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由 一星 2014-08-01, 00:58
夸克星[编辑]
爱德华·威滕的奇异物质理论构成“奇异夸克星”[size][ltr]
夸克星（英语：Quark star）由奇物质组成，是一种理论假设可能存在的引力致密星体，需要更多的观测数据及关键遗失环结理论推导来佐证其真实性。
实验验证方面，关键的奇异物质理论至今还是假说，至2013年五月为止，没有任何可能的夸克星类型被证实或理论可以完全自洽，基础成分“H双重子”亦未被寻获，最后一组对“H双重子”进行搜寻实验的是日本KEK（高能加速器研究机构）与JAEA（Japan Atomic Energy Agency）的合作项目J-PARC，目前尚未有结论。
2013年六月十七日左右，日本KEK的Belle Collaboration与北京质谱仪BES III在研究疑似粲夸克偶素（Charmonium）的Y（4260）时，分别独立发现Zc（3900），实验报告于美国物理通讯上发表，Zc（3900）的夸克态可能是ccud或是介子分子混杂态（hadron molecule），是目前迹象最明确有可能被正式认定的第一个四夸克态粒子（双夸克反双夸克态）。Zc（3900）如果确认成立，其意义十分重大，将正式确立多夸克态物理的成立，确认一整门新物理学的出现，多夸克态一旦成立，则夸克水平的星体均可能成立，但不见得是奇异夸克星，也有可能是混杂态夸克星或是孤子星产生机率更高，这对近代天体物理发展而言是一项很大的突破，一整个族系的多夸克态星体均有可能被列入天体物理的研究范围内。
对夸克星模型产生矛盾的现有物理实验当中，在2013年一月，质子大小再度被确认为0.84087飞米，以μ-氢原子（Hydrogen muon）作为测量基准，置信度为7σ，远比使用氢原子精确许多，推翻百年以来推算的大小0.8768飞米，完成验证程序，正式为物理学界承认（2010年MPQ首度测量μ-氢原子所得数据大约为0.8418飞米，德国MPQ - Max Planck Institute of Quantum Optics in Garching，其后被物理学界称为Proton size puzzle）。该数值导致量子电动力学当中的一些物理常量可能必须修改，例如“里德伯常量”。质子的夸克态为uud，质子大小修正幅度达4%，这意味过去推导的“H双重子”uuddss物态方程，在数值计算上几乎是全面错误的，短距力的效应在夸克星模型当中被低估许多。由此可以确信的是现有的夸克星模型全部都是需要修正的，这包含了夸克星半径的推算、引力致密程度及内部能阶所能产生各类衰变粒子所造成的星体稳定性问题，2013年以前推导的夸克星模型没有任何一个是正确的，引用新数值重新计算的工作还在进行中，尚未有相关的新论文出现。
理论发展方面，2013年三月中，CERN宣布了希格斯玻色子的能阶大约在125.3-126.0GeV之间，如果CERN以外的第三方对照组实验的数据同样验证此一数值（现代科学程序上要求CERN以外的机构重复检验正确性，至少要有CERN以外的一个单位或多个单位进行重复证实，CERN的发现并非最终结论），则此一能阶则表示夸克星核心将会频繁地形成希格斯玻色子及比较强烈的真空极化效应，甚至会形成稳定的希格斯玻色子物质团，夸克星的组成将不再是单纯的奇异物质团，模型还必须考虑到与希格斯玻色子的交互作用，旧有推导的夸克星模型则几乎全面都存在错误。考虑到夸克星是最可能进一步坍缩成更高密度的引力致密星体，核心当中含有高密度的希格斯玻色子应当是一个正确的物理推论结果，提供了完美解释了进一步坍缩的成因，过往的夸克星模型通常避开此一量子效应，在希格斯玻色子能阶确认以后，夸克星模型无可避免地需要进行全面修正。
在质量生成贡献度方面，希格斯玻色子一般只贡献大约10%以下，90%以上是由夸克与胶子之间的力所赋予，质子质量当中，夸克仅占5%，胶子不具质量，其余质量贡献为夸克与胶子之间的交互作用所贡献，由于H双重子尚未寻获，无法得知其实际质量，在夸克星的密度及强引力参数下，夸克与胶子之间的交互作用对质量的贡献比例是否会发生重大改变，成为夸克星模型当中的关键要素，对于其是否进一步坍缩或是维持长期结构稳定，以及星体总质量的生成因素，有关键性的影响，同时也全面影响夸克星的演化结构，旧有的理论物态方程均未考虑到此一因素，明显需要进行大幅度修正。
希格斯玻色子的发现，将会使得夸克星研究成为新物理学及“巨观宇宙结构研究”的关键性角色，夸克星引力及质量生成机制涉及使用“广义相对论”的部份必须几乎全面修改，物态转换过程（奇异物质团的进一步坍缩过程）的进一步研究，对于证明“广义相对论”是一个错误的物理理论有很大的帮助（见真空极化一节），目前夸克星机制的矛盾，大多数都来自于使用“广义相对论”假设，假定“广义相对论”存在错误的假设，并且采用新的量子引力延展理论，例如Hořava gravity或是Scalar invariant系列约十余种延展理论，在高能阶区域进行修正，对于寻找正确的夸克星模型及证明“经典黑洞理论”是错误的天体物理理论会有很大的帮助，而正确的夸克星模型则对暗物质、巨引源、超级星系长城及巨观宇宙结构有决定性的影响。
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 | 此条目已列出参考文献，但因为没有文内引注而使来源仍然不明。（2014年3月18日） 请通过加入合适的行内引用来改善这篇条目。 |
 | 本条目可能过于冗长。（2014年3月18日） 可在讨论页中发表对于此议题的看法；若有必要，请将本条目相关内容整理至其主条目，确保条目符合摘要格式。 |
爱德华·威滕的奇异物质理论构成“奇异夸克星”
夸克星（英语：Quark star）由奇物质组成，是一种理论假设可能存在的引力致密星体，需要更多的观测数据及关键遗失环结理论推导来佐证其真实性。
实验验证方面，关键的奇异物质理论至今还是假说，至2013年五月为止，没有任何可能的夸克星类型被证实或理论可以完全自洽，基础成分“H双重子”亦未被寻获，最后一组对“H双重子”进行搜寻实验的是日本KEK（高能加速器研究机构）与JAEA（Japan Atomic Energy Agency）的合作项目J-PARC，目前尚未有结论。
2013年六月十七日左右，日本KEK的Belle Collaboration与北京质谱仪BES III在研究疑似粲夸克偶素（Charmonium）的Y（4260）时，分别独立发现Zc（3900），实验报告于美国物理通讯上发表，Zc（3900）的夸克态可能是ccud或是介子分子混杂态（hadron molecule），是目前迹象最明确有可能被正式认定的第一个四夸克态粒子（双夸克反双夸克态）。Zc（3900）如果确认成立，其意义十分重大，将正式确立多夸克态物理的成立，确认一整门新物理学的出现，多夸克态一旦成立，则夸克水平的星体均可能成立，但不见得是奇异夸克星，也有可能是混杂态夸克星或是孤子星产生机率更高，这对近代天体物理发展而言是一项很大的突破，一整个族系的多夸克态星体均有可能被列入天体物理的研究范围内。
对夸克星模型产生矛盾的现有物理实验当中，在2013年一月，质子大小再度被确认为0.84087飞米，以μ-氢原子（Hydrogen muon）作为测量基准，置信度为7σ，远比使用氢原子精确许多，推翻百年以来推算的大小0.8768飞米，完成验证程序，正式为物理学界承认（2010年MPQ首度测量μ-氢原子所得数据大约为0.8418飞米，德国MPQ - Max Planck Institute of Quantum Optics in Garching，其后被物理学界称为Proton size puzzle）。该数值导致量子电动力学当中的一些物理常量可能必须修改，例如“里德伯常量”。质子的夸克态为uud，质子大小修正幅度达4%，这意味过去推导的“H双重子”uuddss物态方程，在数值计算上几乎是全面错误的，短距力的效应在夸克星模型当中被低估许多。由此可以确信的是现有的夸克星模型全部都是需要修正的，这包含了夸克星半径的推算、引力致密程度及内部能阶所能产生各类衰变粒子所造成的星体稳定性问题，2013年以前推导的夸克星模型没有任何一个是正确的，引用新数值重新计算的工作还在进行中，尚未有相关的新论文出现。
