet had published the foundational treatise on projective geometry in 1822. Poncelet separated the projective properties of objects in individual class and establishing a relationship between metric and projective properties. The non-Euclidean geometries discovered shortly thereafter were eventually demonstrated to have models, such as the Klein model of hyperbolic space, relating to projective geometry.
This early 19th century projective geometry was a stepping stone from analytic geometry to algebraic geometry. When treated in terms of homogeneous coordinates, projective geometry looks like an extension or technical improvement of the use of coordinates to reduce geometric problems to algebra, an extension reducing the number of special cases. The detailed study of quadrics and the "line geometry" of Julius Plücker still form a rich set of examples for geometers working with more general concepts.
The work of Poncelet, Steiner and others was not intended to extend analytic geometry. Techniques were supposed to be synthetic: in effect projective space as now understood was to be introduced axiomatically. As a result, reformulating early work in projective geometry so that it satisfies current standards of rigor can be somewhat difficult. Even in the case of the projective plane alone, the axiomatic approach can result in models not describable via linear algebra.
This period in geometry was overtaken by research on the general algebraic curve by Clebsch, Riemann, Max Noether and others, which stretched existing techniques, and then by invariant theory. Towards the end of the century the Italian school of algebraic geometry (Enriques, Segre, Severi) broke out of the traditional subject matter into an area demanding deeper techniques.
In the later part of the 19th century, the detailed study of projective geometry became less fashionable, although the literature is voluminous. Some important work was done inenumerative geometry in particular, by Schubert, that is now seen as anticipating the theory of Chern classes, taken as representing the algebraic topology of Grassmannians.
Paul Dirac studied projective geometry and used it as a basis for developing his concepts of Quantum Mechanics, although his published results were always in algebraic form. See a blog article referring to an article and a book on this subject, also to a talk Dirac gave to a general audience in 1972 in Boston about projective geometry, without specifics as to its application in his physics.
Description[edit]
Projective geometry is less restrictive than either Euclidean geometry or affine geometry. It is an intrinsically non-metrical geometry, whose facts are independent of any metric structure. Under the projective transformations, the incidence structure and the relation of projective harmonic conjugates are preserved. A projective range is the one-dimensional foundation. Projective geometry formalizes one of the central principles of perspective art: that parallel lines meet at infinity, and therefore are drawn that way. In essence, a projective geometry may be thought of as an extension of Euclidean geometry in which the "direction" of each line is subsumed within the line as an extra "point", and in which a "horizon" of directions corresponding to coplanar lines is regarded as a "line". Thus, two parallel lines meet on a horizon line in virtue of their possessing the same direction.
Idealized directions are referred to as points at infinity, while idealized horizons are referred to as lines at infinity. In turn, all these lines lie in the plane at infinity. However, infinity is a metric concept, so a purely projective geometry does not single out any points, lines or plane in this regard—those at infinity are treated just like any others.
Because a Euclidean geometry is contained within a Projective geometry, with Projective geometry having a simpler foundation, general results in Euclidean geometry may be arrived at in a more transparent fashion, where separate but similar theorems in Euclidean geometry may be handled collectively within the framework of projective geometry. For example, parallel and nonparallel lines need not be treated as separate cases – we single out some arbitrary projective plane as the ideal plane and locate it "at infinity" usinghomogeneous coordinates.
Additional properties of fundamental importance include Desargues' Theorem and the Theorem of Pappus. In projective spaces of dimension 3 or greater there is a construction that allows one to prove Desargues' Theorem. But for dimension 2, it must be separately postulated.
Under Desargues' Theorem, combined with the other axioms, it is possible to define the basic operations of arithmetic, geometrically. The resulting operations satisfy the axioms of a field—except that the commutativity of multiplication requires Pappus's hexagon theorem. As a result, the points of each line are in one to one correspondence with a given field, F, supplemented by an additional element, W, such that rW = W, −W = W, r+W = W, r/0 = W, r/W = 0, W−r = r−W = W. However, 0/0, W/W, W+W, W−W, 0W and W0 remain undefined.
Projective geometry also includes a full theory of conic sections, a subject already very well developed in Euclidean geometry. There are clear advantages in being able to think of a hyperbola and an ellipse as distinguished only by the way the hyperbola lies across the line at infinity; and that a parabola is distinguished only by being tangent to the same line. The whole family of circles can be seen as conics passing through two given points on the line at infinity—at the cost of requiring complex coordinates. Since coordinates are not "synthetic", one replaces them by fixing a line and two points on it, and considering the linear system of all conics passing through those points as the basic object of study. This approach proved very attractive to talented geometers, and the field was thoroughly worked over. An example of this approach is the multi-volume treatise by H. F. Baker.
There are many projective geometries, which may be divided into discrete and continuous: a discrete geometry comprises a set of points, which may or may not be finite in number, while a continuous geometry has infinitely many points with no gaps in between.
The only projective geometry of dimension 0 is a single point. A projective geometry of dimension 1 consists of a single line containing at least 3 points. The geometric construction of arithmetic operations cannot be carried out in either of these cases. For dimension 2, there is a rich structure in virtue of the absence of Desargues' Theorem.
[/ltr][/size][size][ltr]
According to Greenberg (1999) and others, the simplest 2-dimensional projective geometry is the Fano plane, which has 3 points on every line, with 7 points and lines in all arranged with the following schedule of collinearities:
[/ltr][/size]

• [ABC]
  
• [ADE]
  
• [AFG]
  
• [BDG]
  
• [BEF]
  
• [CDF]
  
• [CEG]
  

[size][ltr]
with the affine coordinates A = {0,0}, B = {0,1}, C = {0,W} = {1,W}, D = {1,0}, E = {W,0} = {W,1}, F = {1,1}, G = {W, W}. The coordinates in a Desarguesian plane for the points designated to be the points at infinity (in this example: C, E and G) are generally not unambiguously defined.^{[clarification needed]}
In standard notation, a finite projective geometry is written PG(a,b) where:
a is the projective (or geometric) dimension, andb is one less than the number of points on a line (called the order of the geometry).
Thus, the example having only 7 points is written PG(2,2).
The term "projective geometry" is sometimes used to indicate the generalised underlying abstract geometry, and sometimes to indicate a particular geometry of wide interest, such as the metric geometry of flat space which we analyse through the use of homogeneous coordinates, and in which Euclidean geometry may be embedded (hence its name,Extended Euclidean plane).
The fundamental property that singles out all projective geometries is the elliptic incidence property that any two distinct lines L and M in the projective plane intersect at exactly one point P. The special case in analytic geometry of parallel lines is subsumed in the smoother form of a line at infinity on which P lies. The line at infinity is thus a line like any other in the theory: it is in no way special or distinguished. (In the later spirit of the Erlangen programme one could point to the way the group of transformations can move any line to the line at infinity).
Given a line l and a point P not on the line, the elliptic parallel property contrasts with the Euclidean and hyperbolic parallel properties as follows:
[/ltr][/size][th]Elliptic[/th][th]Euclidean[/th][th]Hyperbolic[/th]

:	any line through P meets l in just one point.
:	just one line through P may be found, which does not meet l.
:	more than one line through P may be found, which do not meet l.

[size][ltr]
The elliptic parallel property is the key idea which leads to the principle of projective duality, possibly the most important property which all projective geometries have in common.
Duality[edit]
For more details on this topic, see Duality (projective geometry).
In 1825, Joseph Gergonne noted the principle of duality characterizing projective plane geometry: given any theorem or definition of that geometry, substituting point for line, lie onfor pass through, collinear for concurrent, intersection for join, or vice versa, results in another theorem or valid definition, the "dual" of the first. Similarly in 3 dimensions, the duality relation holds between points and planes, allowing any theorem to be transformed by swapping point and plane, is contained by and contains. More generally, for projective spaces of dimension N, there is a duality between the subspaces of dimension R and dimension N−R−1. For N = 2, this specializes to the most commonly known form of duality—that between points and lines. The duality principle was also discovered independently by Jean-Victor Poncelet.
To establish duality only requires establishing theorems which are the dual versions of the axioms for the dimension in question. Thus, for 3-dimensional spaces, one needs to show that (1*) every point lies in 3 distinct planes, (2*) every two planes intersect in a unique line and a dual version of (3*) to the effect: if the intersection of plane P and Q is coplanar with the intersection of plane R and S, then so are the respective intersections of planes P and R, Q and S (assuming planes P and S are distinct from Q and R).
In practice, the principle of duality allows us to set up a dual correspondence between two geometric constructions. The most famous of these is the polarity or reciprocity of two figures in a conic curve (in 2 dimensions) or a quadric su***ce (in 3 dimensions). A commonplace example is found in the reciprocation of a symmetrical polyhedron in a concentric sphere to obtain the dual polyhedron.
Axioms of projective geometry[edit]
Any given geometry may be deduced from an appropriate set of axioms. Projective geometries are characterised by the "elliptic parallel" axiom, that any two planes always meet in just one line, or in the plane, any two lines always meet in just one point. In other words, there are no such things as parallel lines or planes in projective geometry. Many alternative sets of axioms for projective geometry have been proposed (see for example Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).
Whitehead's axioms[edit]
These axioms are based on Whitehead, "The Axioms of Projective Geometry". There are two types, points and lines, and one "incidence" relation between points and lines. The three axioms are:
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• G1: Every line contains at least 3 points
  