理论发展方面，2013年三月中，CERN宣布了希格斯玻色子的能阶大约在125.3-126.0GeV之间，如果CERN以外的第三方对照组实验的数据同样验证此一数值（现代科学程序上要求CERN以外的机构重复检验正确性，至少要有CERN以外的一个单位或多个单位进行重复证实，CERN的发现并非最终结论），则此一能阶则表示夸克星核心将会频繁地形成希格斯玻色子及比较强烈的真空极化效应，甚至会形成稳定的希格斯玻色子物质团，夸克星的组成将不再是单纯的奇异物质团，模型还必须考虑到与希格斯玻色子的交互作用，旧有推导的夸克星模型则几乎全面都存在错误。考虑到夸克星是最可能进一步坍缩成更高密度的引力致密星体，核心当中含有高密度的希格斯玻色子应当是一个正确的物理推论结果，提供了完美解释了进一步坍缩的成因，过往的夸克星模型通常避开此一量子效应，在希格斯玻色子能阶确认以后，夸克星模型无可避免地需要进行全面修正。
在质量生成贡献度方面，希格斯玻色子一般只贡献大约10%以下，90%以上是由夸克与胶子之间的力所赋予，质子质量当中，夸克仅占5%，胶子不具质量，其余质量贡献为夸克与胶子之间的交互作用所贡献，由于H双重子尚未寻获，无法得知其实际质量，在夸克星的密度及强引力参数下，夸克与胶子之间的交互作用对质量的贡献比例是否会发生重大改变，成为夸克星模型当中的关键要素，对于其是否进一步坍缩或是维持长期结构稳定，以及星体总质量的生成因素，有关键性的影响，同时也全面影响夸克星的演化结构，旧有的理论物态方程均未考虑到此一因素，明显需要进行大幅度修正。
希格斯玻色子的发现，将会使得夸克星研究成为新物理学及“巨观宇宙结构研究”的关键性角色，夸克星引力及质量生成机制涉及使用“广义相对论”的部份必须几乎全面修改，物态转换过程（奇异物质团的进一步坍缩过程）的进一步研究，对于证明“广义相对论”是一个错误的物理理论有很大的帮助（见真空极化一节），目前夸克星机制的矛盾，大多数都来自于使用“广义相对论”假设，假定“广义相对论”存在错误的假设，并且采用新的量子引力延展理论，例如Hořava gravity或是Scalar invariant系列约十余种延展理论，在高能阶区域进行修正，对于寻找正确的夸克星模型及证明“经典黑洞理论”是错误的天体物理理论会有很大的帮助，而正确的夸克星模型则对暗物质、巨引源、超级星系长城及巨观宇宙结构有决定性的影响。
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- 1 夸克星模型
- 1.1 奇异夸克星
- 1.2 孤子星
- 1.3 玻色星
- 1.4 黑星
- 1.5 分类与实验观测
- 2 奇异物质假说
- 2.1 假说
- 2.2 中子星内转化奇异物质的反应
- 2.3 实验费用极度高昂
- 2.4 高度争议性
- 2.5 地球上的实验方法
- 2.6 系统复杂度变因多
- 2.7 目前并未发现禁止双重子态成立的物理机制
- 2.8 中子星演化原则上支持奇异物质假说成立
- 2.9 具有可见的科学及经济上的高度价值
- 2.10 H双重子实验直接影响夸克星理论是否成立
- 3 形成机制
- 3.1 前身星
- 3.2 由中子星发展成夸克星
- 3.3 由沃尔夫-拉叶星发展成夸克星
- 3.4 由高光度蓝变星直接发展成夸克星
- 3.5 由红超巨星直接发展成夸克星
- 3.6 II型超新星爆发展成夸克星
- 3.7 由蓝超巨星直接发展成夸克星
- 4 物理机制
- 4.1 参考系拖拽效应圈
- 4.2 袋模型的推论
- 4.2.1 星体半径的计算
- 4.2.2 希格斯玻色子对夸克星的稳定性效应
- 4.3 弦理论的推论
- 4.3.1 广义相对论导致大批矛盾
- 4.4 理论不完备，涉及未知的物理
- 5 夸克物质形成机制理论
- 5.1 十重态群以下、四夸克以上状态的粒子
- 5.2 多于十重态群的物理机制解释目前并不存在
- 5.3 实验室目前无法找到夸克星的基本成分H双重子
- 6 尚无法验证的理论物理预测
- 6.1 带负电荷奇异物质
- 6.2 色禁闭突破问题
- 6.3 孤子波震荡关系
- 6.4 小出义夫轻子质量公式问题
- 6.5 大气消灭速度
- 6.6 星体稳定机制
- 6.7 重子污染困难
- 6.8 奇异物质的体粘滞性质
- 6.9 真空极化问题
- 6.10 γ-模不稳定性
- 6.11 色超导与超固态
- 6.12 引力辐射的抑制问题
- 6.13 奇异物质低密度声速物性行为完全相反
- 7 候选星
- 7.1 RX J1856.5-3754
- 7.2 3C58
- 7.3 XTE J1739-285
- 7.4 SN 1987A
- 7.5 SN 2005gj
- 7.6 SN 2005ap
- 7.7 SN 2006gy
- 7.8 没有直接证据说明夸克星真实存在
- 8 未来可能发展成夸克星的邻近星体
- 8.1 “海山二”形成夸克星对地球的威胁
- 8.2 其他可能发展成夸克星的星体
- 9 中子星与夸克星的区分方式
- 9.1 质量与半径的关系
- 9.2 磁层辐射
- 9.3 星爆特征
- 9.4 时空场差异
- 9.5 表面物理
- 10 外部链接
- 11 相关条目
- 12 参考
- 12.1 外部网站
- 13 外部链接
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 00:59
夸克星模型[编辑]
Robert L. Jaffe，多夸克态物理的奠基者，首先建议四夸克状态的粒子存在
以夸克水平为基础的星体在理论模型上至少有三种，“奇异夸克星”、“孤子星”及“玻色星”。
奇异夸克星[编辑]
“奇异夸克星”是科普文章通称的“夸克星”，成分以奇异物质为主，主要建立在Witten假说上，专业学者文章多以“奇异星”来区分其差异，强调出其为奇异物质所组成的夸克星，由于“奇异星”有时会跟“奇特星”（Exotic star）发生混淆，而“孤子星”及“玻色星”本身都有专有名词，故一般称“夸克星”系指“奇异夸克星”，而专业研究者之间因为有共通语言，因此学术论文中则大多以“奇异星”来避免泛指所有类型的夸克星。
“奇异夸克星”在“希格斯玻色子”的能阶确认以后，是否能够称为“夸克星”已经开始形成一个重要的疑问，希格斯玻色子的能阶明显导致“奇异夸克星”不是单纯地由“奇异物质团”所构造成的，原有的理论需要大幅度进行修正。其次，质子大小的实验数据，导致原有夸克星的短距力计算需要全部重新推导，新的物态方程尚未有任何研究报告发表。
孤子星[编辑]
“孤子星”（Soliton Star）以诺贝尔奖得主李政道所推出的“非拓朴性孤子”（Non-topological soliton, NTS）为理论基础（拓朴性孤子的模型目前有Skyrmion），主要是以纯粹“费米子”具有孤子波性质的“孤子”来组成夸克星，被认为是“暗物质”的最佳候选者。由于宇宙间有95%以上的物质属于暗物质（26.8%）或暗能量（68.3%），“孤子星”为“暗物质”的最佳候选者，“孤子星模型”则在天体物理学当中形成一大门派，在宇宙学上是非常重要的一个分支，解释了宇宙间观测到的质量遗失问题。
玻色星[编辑]
“玻色星”则为以纯粹“玻色子”来组成夸克水平的星体（复合玻色子），由于普通的星体一般是以费米子为主的重子所组成，星爆不能供应足够的玻色子，“玻色星”被认为不能由星爆产生，而是由大爆炸时期所遗留下来的暗物质，或是存在于“星系核”当中作为“巨质量玻色星”。因为希格斯玻色子的加入，“巨质量玻色星”应该是最常见的形式，“星系核”在这一理论当中被认为是“玻色星”而非“黑洞”所组成的，此即为“银河中心星系核是由暗物质所组成”的说法来源，此一说法比“银核是由黑洞所组成”更加合理，矛盾较少，同时作为“星系核”的“玻色星”无法任意被制造出来，也是观测当中没有见过“黑洞”吸聚物质因而产生婴儿银河的合理解释。“玻色星”的性质相当奇怪，活动模式也非常多样化，许多人关注的黑洞、孤子星、夸克星及重力真空星的活动与玻色星相较之下可说堪称无聊至极，由此可见玻色星具有很高的研究价值。
另外还有一些理论尚不成熟的部分类型夸克星模型推出，例如：“裸奇异星”、“混杂态夸克星”与“夸克行星”。
黑星[编辑]
Pawel Mazur的“重力真空星”
重力真空星模型的共同作者Emil Mottola
有些观点认为，作为黑洞替代方案最佳选择之一的黑星（Black star）：“重力真空星”（Gravastar），其真空极化外壳组成成分因为是透过玻色爱因斯坦凝聚态所产生的，由于大部分天体都是由重子所组成的，而重子的成份是由夸克所组成的，因此天体坍缩后形成的重力真空星也应该是夸克所组成的，所以“重力真空星”应该也是属于夸克星的一种类型，不过“重力真空星”并未推导出其内部实际组成物质。
此外“重力真空星”虽无奇点，但是却有一个类似“事件地平面”的“拟事界”，星体活动近似于黑洞，使得外部观测者没有任何手段来区分“重力真空星”与“黑洞”的差别，要透过观测来证明其组成物质为夸克，存在巨大的技术难度，难以提供确切证据说明理论的正确性，此外理论中隐含使用了“时间量子”（chronon）的维度紧化，用以解释致密星的时间停滞现象与坍缩空间壁的产生过程，而“时间量子”在物理实验中尚未被发现，因此要说服大部分天体物理学家做此归类，恐怕还需要更多的理论推导与实验观测。
分类与实验观测[编辑]
“孤子星”及“玻色星”经常被归类为“暗物质星”，“重力真空星”则倾向于被归类于“暗能量星”，由于人类离真正意义的宇宙航行能力相距甚远，无法实际近距离观测“暗物质星”，短期内的未来，“孤子星”、“玻色星”及“黑星”无法验证推论是否正确。
关于“奇异夸克星”，并没有任何报告指出科学家找到自然界中的奇异物质，目前以LHC拥有的1.4×1013电子伏特的能阶而言，尚无法制造出夸克星的基本组成物质H双重子（阳春版奇异物质）。目前LHC ALICE侦测器及日本春天八号（SPring-8）等各大重离子加速器均有此搜寻计划，而天文观测的数据只说明夸克星候选星可能不是中子星，而没有指出其与夸克星性质有吻合之处。要确定一颗星体是否为夸克星，还需要非常多的努力。
在RHIC、LHC、AMS及IMS等单位对奇异物质的实验报告出炉前，轻言断定有夸克星的存在并非恰当的举动。
奇异物质假说[编辑]
假说[编辑]
奇异物质的形成，非轻子弱作用过程：u(1) + d → u(2) + s，中子的夸克组成为udd，质子的夸克组成为uud，不论是中子或质子，透过这个作用过程，最后都可以产生奇异物质所需要的uds均能阶组态，并用于形成以uds为主的一系列多夸克态物质。
正常含有的奇夸克的物质是不稳定的，奇夸克较上夸克及下夸克重，例如Λ0粒子（Lambda重子，Λ粒子，quark state uds）会透过弱作用力衰变成只含有上夸克及下夸克。Bodmer及爱德华·维腾提出的奇异物质假说认为大批的夸克聚集在一起，未考虑重力作用的条件下，这些聚集的夸克由于“鲍立不相容原理”进入稳定态，不受此局限，最低能阶的状态是拥有三者相同数目夸克的均能阶，这个能阶被称为“奇异物质”[5][6] 。（有些论文称此为博德默-寺沢-维腾猜想，论文时间序列为阿诺德·博德默1971[1]、东京大学核研的寺沢英纯1979,维腾1984[2]，爱德华·维腾整合总论并增补一整个系列的工作结果）。
阿诺德·博德默（Arnold R. Bodmer）是最早提出夸克星具体概念的天体物理学者
粒子核基本上是由三个夸克所组成的，根据这个理论，“奇异物质”比正常的粒子核更加稳定，并且所有的粒子核都有衰变成“奇异物质”倾向，只不过这个过程有可能比宇宙年龄还久。奇异物质的稳定程度依据大小决定，太大的奇异物质会因其表面张力，倾向于变成小号的奇异物质，如果超过一定的临界值，则奇异物质便转变成越大越稳定的状态。这就是“奇异物质假说”，也就是夸克星的立论基础。
这个假说并未获得证实，导致夸克星实际上也只是一个假说。
H0粒子，夸克之间系由胶子所连接。
事实上，“奇异物质”的最小号版本“H双重子”（有时也称为ΛΛ双重子态，S=-2,I=0,B=2,JF=0+,夸克态udsuds或uuddss），是由Robert L. Jaffe在1977年开启的系列工作所提出的，其后的研究者又提出了D*、N-ω、ω-ω双重子态及其他的更低能阶多夸克稳定态。
“奇异物质”名称的来源是罗伯特·贾菲（Robert L. Jaffe）在1984年的论文"Strange Matter"[3]，“奇异滴”（Strangelet）是由爱德华·维腾所命名，实际上两者在专业的含意上有少许的差异，“奇异滴”代表的大批的夸克聚集在一起具有奇异性的多夸克物质。“奇异物质”与“奇异滴”是两个不同的词汇，不可混为一谈，主要是奇异性的物理性质差异，最小版本的奇异物质“H双重子”，低密度及低引力的条件下，并不具备奇异性，同时寿命也很短（2 × 10-9 s）。
至今为止全球实验室寻找超过三十年，没有任何一个得到实验的证实，一个“H双重子”都没有找到，包含NASA的月球土壤样本也没有找到“奇异物质”，其他的双重子态亦不曾被验证过。目前对“奇异物质”的任何实验并不足以产生任何危害公众的灾难性结果。
理论上来说，LHC及RHIC各大重离子加速器寻找“H双重子”的活动没有任何危险性，奇异性的证明需要有技术手段来凝聚大批高密度H双重子，使其产生奇异物质理论预测的反应，这种实验无法在重离子加速器上面进行，因为重离子加速器使粒子速度太高、而密度太低，重离子加速器形同对粒子加热，而H双重子的形成过程却是需要冷冻，现有的技术能力无法在夸克禁闭突破以后，在10-8秒的瞬间将夸克冷冻凝结成双重子，因而重离子加速器要制造H双重子的机率非常的低，地球上所有的实验室目前都还不具备使“奇异物质”产生奇异性的实验条件，此外低密度H双重子寿命短，保存H双重子的技术手段尚未有任何发展可能，无法实际进行奇异物质奇异性的实验证明。而且奇异性实验的费用极度高昂，任何国家无法单一承担所有实验费用，在各国财政受金融因素导致极度困难的当前，短期内要证实奇异物质理论的正确性，恐怕难度甚大。
中子星内转化奇异物质的反应[编辑]
奇异物质一般相信是在中子星的过程当中所产生的，并且扮演主要的催化坍缩成因，几个主体反应如下：
n → u + d + d（夸克禁闭突破，中子被瓦解成夸克简并态。）
u(1) + d → u(2) + s（非轻子弱作用过程，夸克胶子等离子中产生奇夸克相变，能阶大约在170MeV，一般称之为“火球”，夸克星模型经常使用“火球模型”进行分析。）
u + d + s + u + d + s + g → H0（直接六夸克反应，同位旋I3=+1⁄2-1⁄2+0+1⁄2-1⁄2+0=0，同位旋为整数，因此是玻色子，遵守玻色爱因斯坦统计。）
或者
u + d + s → Λ0（Λ0重子，奇异物质均能阶态的基本形式。）
u + d + s + (g) → R baryon（超对称R重子，超胶子（g）是胶子的超对称伴子，奇异物质均能阶态的基本形式，记号为S0，仅在超对称理论成立下才会发生，属于SIMP粒子。）
Λ0 + Λ0 → H0
此即为命名H双重子的名称来源，由两个Λ0重子所组成的粒子，两个重子所组成的一个多夸克态粒子，即双重子态，也是当前夸克星理论是否成立的最严重阻碍。