• G2: Every two points, A and B, lie on a unique line, AB.
  
• G3: If lines AB and CD intersect, then so do lines AC and BD (where it is assumed that A and D are distinct from B and C).
  

[size][ltr]
The reason each line is assumed to contain at least 3 points is to eliminate some degenerate cases. The spaces satisfying these three axioms either have at most one line, or are projective spaces of some dimension over a division ring, or are non-Desarguesian planes.
One can add further axioms restricting the dimension or the coordinate ring. For example, Coxeter's Projective Geometry,^[12] references Veblen^[13] in the three axioms above, together with a further 5 axioms that make the dimension 3 and the coordinate ring a commutative field of characteristic not 2.
Axioms using a ternary relation[edit]
One can pursue axiomatization by postulating a ternary relation, [ABC] to denote when three points (not all necessarily distinct) are collinear. An axiomatization may be written down in terms of this relation as well:
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• C0: [ABA]
  
• C1: If A and B are two points such that [ABC] and [ABD] then [BDC]
  
• C2: If A and B are two points then there is a third point C such that [ABC]
  
• C3: If A and C are two points, B and D also, with [BCE], [ADE] but not [ABE] then there is a point F such that [ACF] and [BDF].
  

[size][ltr]
For two different points, A and B, the line AB is defined as consisting of all points C for which [ABC]. The axioms C0 and C1 then provide a formalization of G2; C2 for G1 and C3 for G3.
The concept of line generalizes to planes and higher-dimensional subspaces. A subspace, AB…XY may thus be recursively defined in terms of the subspace AB…X as that containing all the points of all lines YZ, as Z ranges over AB…X. Collinearity then generalizes to the relation of "independence". A set {A, B, …, Z} of points is independent, [AB…Z] if {A, B, …, Z} is a minimal generating subset for the subspace AB…Z.
The projective axioms may be supplemented by further axioms postulating limits on the dimension of the space. The minimum dimension is determined by the existence of an independent set of the required size. For the lowest dimensions, the relevant conditions may be stated in equivalent form as follows. A projective space is of:
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• (L1) at least dimension 0 if it has at least 1 point,
  
• (L2) at least dimension 1 if it has at least 2 distinct points (and therefore a line),
  
• (L3) at least dimension 2 if it has at least 3 non-collinear points (or two lines, or a line and a point not on the line),
  
• (L4) at least dimension 3 if it has at least 4 non-coplanar points.
  

[size][ltr]
The maximum dimension may also be determined in a similar fashion. For the lowest dimensions, they take on the following forms. A projective space is of:
[/ltr][/size]

• (M1) at most dimension 0 if it has no more than 1 point,
  
• (M2) at most dimension 1 if it has no more than 1 line,
  
• (M3) at most dimension 2 if it has no more than 1 plane,
  

[size][ltr]
and so on. It is a general theorem (a consequence of axiom (3)) that all coplanar lines intersect—the very principle Projective Geometry was originally intended to embody. Therefore, property (M3) may be equivalently stated that all lines intersect one another.
It is generally assumed that projective spaces are of at least dimension 2. In some cases, if the focus is on projective planes, a variant of M3 may be postulated. The axioms of (Eves 1997: 111), for instance, include (1), (2), (L3) and (M3). Axiom (3) becomes vacuously true under (M3) and is therefore not needed in this context.
Axioms for projective planes[edit]
Main article: Projective plane
In incidence geometry, most authors^[14] give a treatment that embraces the Fano plane PG(2, 2) as the minimal finite projective plane. An axiom system that achieves this is as follows:
[/ltr][/size]

• (P1) Any two distinct points lie on a unique line.
  