此后，H0与Λ0再继续进行其他反应，进入其他更好的稳定态，一直到发生奇异性为止，便可以形成奇异物质。不过，这个过程实际上还大有细节上的各种疑问存在，各项机制不曾被仔细研究过，实验数据无法取得，目前没有人有能力提出真正的机制解释，也是主要的争议焦点之一。
低密度、低引力及声速下的稀薄H0粒子并非奇异物质，并且容易发生衰变：
H0 + γ → Λ0 + Λ0
H0 + γ → Ξ0 + n
H0 + γ → Ξ0 + Δ0
H0 + γ → Ξ- + p
H0 + γ → Ξ- + Δ+
H0 + γ → Σ- + p
或是衰变成介子。
不稳定性使得储存成为技术上极大的困难，低密度下形成奇异物质的机率微乎极微，聚集大批高密度H0粒子是一项技术上及财力上的极大困难，导致奇异物质实验成为短期内不可能的任务。
实验费用极度高昂[编辑]
这个形成奇异物质反应（Witten假说）的实验费用极度高昂，具有高度危险性，克服避免产生具有毁灭力的带负电荷奇异物质的技术难度高，任何单一国家无法独立进行，以其危险性而言，可能全球所有国家政府都不会批准这样的实验，出于安全性的考虑，最后可能只能在离地球轨道极远的太空实验室当中进行，除非发展出可行的廉价安全实验方法，否则难以验证正确性。
H0粒子的实验则单一实验室可以进行，没有危险性。
高度争议性[编辑]
这个中子星内的奇异物质发生过程天体物理学家相信由于H0粒子开始进入更稳定的多夸克态，多余的能量向外释出会导致中子星的外壳受到内部的能量流冲击，外部结构因为压力严重失衡而瓦解，将中子星壳层全数向外抛出，产生极超新星爆发。
这个过程是许多非主流学派论述的主要争议焦点，过程中的质量遗失问题发生过许多次明来暗去的学术战争，各学派几乎都使用尚未经过验证的理论推导，非主流的量子虫洞学派认为产生量子虫洞及质量传送效应，因丑闻而不被信赖的扭旋场论则坚持发生了超光速现象导致质量遗失，而古典理论则无法妥善解释这个问题，只是用敷衍的方式搪塞质量在爆发时全数抛出而无法观测到，详细而确定的发生细节，由于实验数据的难以取得，至今尚未有定论，具有强烈的争议性。
地球上的实验方法[编辑]
地球上的实验方式并不需要直接使用上述反应式，只要可以满足构成：
u + d + s + u + d + s + (g) → H0（实验室目前无法制造的原因之一是目前对胶子没有技术能力控制，因此看似简单的反应，实验数十年却无法达成。）
即可。
任何可以供应这样反应的连锁反应都可以进行这样的实验，没有一定非要用中子来进行实验。
重离子加速器实验数十年无法找到的原因，也源自于达成这个反应所需要的实验条件难度很高，三十六年来使用各种可以想像的手段，大型实验搜寻活动超过三十多次，实验报告超过七千次，均没有办法克服困难成功达成制造H0粒子，主要因素是目前对于胶子实验控制的技术能力还在起步阶段，没有办法顺利将胶子与夸克顺利连接成H0粒子，同时重离子加速器因为必须将粒子加速，粒子高速运动下，使得突破夸克禁闭后的瞬时密度无法提高到创造六个夸克瞬间集结成一个粒子的密度条件。
Λ0 + Λ0 → H0（目前的主要实验方法）
大部分实验使用将Λ0重子加速来进行实验，目前理论预测的主要稳定岛集中在H(2220)，h(2250)，实验数据已经排除2.202GeV以下的可能性。
另一个主要的实验构思是使用零号元素（Neutrium），或者是称为四中子（Tetraneutrons）的物质，或是更进一步使用多中子物质（Polyneutron）。H0粒子无法储存，因而不可能对奇异物质进行实验，但多中子物质却还有机会及技术能力来达成，透过瞬间高密度高能雷射加压产生局部的中子星内环境，达成下述反应：
4n (Neutrium) → 4u + 8d
4u(1) + 4d → 4u(2) + 4s
4u + 4d + 4s → 4Λ0
2Λ0 + 2Λ0 → 2H0
nH0 → S2n（Strangelet，奇异滴反应）
使得一个零号元素变成两个H0粒子，然后再创造高密度加压环境使H0粒子进入更稳定的多夸克态直到转变成奇异物质。非理论主流封闭而不对外发表论文的量子虫洞学派曾经进行过类似的实验，以低温玻色爱因斯坦凝聚态进行高密度高能雷射加压，试图产生量子虫洞，透过非正式管道流出的非公开实验结果说明这种方法可能因为需要突破夸克禁闭，而导致场势的能阶提升而无法进入稳定态（该实验因资金不足无法达成精度及指向性而最终宣告探测失败）。
nH0 → S2n奇异滴反应如果是连锁反应，则是个极端危险的实验，学术研究如果确定其发生可能性后，应当禁止此项实验于地球上进行。
第三系列主要的方法是使用B介子或K介子进行合成实验。
实验室一般都不采用直接侦测H0粒子的方法，而是采取侦测H0粒子衰变后的粒子散射来进行侦测，例如：
H0 → Σ- + p → n + π- + p
或是
H0 → Λ + π- + p
连锁反应，由于鲍立不相容原理，ΣN的反应倾向大于Λn。
另一种搜寻方法曾经被使用过，197Au + 197Au对撞，这个对撞理论上产生三个可能的连锁反应序列：
Λ + Λ → H0
Σ + Σ → H0
Ξ + N → H0
Robert L. Jaffe，多夸克态物理的奠基者，首先建议四夸克状态的粒子存在
以夸克水平为基础的星体在理论模型上至少有三种，“奇异夸克星”、“孤子星”及“玻色星”。
奇异夸克星[编辑]
“奇异夸克星”是科普文章通称的“夸克星”，成分以奇异物质为主，主要建立在Witten假说上，专业学者文章多以“奇异星”来区分其差异，强调出其为奇异物质所组成的夸克星，由于“奇异星”有时会跟“奇特星”（Exotic star）发生混淆，而“孤子星”及“玻色星”本身都有专有名词，故一般称“夸克星”系指“奇异夸克星”，而专业研究者之间因为有共通语言，因此学术论文中则大多以“奇异星”来避免泛指所有类型的夸克星。
“奇异夸克星”在“希格斯玻色子”的能阶确认以后，是否能够称为“夸克星”已经开始形成一个重要的疑问，希格斯玻色子的能阶明显导致“奇异夸克星”不是单纯地由“奇异物质团”所构造成的，原有的理论需要大幅度进行修正。其次，质子大小的实验数据，导致原有夸克星的短距力计算需要全部重新推导，新的物态方程尚未有任何研究报告发表。
孤子星[编辑]
“孤子星”（Soliton Star）以诺贝尔奖得主李政道所推出的“非拓朴性孤子”（Non-topological soliton, NTS）为理论基础（拓朴性孤子的模型目前有Skyrmion），主要是以纯粹“费米子”具有孤子波性质的“孤子”来组成夸克星，被认为是“暗物质”的最佳候选者。由于宇宙间有95%以上的物质属于暗物质（26.8%）或暗能量（68.3%），“孤子星”为“暗物质”的最佳候选者，“孤子星模型”则在天体物理学当中形成一大门派，在宇宙学上是非常重要的一个分支，解释了宇宙间观测到的质量遗失问题。
玻色星[编辑]
“玻色星”则为以纯粹“玻色子”来组成夸克水平的星体（复合玻色子），由于普通的星体一般是以费米子为主的重子所组成，星爆不能供应足够的玻色子，“玻色星”被认为不能由星爆产生，而是由大爆炸时期所遗留下来的暗物质，或是存在于“星系核”当中作为“巨质量玻色星”。因为希格斯玻色子的加入，“巨质量玻色星”应该是最常见的形式，“星系核”在这一理论当中被认为是“玻色星”而非“黑洞”所组成的，此即为“银河中心星系核是由暗物质所组成”的说法来源，此一说法比“银核是由黑洞所组成”更加合理，矛盾较少，同时作为“星系核”的“玻色星”无法任意被制造出来，也是观测当中没有见过“黑洞”吸聚物质因而产生婴儿银河的合理解释。“玻色星”的性质相当奇怪，活动模式也非常多样化，许多人关注的黑洞、孤子星、夸克星及重力真空星的活动与玻色星相较之下可说堪称无聊至极，由此可见玻色星具有很高的研究价值。
另外还有一些理论尚不成熟的部分类型夸克星模型推出，例如：“裸奇异星”、“混杂态夸克星”与“夸克行星”。
黑星[编辑]
Pawel Mazur的“重力真空星”