• (P2) Any two distinct lines meet in a unique point.
  
• (P3) There exist at least four points of which no three are collinear.
  

[size][ltr]
Coxeter's Introduction to Geometry^[15] gives a list of five axioms for a more restrictive concept of a projective plane attributed to Bachmann, adding Pappus's theorem to the list of axioms above (which eliminates non-Desarguesian planes) and excluding projective planes over fields of characteristic 2 (those that don't satisfy Fano's axiom). The restricted planes given in this manner more closely resemble the real projective plane.
See also[edit]
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Projective line Projective plane Projective space Incidence Cross-ratio Möbius transformation Projective transformation Homogeneous coordinates Duality (projective geometry)

Fundamental theorem of projective geometry Projective configuration Complete quadrangle Desargues' theorem Pappus's hexagon theorem Pascal's theorem Projective line over a ring Joseph Wedderburn Grassmann–Cayley algebra

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Notes[edit]
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1. Jump up^ Ramanan 1997, p. 88
   
2. Jump up^ Coxeter 2003, p. v
   
3. ^ Jump up to:^a b c d Coxeter 1969, p. 229
   
4. Jump up^ Coxeter 2003, p. 14
   
5. Jump up^ Coxeter 1969, pp. 93, 261
   
6. Jump up^ Coxeter 1969, pp. 234–238
   
7. Jump up^ Coxeter 2003, pp. 111–132
   
8. Jump up^ Coxeter 1969, pp. 175–262
   
9. Jump up^ Coxeter 2003, pp. 102–110
   
10. Jump up^ Coxeter 2003, p. 2
    
11. Jump up^ Coxeter 2003, p. 3
    
12. Jump up^ Coxeter 2003, pp. 14–15
    
13. Jump up^ Veblen 1966, pp. 16, 18, 24, 45
    
14. Jump up^ Bennett 1995, pg. 4, Beutelspacher & Rosenberg 1998, pg. 8, Casse 2006, pg. 29,Cederberg 2001, pg. 9, Garner 1981, pg. 7, Hughes & Piper 1973, pg. 77, Mihalek 1972, pg. 29, Polster 1998, pg. 5 and Samuel 1988, pg. 21 among the references given.
    
15. Jump up^ Coxeter 1969, pp. 229–234
    

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References[edit]
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• F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlin.
  
• Baer, Reinhold (2005). Linear Algebra and Projective Geometry. Mineola NY: Dover. ISBN 0-486-44565-8.
  
• Bennett, M.K. (1995). Affine and Projective Geometry. New York: Wiley. ISBN 0-471-11315-8.
  
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998). Projective Geometry: from foundations to applications. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48277-1.
  
• Casse, Rey (2006). Projective Geometry: An Introduction. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-929886-6.
  
• Cederberg, Judith N. (2001). A Course in Modern Geometries. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98972-2.
  
• Coxeter, H. S. M., 1995. The Real Projective Plane, 3rd ed. Springer Verlag.
  
• Coxeter, H. S. M., 2003. Projective Geometry, 2nd ed. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.
  
• Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50458-0.
  
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8,MR 0233275
  
• Howard Eves, 1997. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 3rd ed. Dover.
  
• Garner, Lynn E. (1981). An Outline of Projective Geometry. New York: North Holland. ISBN 0-444-00423-8.
  
• Greenberg, M.J., 2007. Euclidean and non-Euclidean geometries, 4th ed. Freeman.
  
• Richard Hartley and Andrew Zisserman, 2003. Multiple view geometry in computer vision, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54051-8
  
• Hartshorne, Robin, 2009. Foundations of Projective Geometry, 2nd ed. Ishi Press. ISBN 978-4-87187-837-1
  
• Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
  
• Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., 1999. Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea.
  
• D. R. Hughes and F. C. Piper, 1973. Projective Planes, Springer.
  
• Mihalek, R.J. (1972). Projective Geometry and Algebraic Structures. New York: Academic Press. ISBN 0-12-495550-9.
  
• Polster, Burkard (1998). A Geometrical Picture Book. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98437-2.
  
• Ramanan, S. (August 1997). "Projective geometry". Resonance (Springer India) 2 (: 87–94. doi:10.1007/BF02835009. ISSN 0971-8044.
  
• Samuel, Pierre (1988). Projective Geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96752-4.
  
• Veblen, Oswald; Young, J. W. A. (1938). Projective geometry. Boston: Ginn & Co. ISBN 978-1-4181-8285-4.
  

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External links[edit]
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Wikimedia Commons has media related to Projective geometry.

• Projective Geometry for Machine Vision — tutorial by Joe Mundy and Andrew Zisserman.
  
• Notes based on Coxeter's The Real Projective Plane.
  
• Projective Geometry for Image Analysis — free tutorial by Roger Mohr and Bill Triggs.
  
• Projective Geometry. — free tutorial by Tom Davis.
  
• The Grassmann method in projective geometry A compilation of three notes by Cesare Burali-Forti on the application of exterior algebra to projective geometry
  
• C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" (English translation of book)
  
• E. Kummer, "General theory of rectilinear ray systems" (English translation)
  
• M. Pasch, "On the focal su***ces of ray systems and the singularity su***ces of complexes" (English translation)
  

实射影空间[编辑]



[ltr]数学中，实射影空间（real projective space），记作 RPⁿ，是 Rⁿ⁺¹ 中的直线组成的射影空间。它是一个 n 维紧光滑流形，也是格拉斯曼流形的一个特例。

[/ltr]

1 构造

2 低维例子

3 拓扑



• 3.1 点集拓扑
  
• 3.2 同伦群
  
• 3.3 光滑结构
  
• 3.4 CW 结构
  
• 3.5 同调
  
• 3.6 可定向性
  
• 3.7 重言丛
  



4 几何



• 4.1 测度
  



5 无穷实射影空间

6 相关条目

[size][ltr]

构造[编辑]
与所有射影空间一样，RPⁿ 是通过取 Rⁿ⁺¹ − {0} 在等价关系 x ∼ λx 对所有实数 λ ≠ 0 下的商空间。对所有 x 属于 Rⁿ⁺¹ − {0}，总可找到一个 λ 使得t λx 的范数为 1。恰好有相差一个符号的两个这样的 λ。
故 RPⁿ 也可通过将 Rⁿ⁺¹ 中单位 n-维球面 Sⁿ 的对径点等同起来得到。
进一步我们限制在 Sⁿ 的上半球面，仅将边界赤道上的对径点等同。这说明 RPⁿ 闭 n-维圆盘 Dⁿ 将边界 ∂Dⁿ = Sⁿ⁻¹ 上的对径点等同。
低维例子[编辑]
 也成为实射影直线，拓扑等价于圆周。
 称为实射影平面。
 （微分同胚）是 SO(3)，从而有一个群结构；覆叠映射  是一个群映射 ，这里 Spin(3)是 SO(3) 的万有覆叠李群。
拓扑[编辑]
n-维球面的对径映射（将 x 送到 -x）生成 Sⁿ 上一个 Z₂ 群作用。上已提到，这个作用的轨道空间是 RPⁿ。这个作用恰是一个覆叠空间作用，使 Sⁿ 成为 RPⁿ 的二重复叠。因为对 n ≥ 2，Sⁿ 是单连通的，它们在此情形也是万有覆叠。从而当 n > 1 时，RPⁿ 的基本群是 Z₂（当 n=1 基本群是 Z 因为同胚于 S¹）。基本的一个生成元是连接 Sⁿ 中一组对径点的曲线投影到 RPⁿ 上的闭曲线。
点集拓扑[编辑]
n-维射影空间的一些行之：
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• 1-维射影空间同胚与圆周。
  