重力真空星模型的共同作者Emil Mottola
有些观点认为，作为黑洞替代方案最佳选择之一的黑星（Black star）：“重力真空星”（Gravastar），其真空极化外壳组成成分因为是透过玻色爱因斯坦凝聚态所产生的，由于大部分天体都是由重子所组成的，而重子的成份是由夸克所组成的，因此天体坍缩后形成的重力真空星也应该是夸克所组成的，所以“重力真空星”应该也是属于夸克星的一种类型，不过“重力真空星”并未推导出其内部实际组成物质。
此外“重力真空星”虽无奇点，但是却有一个类似“事件地平面”的“拟事界”，星体活动近似于黑洞，使得外部观测者没有任何手段来区分“重力真空星”与“黑洞”的差别，要透过观测来证明其组成物质为夸克，存在巨大的技术难度，难以提供确切证据说明理论的正确性，此外理论中隐含使用了“时间量子”（chronon）的维度紧化，用以解释致密星的时间停滞现象与坍缩空间壁的产生过程，而“时间量子”在物理实验中尚未被发现，因此要说服大部分天体物理学家做此归类，恐怕还需要更多的理论推导与实验观测。
分类与实验观测[编辑]
“孤子星”及“玻色星”经常被归类为“暗物质星”，“重力真空星”则倾向于被归类于“暗能量星”，由于人类离真正意义的宇宙航行能力相距甚远，无法实际近距离观测“暗物质星”，短期内的未来，“孤子星”、“玻色星”及“黑星”无法验证推论是否正确。
关于“奇异夸克星”，并没有任何报告指出科学家找到自然界中的奇异物质，目前以LHC拥有的1.4×1013电子伏特的能阶而言，尚无法制造出夸克星的基本组成物质H双重子（阳春版奇异物质）。目前LHC ALICE侦测器及日本春天八号（SPring-8）等各大重离子加速器均有此搜寻计划，而天文观测的数据只说明夸克星候选星可能不是中子星，而没有指出其与夸克星性质有吻合之处。要确定一颗星体是否为夸克星，还需要非常多的努力。
在RHIC、LHC、AMS及IMS等单位对奇异物质的实验报告出炉前，轻言断定有夸克星的存在并非恰当的举动。
奇异物质假说[编辑]
假说[编辑]
奇异物质的形成，非轻子弱作用过程：u(1) + d → u(2) + s，中子的夸克组成为udd，质子的夸克组成为uud，不论是中子或质子，透过这个作用过程，最后都可以产生奇异物质所需要的uds均能阶组态，并用于形成以uds为主的一系列多夸克态物质。
正常含有的奇夸克的物质是不稳定的，奇夸克较上夸克及下夸克重，例如Λ0粒子（Lambda重子，Λ粒子，quark state uds）会透过弱作用力衰变成只含有上夸克及下夸克。Bodmer及爱德华·维腾提出的奇异物质假说认为大批的夸克聚集在一起，未考虑重力作用的条件下，这些聚集的夸克由于“鲍立不相容原理”进入稳定态，不受此局限，最低能阶的状态是拥有三者相同数目夸克的均能阶，这个能阶被称为“奇异物质”[5][6] 。（有些论文称此为博德默-寺沢-维腾猜想，论文时间序列为阿诺德·博德默1971[1]、东京大学核研的寺沢英纯1979,维腾1984[2]，爱德华·维腾整合总论并增补一整个系列的工作结果）。
阿诺德·博德默（Arnold R. Bodmer）是最早提出夸克星具体概念的天体物理学者
粒子核基本上是由三个夸克所组成的，根据这个理论，“奇异物质”比正常的粒子核更加稳定，并且所有的粒子核都有衰变成“奇异物质”倾向，只不过这个过程有可能比宇宙年龄还久。奇异物质的稳定程度依据大小决定，太大的奇异物质会因其表面张力，倾向于变成小号的奇异物质，如果超过一定的临界值，则奇异物质便转变成越大越稳定的状态。这就是“奇异物质假说”，也就是夸克星的立论基础。
这个假说并未获得证实，导致夸克星实际上也只是一个假说。
H0粒子，夸克之间系由胶子所连接。
事实上，“奇异物质”的最小号版本“H双重子”（有时也称为ΛΛ双重子态，S=-2,I=0,B=2,JF=0+,夸克态udsuds或uuddss），是由Robert L. Jaffe在1977年开启的系列工作所提出的，其后的研究者又提出了D*、N-ω、ω-ω双重子态及其他的更低能阶多夸克稳定态。
“奇异物质”名称的来源是罗伯特·贾菲（Robert L. Jaffe）在1984年的论文"Strange Matter"[3]，“奇异滴”（Strangelet）是由爱德华·维腾所命名，实际上两者在专业的含意上有少许的差异，“奇异滴”代表的大批的夸克聚集在一起具有奇异性的多夸克物质。“奇异物质”与“奇异滴”是两个不同的词汇，不可混为一谈，主要是奇异性的物理性质差异，最小版本的奇异物质“H双重子”，低密度及低引力的条件下，并不具备奇异性，同时寿命也很短（2 × 10-9 s）。
至今为止全球实验室寻找超过三十年，没有任何一个得到实验的证实，一个“H双重子”都没有找到，包含NASA的月球土壤样本也没有找到“奇异物质”，其他的双重子态亦不曾被验证过。目前对“奇异物质”的任何实验并不足以产生任何危害公众的灾难性结果。
理论上来说，LHC及RHIC各大重离子加速器寻找“H双重子”的活动没有任何危险性，奇异性的证明需要有技术手段来凝聚大批高密度H双重子，使其产生奇异物质理论预测的反应，这种实验无法在重离子加速器上面进行，因为重离子加速器使粒子速度太高、而密度太低，重离子加速器形同对粒子加热，而H双重子的形成过程却是需要冷冻，现有的技术能力无法在夸克禁闭突破以后，在10-8秒的瞬间将夸克冷冻凝结成双重子，因而重离子加速器要制造H双重子的机率非常的低，地球上所有的实验室目前都还不具备使“奇异物质”产生奇异性的实验条件，此外低密度H双重子寿命短，保存H双重子的技术手段尚未有任何发展可能，无法实际进行奇异物质奇异性的实验证明。而且奇异性实验的费用极度高昂，任何国家无法单一承担所有实验费用，在各国财政受金融因素导致极度困难的当前，短期内要证实奇异物质理论的正确性，恐怕难度甚大。
中子星内转化奇异物质的反应[编辑]
奇异物质一般相信是在中子星的过程当中所产生的，并且扮演主要的催化坍缩成因，几个主体反应如下：
n → u + d + d（夸克禁闭突破，中子被瓦解成夸克简并态。）
u(1) + d → u(2) + s（非轻子弱作用过程，夸克胶子等离子中产生奇夸克相变，能阶大约在170MeV，一般称之为“火球”，夸克星模型经常使用“火球模型”进行分析。）
u + d + s + u + d + s + g → H0（直接六夸克反应，同位旋I3=+1⁄2-1⁄2+0+1⁄2-1⁄2+0=0，同位旋为整数，因此是玻色子，遵守玻色爱因斯坦统计。）
或者
u + d + s → Λ0（Λ0重子，奇异物质均能阶态的基本形式。）
u + d + s + (g) → R baryon（超对称R重子，超胶子（g）是胶子的超对称伴子，奇异物质均能阶态的基本形式，记号为S0，仅在超对称理论成立下才会发生，属于SIMP粒子。）
Λ0 + Λ0 → H0
此即为命名H双重子的名称来源，由两个Λ0重子所组成的粒子，两个重子所组成的一个多夸克态粒子，即双重子态，也是当前夸克星理论是否成立的最严重阻碍。
此后，H0与Λ0再继续进行其他反应，进入其他更好的稳定态，一直到发生奇异性为止，便可以形成奇异物质。不过，这个过程实际上还大有细节上的各种疑问存在，各项机制不曾被仔细研究过，实验数据无法取得，目前没有人有能力提出真正的机制解释，也是主要的争议焦点之一。
低密度、低引力及声速下的稀薄H0粒子并非奇异物质，并且容易发生衰变：
H0 + γ → Λ0 + Λ0
H0 + γ → Ξ0 + n
H0 + γ → Ξ0 + Δ0
H0 + γ → Ξ- + p
H0 + γ → Ξ- + Δ+
H0 + γ → Σ- + p
或是衰变成介子。
不稳定性使得储存成为技术上极大的困难，低密度下形成奇异物质的机率微乎极微，聚集大批高密度H0粒子是一项技术上及财力上的极大困难，导致奇异物质实验成为短期内不可能的任务。
- Quark deconfinement in neutron star cores: The effects of spin-down astro-ph/0603743
- Signal of quark deconfinement in thermal evolution neutron stars with deconfinement heating [7]
实验费用极度高昂[编辑]
这个形成奇异物质反应（Witten假说）的实验费用极度高昂，具有高度危险性，克服避免产生具有毁灭力的带负电荷奇异物质的技术难度高，任何单一国家无法独立进行，以其危险性而言，可能全球所有国家政府都不会批准这样的实验，出于安全性的考虑，最后可能只能在离地球轨道极远的太空实验室当中进行，除非发展出可行的廉价安全实验方法，否则难以验证正确性。
H0粒子的实验则单一实验室可以进行，没有危险性。
高度争议性[编辑]
这个中子星内的奇异物质发生过程天体物理学家相信由于H0粒子开始进入更稳定的多夸克态，多余的能量向外释出会导致中子星的外壳受到内部的能量流冲击，外部结构因为压力严重失衡而瓦解，将中子星壳层全数向外抛出，产生极超新星爆发。
这个过程是许多非主流学派论述的主要争议焦点，过程中的质量遗失问题发生过许多次明来暗去的学术战争，各学派几乎都使用尚未经过验证的理论推导，非主流的量子虫洞学派认为产生量子虫洞及质量传送效应，因丑闻而不被信赖的扭旋场论则坚持发生了超光速现象导致质量遗失，而古典理论则无法妥善解释这个问题，只是用敷衍的方式搪塞质量在爆发时全数抛出而无法观测到，详细而确定的发生细节，由于实验数据的难以取得，至今尚未有定论，具有强烈的争议性。
地球上的实验方法[编辑]
地球上的实验方式并不需要直接使用上述反应式，只要可以满足构成：
u + d + s + u + d + s + (g) → H0（实验室目前无法制造的原因之一是目前对胶子没有技术能力控制，因此看似简单的反应，实验数十年却无法达成。）
即可。
任何可以供应这样反应的连锁反应都可以进行这样的实验，没有一定非要用中子来进行实验。
重离子加速器实验数十年无法找到的原因，也源自于达成这个反应所需要的实验条件难度很高，三十六年来使用各种可以想像的手段，大型实验搜寻活动超过三十多次，实验报告超过七千次，均没有办法克服困难成功达成制造H0粒子，主要因素是目前对于胶子实验控制的技术能力还在起步阶段，没有办法顺利将胶子与夸克顺利连接成H0粒子，同时重离子加速器因为必须将粒子加速，粒子高速运动下，使得突破夸克禁闭后的瞬时密度无法提高到创造六个夸克瞬间集结成一个粒子的密度条件。
Λ0 + Λ0 → H0（目前的主要实验方法）
大部分实验使用将Λ0重子加速来进行实验，目前理论预测的主要稳定岛集中在H(2220)，h(2250)，实验数据已经排除2.202GeV以下的可能性。
另一个主要的实验构思是使用零号元素（Neutrium），或者是称为四中子（Tetraneutrons）的物质，或是更进一步使用多中子物质（Polyneutron）。H0粒子无法储存，因而不可能对奇异物质进行实验，但多中子物质却还有机会及技术能力来达成，透过瞬间高密度高能雷射加压产生局部的中子星内环境，达成下述反应：
4n (Neutrium) → 4u + 8d
4u(1) + 4d → 4u(2) + 4s
4u + 4d + 4s → 4Λ0
2Λ0 + 2Λ0 → 2H0
nH0 → S2n（Strangelet，奇异滴反应）
使得一个零号元素变成两个H0粒子，然后再创造高密度加压环境使H0粒子进入更稳定的多夸克态直到转变成奇异物质。非理论主流封闭而不对外发表论文的量子虫洞学派曾经进行过类似的实验，以低温玻色爱因斯坦凝聚态进行高密度高能雷射加压，试图产生量子虫洞，透过非正式管道流出的非公开实验结果说明这种方法可能因为需要突破夸克禁闭，而导致场势的能阶提升而无法进入稳定态（该实验因资金不足无法达成精度及指向性而最终宣告探测失败）。
- From Boson Condensation to Quark Deconfinement: The Many Faces of Neutron Star Interiors [8]
nH0 → S2n奇异滴反应如果是连锁反应，则是个极端危险的实验，学术研究如果确定其发生可能性后，应当禁止此项实验于地球上进行。
第三系列主要的方法是使用B介子或K介子进行合成实验。
实验室一般都不采用直接侦测H0粒子的方法，而是采取侦测H0粒子衰变后的粒子散射来进行侦测，例如：
H0 → Σ- + p → n + π- + p
或是
H0 → Λ + π- + p
连锁反应，由于鲍立不相容原理，ΣN的反应倾向大于Λn。
另一种搜寻方法曾经被使用过，197Au + 197Au对撞，这个对撞理论上产生三个可能的连锁反应序列：
Λ + Λ → H0
Σ + Σ → H0
Ξ + N → H0
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由 一星 2014-08-01, 01:00
系统复杂度变因多[编辑]
上述反应式目前来说，还存在许多争议性，例如：
n → u + d + d
u(1) + d → u(2) + s
没有任何物理学家会相信这个反应在数量上是完美均衡的，也就是说这个过程实际上不可能只产生H0粒子，还会产生“孤子态”、其他“非奇异性双重子”及“介子”，纯粹以奇异物质物态方程构筑的奇异夸克星是不可能存在的，包含了其他物质状态方程，并且考虑了量子引力修正的夸克星才是正确的夸克星模型。
不均衡导致的结果之一如下：
4n → 4u + 8d
3u(1) + 3d → 3u(2) + 3s
3u + 3d + 3s → 3Λ0
Λ0 + Λ0 → H0
最后形成：Neutrium → H0 + Λ0 + n，实际上这是最有可能发生的状况之一，中子星演化成孤子星的可能性也是存在的，中子星物理学当中称此为“混和气态中子星”。
这导致“血统纯正的奇异夸克星”实际上实验天体物理学家是不可能相信它可以真实存在，该反应的系统复杂度大幅度增加，星体稳定度的计算难以评估，理论天体物理学家因为推导上的便利性，阅读者喜欢看优雅的物理公式，完全一厢情愿地相信有可能发生，并且尽量避免讨论“血统不纯正的奇异夸克星”，而倾向于让推导方程看似完美无暇，而实验天体物理学家坚持不可能，推导的物态方程繁复而难懂，模式繁多而难以理解，机理错综复杂，关连的反应式参数超过上千个，连专业的专家同行都不见得看的懂，处处顾忌、处处疑问、处处怀疑，而理论物理学家通常喜欢只使用低于二十个关连的反应式参数，经常将实验上生成率低于10-8的参数设定为100%，让学术论文容易在具权威性期刊上发表，引来实验天体物理学家的猛烈抨击，实验天体物理学家的论文通常极度难懂而篇幅极长，审稿者没有能力断定正确性，因而在权威性期刊不常出现，这导致两方意见完全相左，争吵长年不断，也就使得夸克星的真实存在性再添一笔可长期争吵的项目。
目前并未发现禁止双重子态成立的物理机制[编辑]
虽然一直有物理学家怀疑存在不明因素禁止双重子态发生，导致无法发现H0粒子（不可能发现一个不会存在的粒子），目前并未发现禁止双重子态成立的物理机制，但是却也一直无法成功制造出任何的双重子态，目前在高能物理上，依然还是个悬案。
高能物理学家一直保持乐观认为双重子态成立，并且持续搜寻多夸克态粒子的存在，主要除了理论允许以外，未发现任何物理机制禁止双重子态成立也是一个重要因素。
中子星演化原则上支持奇异物质假说成立[编辑]
中子星演化的五种可能性，理论原则上都支持奇异物质假说成立。
中子星→夸克星
中子星→重力真空星
中子星→先子球 （假设先子理论成立）
中子星→模糊球
中子星→黑洞
中子星→先子球→黑洞
上述五种中子星的可能演化途径均支持奇异物质假说成立。