• 2-维射影空间不能嵌入 R³。但可以嵌入 R⁴ 以及浸入 R³。
  

• n-维射影空间事实上同胚于 R^(n+1)[sup]2[/sup] 中所有迹为 1 的对称 (n+1)×(n+1) 幂等线性变换组成的子流形。
  

• n-维射影空间是紧连通空间，基本群同构于 2 阶循环群（从 n-维球面到 n-维射影空间的商映射是 n-维射影射影空间被一个道路连通空间的二重复叠）。
  

[size][ltr]
同伦群[编辑]
 的高次同伦群恰好是  的高阶同伦群，有纤维化的同伦长正合序列得出。
确切地，这个纤维丛是

你也可以类似于复射影空间将其写成

或

低次同调群是

光滑结构[编辑]
实射影空间是光滑流形。在 Sⁿ 的齐次坐标 (x₁...x_n+1) 中，考虑子集 U_i 使得 x_i ≠ 0。每个 U_i 同胚于 Rⁿ 中的开单位球体，且坐标转移函数是光滑的。这给出了 RPⁿ 一个光滑结构。
CW 结构[编辑]
实射影空间 RPⁿ 有一个 CW结构，在每一维有 1 个胞腔。
在 Sⁿ 上的齐次坐标 (x₁ ... x_n+1) 中，坐标邻域 U₁ = {(x₁ ... x_n+1)|x₁ ≠ 0} 可与 n-维圆盘 Dⁿ 的内部等价。当 x_i = 0，我们有 RP^{n - 1}。从而 RPⁿ 的 n - 1 骨架是 RP^{n - 1}，而且黏贴映射 f:S^n-1 → RP^{n - 1} 是一个二对一映射。我们可令

归纳证明 RPⁿ 是一个 CW 复形，在每一维有 1 个胞腔。
这些胞腔与旗流形（flag manifold）上一样是舒伯特胞腔（Schubert cell）。这便是，取一个完全旗（称为标准旗）0 = V₀ < V₁ <...< V_n；则闭 k-胞腔是属于 V_k 中的直线。而开 k-胞腔（k-胞腔的内部）是 V_k\V_k-1 中的直线（属于 V_k 但不属于 V_{k - 1} 的直线）。
在齐次坐标（关于旗的）中，这些胞腔是

这不是一个正则 CW 结构，因黏贴映射是二对一的。但它的覆盖是球面上一个正则 CW 结构，在每一维有 2 个胞腔；事实上，这是球面上最小的正则 CW 结构。
在光滑结构的帮助下，莫尔斯函数的存在性可证明 RPⁿ 是一个 CW 复形。在齐次坐标中，这样一个函数可为：

在每个邻域 U_i，g 有非退化奇点 (0...,1,...0)，这里 1 出现于第 i 个位置，具有莫尔斯指标 i。这说明了 RPⁿ 是一个在每一维有一个胞腔的 CW 复形。
同调[编辑]
与上面 CW 结构相伴的胞腔链复形在每个维数 0,...,n 恰有一个胞腔。对每个维数 k，边界映射 d_k : δD^k → RP^k-1/RP^k-2，坍塌到 S^{k - 1} 上的赤道然后将对径点等同。在奇数（偶数）维，度数为 0（2）：

从而整同调是

可定向性[编辑]
 可定向当且仅当 n 为奇数，上面的同调计算已经做了说明。更具体地， 上的对径映射有符号 ，所以它是保定向的当且仅当 p 是偶数。从而定向特征标（orientation character）是： 中的非平凡回路作为  作用在定向上，所以  可定向当且仅当 n+1 为偶数，即 n 为奇数。
重言丛[编辑]
在实射影空间上有一个自然的线丛，称为重言丛。更确切地，这称为重言子丛，也存在一个对偶 n-维丛称为重言商丛。
几何[编辑]
实射影空间有一个常正数量曲率度量，由二重复叠的标准圆球面（对极映射是一个等距）得来。
对标准圆度量，其截面曲率恒等于 1。
测度[编辑]
在标准圆度量中，射影空间的测度恰好是球面测度的一半。
无穷实射影空间[编辑]
无穷实射影空间构造为有限射影空间的正向极限或并集：

拓扑上说，这是艾伦伯格-麦克兰恩空间（Eilenberg-MacLane space） （它被可缩的无穷球面  二重复叠）并且是 BO(1)，线丛的分类空间（更一般地，无穷格拉斯曼流形是向量丛的分类空间）。
系数取 Z/2 的上同调环是

这里  是第一斯蒂弗尔-惠特尼类： 它是 （其度数为 1）上的自由 -代数。
相关条目[编辑]
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• 复射影空间
  
• 四元数射影空间
  
• 透镜空间（Lens space）