中子星如果可以演化成夸克星，则奇异物质假说必定成立。中子星如果可以演化成重力真空星，则真空极化的现象的出现，密度的条件要求，亦需要奇异物质假说必定成立。中子星演化成先子球所需要的密度，除了奇异物质理论及非拓朴性孤子理论以外，目前没有任何其他的可行理论选择。中子星演化成模糊球，及中子星演化成黑洞，或是先透过演化成先子球，再演变成黑洞，其中所需要的真空极化产生空间壁，进而导致引力坍缩，都需要透过先产生奇异物质所拥有的密度来建立所需要的场。
具有可见的科学及经济上的高度价值[编辑]
对中子星机理更加深入地研究，对夸克星机制的了解有很大的帮助，许多在夸克星研究上遭遇重大阻碍的学者，多数再度转回中子星做更深入的多夸克态机制研究，这样的研究路径对现行物理层次有极大的提升，目前也吸引了许多优秀科学家投入，而H0粒子本身理论上也在材料科学及高效能引擎上具有巨大潜力。
六夸克态总计有大约三百万种（2,985,984）可能的粒子束缚态，去除掉组合状态，依然有高达数十万种可能的双重子束缚态，对新物质材料及新科技而言是个接近无尽的可发挥空间，实验设计延伸的应用技术，在经济潜力上可能远胜于对希格氏玻色子投入，而材料本身则在经济上高度可能具有重大价值，也是当前各国为何投入研究多夸克态物理的重要原因之一，研究深度是各国在科学及技术上的重要指标，是一个可以看的到未来的重要研究课题，也是目前许多国家支持的重点研究方向。
H双重子实验直接影响夸克星理论是否成立[编辑]
H双重子（H dibaryon）除了对多夸克态物理十分重要以外，实验数据也直接影响各种夸克星理论是否成立，这包含物态方程会直接影响夸克星半径上限的计算，各种效应在哪个能阶出现等等。
H双重子及六夸克态的实验只要有实验设计能力就可以进行，许多小型实验室都可以独立进行实验，大部分并没有危险性，目前的实验数据都表明六夸克态高度可能成立。
奇异物质实验，除了有高危险性以外，目前则所有大型实验室都不具备条件进行实验，实验的困难性，包含了制造、储存并聚集双重子，制造高密度环境产生奇异性，分离带电负电荷奇异物质，隔离并且将之抛离地球的设备，这些条件都远远脱离现行技术能力之外，短期内进行这样的实验，可能性很低。理论物理学界可能要长期忍耐奇异物质物性实验报告数据缺乏下，对相关理论进行猜测并推论，并且忍受实验数据缺乏下的所造成的见解争议。
现行对夸克星及奇异物质的所有说法，在H双重子实验数据出现之前，可信度必须保持一定程度的怀疑，如果成功寻获后，实验数据会导致几乎所有的相关理论都必须依照数据进行修正。因此，对目前所有相关研究宣称，均可采取质疑或不相信态度。
形成机制[编辑]
前身星[编辑]
假定这项奇异物质物质的理论是正确的，那么夸克星的生成来源就可以直接由恒星二次星爆生成或是由中子星演化而成。具备这种条件的星体，基本上以能够发展成沃尔夫-拉叶星为主，某些特定条件下，赫罗图上其他种类的星体也能发展成为夸克星，并不一定需要经历中子星的过程。是否形成夸克星的决定关键，在于星爆时的恒星动力学条件，巨质量的恒星亦可能形成夸克星。
由中子星发展成夸克星[编辑]
由中子星活动对内核所造成的瞬间压力增大，例如伽玛射线爆或星震，使得内核部位开始产生奇异物质，并且中心密度开始增大，活动时间到达一定临界时，使得内核到达再度坍缩的临界，此时中子星会开始发生坍缩的活动。
由沃尔夫-拉叶星发展成夸克星[编辑]
沃尔夫-拉叶星是一种快速演化、寿命很短的大质量恒星，质量都超过太阳质量的20倍，会因为星爆而产生超新星或极超新星爆发，爆发的结果会完全粉碎、形成引力致密星或是星云。
由高光度蓝变星直接发展成夸克星[编辑]
夸克星也有可能从巨质量高光度蓝变星发生连续超新星爆炸时，由于中子星核形成时，超过临界点，但没有形成黑洞，而在形成中子星的瞬间，数十分钟内，再次发展成更大的极超新星爆发，从而直接从恒星演化成夸克星。高光度蓝变星亦可能爆发力量太强，形成完全毁灭的状况，连黑洞都没有留下，只留下星云。
由红超巨星直接发展成夸克星[编辑]
SN 1987A的两次星爆遗迹，外围珠链环的能量明显低于主环的亮度，珠链环可能于形成中子星时向两侧抛出恒星外围物质产生，主环可能是形成夸克星时抛出中子星外围高能物质所产生，但是中心并没有发现任何理论预测应该出现的星体。
质量稍低的红超巨星会变成II型超新星，而质量稍大的红超巨星则会变成沃尔夫-拉叶星，两者均有机会再发展成夸克星。
II型超新星爆发展成夸克星[编辑]
核塌缩超新星的质量，质量至少是太阳质量的9倍，SN 1987A正是II型超新星，因此它在1989-1990年间，曾经以高速旋转中子星被误认为正式的夸克星（Kristian等人），并在“自然”杂志上面发表，后来发表该论文的同一组科学家承认错误，并不存在高速旋转中子星，并将之修正为未知星体（1991年提出修正，撤回原有宣称，该讯号是仪器的寄生信号，但发生错误的两年当中却意外地大幅度推动夸克星的研究成果，一个美丽的错误），这一错误几乎延续两年被认为是正确的。亚洲方面，因误传认为是2009年由亚洲学者所首先提出，实际上该名学者已经于隔年自行提出修正，相同的错误在二十年前就发生过，而在2000年，Kristian等人再次提出SN 1987A高速旋转中子星的候选讯号（2.14毫秒），也就是说SN 1987A是夸克星并非不可能，只是技术能力还不足而已。SN 1987A在1989年就曾经发生过天文学家咖啡喝太多兴奋过度所导致的集体失眠误判，而该星体的集体失误，由于天体物理学家的期待与幻想，并不是只有被误认为夸克星一项。
由蓝超巨星直接发展成夸克星[编辑]
蓝超巨星一般质量是10-50个太阳，表面温度为20,000－50,000°C。SN 1987A的前身星是一颗蓝超巨星，当SN 1987A爆发时，传统上认为只有红超巨星才会发生超新星爆发的观点改变，其后修正了许多的恒星模型来说明SN 1987A的现象。由于，没有发现预期的星体，目前普遍认为它发展成为夸克星或黑洞，一般认为前者的可能性比较高，不过也并未排除形成孤子星的可能性。假设它发展成夸克星，则其发生机制应该是发生了连续两次的超新星爆发，第一次坍缩时，形成近似中子星的天体，假设奇异物质假说是正确的，由于形成超过临界点的巨型奇异物质球类物体，在产生第一次坍缩的瞬间，不断吸收夸克，在巨型奇异夸克周围则吸引了奇异物质团，当巨型奇异夸克到达引力发生二度坍缩的临界，发生奇异物质团的抛出星爆。
物理机制[编辑]
夸克星并非巨无霸版本的中子，事实上它比较像是一颗巨硕的强子，传统理论基本上同步受“量子色动力学”及“引力”的作用，也就是“量子引力理论”，然而目前物理学的进展，并未实际有能力探索到这个等级的物理，量子引力效应是否真实存在依然是个物理学上的疑问，因此所有关于夸克星的说法可信度极有争议性。是否为巨无霸粒子天体，也是个还有争议的主要课题。
参考系拖拽效应圈[编辑]
兰斯-蒂林效应圈
兰斯-蒂林效应圈（Ergosphere，又称Frame Dragging或是Lense Thirring Effect），转动状态的质量会对其周围的时空产生拖拽的现象，这种现象被称作参考系拖拽，延展的理论为“引力磁性”。
夸克星是致密天体，而极超新星爆发后，残余的角动量，将使得夸克星是一个转动的致密天体，一般而言是高速旋转。夸克星如果形成，周围必然会形成兰斯-蒂林效应圈，也就是南北极与赤道在时空效应上有所不同，由于夸克星密度高于中子星，这会产生一些奇妙的效应来让我们有机会断定其实实在在是一颗夸克星的特征。要断定中子星、夸克星及黑洞的分别，正常的夸克星多数是高速旋转的，检定兰斯-蒂林效应圈是一个重要的手段，这三者的参考系拖拽效应有一定程度的区别。
观测者可以利用光圈效应及兰斯-蒂林效应圈，观测进入或脱离夸克星的光子的运动，透过间接的手段，例如粒子含量的分布及Penrose Process（旋转黑洞的能量拉出过程，这个效应在夸克星当中是适用的），来间接了解其重力的分布，透过重力的分布重新建立出其兰斯-蒂林效应圈，夸克星的转动速度透过其他方法可以取得，透过这种方法，可以区分出该星体到底应该是中子星、夸克星或黑洞。只有双星以上的系统才能够进行这样的观测。
上述反应式目前来说，还存在许多争议性，例如：
n → u + d + d
u(1) + d → u(2) + s
没有任何物理学家会相信这个反应在数量上是完美均衡的，也就是说这个过程实际上不可能只产生H0粒子，还会产生“孤子态”、其他“非奇异性双重子”及“介子”，纯粹以奇异物质物态方程构筑的奇异夸克星是不可能存在的，包含了其他物质状态方程，并且考虑了量子引力修正的夸克星才是正确的夸克星模型。
不均衡导致的结果之一如下：
4n → 4u + 8d
3u(1) + 3d → 3u(2) + 3s
3u + 3d + 3s → 3Λ0
Λ0 + Λ0 → H0
最后形成：Neutrium → H0 + Λ0 + n，实际上这是最有可能发生的状况之一，中子星演化成孤子星的可能性也是存在的，中子星物理学当中称此为“混和气态中子星”。
这导致“血统纯正的奇异夸克星”实际上实验天体物理学家是不可能相信它可以真实存在，该反应的系统复杂度大幅度增加，星体稳定度的计算难以评估，理论天体物理学家因为推导上的便利性，阅读者喜欢看优雅的物理公式，完全一厢情愿地相信有可能发生，并且尽量避免讨论“血统不纯正的奇异夸克星”，而倾向于让推导方程看似完美无暇，而实验天体物理学家坚持不可能，推导的物态方程繁复而难懂，模式繁多而难以理解，机理错综复杂，关连的反应式参数超过上千个，连专业的专家同行都不见得看的懂，处处顾忌、处处疑问、处处怀疑，而理论物理学家通常喜欢只使用低于二十个关连的反应式参数，经常将实验上生成率低于10-8的参数设定为100%，让学术论文容易在具权威性期刊上发表，引来实验天体物理学家的猛烈抨击，实验天体物理学家的论文通常极度难懂而篇幅极长，审稿者没有能力断定正确性，因而在权威性期刊不常出现，这导致两方意见完全相左，争吵长年不断，也就使得夸克星的真实存在性再添一笔可长期争吵的项目。
- Quark deconfinement phase transition in neutron stars [9]
目前并未发现禁止双重子态成立的物理机制[编辑]
虽然一直有物理学家怀疑存在不明因素禁止双重子态发生，导致无法发现H0粒子（不可能发现一个不会存在的粒子），目前并未发现禁止双重子态成立的物理机制，但是却也一直无法成功制造出任何的双重子态，目前在高能物理上，依然还是个悬案。
高能物理学家一直保持乐观认为双重子态成立，并且持续搜寻多夸克态粒子的存在，主要除了理论允许以外，未发现任何物理机制禁止双重子态成立也是一个重要因素。
中子星演化原则上支持奇异物质假说成立[编辑]
中子星演化的五种可能性，理论原则上都支持奇异物质假说成立。
中子星→夸克星
中子星→重力真空星
中子星→先子球 （假设先子理论成立）
中子星→模糊球
中子星→黑洞
中子星→先子球→黑洞
上述五种中子星的可能演化途径均支持奇异物质假说成立。
中子星如果可以演化成夸克星，则奇异物质假说必定成立。中子星如果可以演化成重力真空星，则真空极化的现象的出现，密度的条件要求，亦需要奇异物质假说必定成立。中子星演化成先子球所需要的密度，除了奇异物质理论及非拓朴性孤子理论以外，目前没有任何其他的可行理论选择。中子星演化成模糊球，及中子星演化成黑洞，或是先透过演化成先子球，再演变成黑洞，其中所需要的真空极化产生空间壁，进而导致引力坍缩，都需要透过先产生奇异物质所拥有的密度来建立所需要的场。
具有可见的科学及经济上的高度价值[编辑]
对中子星机理更加深入地研究，对夸克星机制的了解有很大的帮助，许多在夸克星研究上遭遇重大阻碍的学者，多数再度转回中子星做更深入的多夸克态机制研究，这样的研究路径对现行物理层次有极大的提升，目前也吸引了许多优秀科学家投入，而H0粒子本身理论上也在材料科学及高效能引擎上具有巨大潜力。
六夸克态总计有大约三百万种（2,985,984）可能的粒子束缚态，去除掉组合状态，依然有高达数十万种可能的双重子束缚态，对新物质材料及新科技而言是个接近无尽的可发挥空间，实验设计延伸的应用技术，在经济潜力上可能远胜于对希格氏玻色子投入，而材料本身则在经济上高度可能具有重大价值，也是当前各国为何投入研究多夸克态物理的重要原因之一，研究深度是各国在科学及技术上的重要指标，是一个可以看的到未来的重要研究课题，也是目前许多国家支持的重点研究方向。
H双重子实验直接影响夸克星理论是否成立[编辑]
H双重子（H dibaryon）除了对多夸克态物理十分重要以外，实验数据也直接影响各种夸克星理论是否成立，这包含物态方程会直接影响夸克星半径上限的计算，各种效应在哪个能阶出现等等。
H双重子及六夸克态的实验只要有实验设计能力就可以进行，许多小型实验室都可以独立进行实验，大部分并没有危险性，目前的实验数据都表明六夸克态高度可能成立。
奇异物质实验，除了有高危险性以外，目前则所有大型实验室都不具备条件进行实验，实验的困难性，包含了制造、储存并聚集双重子，制造高密度环境产生奇异性，分离带电负电荷奇异物质，隔离并且将之抛离地球的设备，这些条件都远远脱离现行技术能力之外，短期内进行这样的实验，可能性很低。理论物理学界可能要长期忍耐奇异物质物性实验报告数据缺乏下，对相关理论进行猜测并推论，并且忍受实验数据缺乏下的所造成的见解争议。
现行对夸克星及奇异物质的所有说法，在H双重子实验数据出现之前，可信度必须保持一定程度的怀疑，如果成功寻获后，实验数据会导致几乎所有的相关理论都必须依照数据进行修正。因此，对目前所有相关研究宣称，均可采取质疑或不相信态度。
形成机制[编辑]
前身星[编辑]
假定这项奇异物质物质的理论是正确的，那么夸克星的生成来源就可以直接由恒星二次星爆生成或是由中子星演化而成。具备这种条件的星体，基本上以能够发展成沃尔夫-拉叶星为主，某些特定条件下，赫罗图上其他种类的星体也能发展成为夸克星，并不一定需要经历中子星的过程。是否形成夸克星的决定关键，在于星爆时的恒星动力学条件，巨质量的恒星亦可能形成夸克星。
由中子星发展成夸克星[编辑]
由中子星活动对内核所造成的瞬间压力增大，例如伽玛射线爆或星震，使得内核部位开始产生奇异物质，并且中心密度开始增大，活动时间到达一定临界时，使得内核到达再度坍缩的临界，此时中子星会开始发生坍缩的活动。
由沃尔夫-拉叶星发展成夸克星[编辑]
沃尔夫-拉叶星是一种快速演化、寿命很短的大质量恒星，质量都超过太阳质量的20倍，会因为星爆而产生超新星或极超新星爆发，爆发的结果会完全粉碎、形成引力致密星或是星云。
由高光度蓝变星直接发展成夸克星[编辑]
夸克星也有可能从巨质量高光度蓝变星发生连续超新星爆炸时，由于中子星核形成时，超过临界点，但没有形成黑洞，而在形成中子星的瞬间，数十分钟内，再次发展成更大的极超新星爆发，从而直接从恒星演化成夸克星。高光度蓝变星亦可能爆发力量太强，形成完全毁灭的状况，连黑洞都没有留下，只留下星云。
由红超巨星直接发展成夸克星[编辑]
SN 1987A的两次星爆遗迹，外围珠链环的能量明显低于主环的亮度，珠链环可能于形成中子星时向两侧抛出恒星外围物质产生，主环可能是形成夸克星时抛出中子星外围高能物质所产生，但是中心并没有发现任何理论预测应该出现的星体。
质量稍低的红超巨星会变成II型超新星，而质量稍大的红超巨星则会变成沃尔夫-拉叶星，两者均有机会再发展成夸克星。
II型超新星爆发展成夸克星[编辑]
核塌缩超新星的质量，质量至少是太阳质量的9倍，SN 1987A正是II型超新星，因此它在1989-1990年间，曾经以高速旋转中子星被误认为正式的夸克星（Kristian等人），并在“自然”杂志上面发表，后来发表该论文的同一组科学家承认错误，并不存在高速旋转中子星，并将之修正为未知星体（1991年提出修正，撤回原有宣称，该讯号是仪器的寄生信号，但发生错误的两年当中却意外地大幅度推动夸克星的研究成果，一个美丽的错误），这一错误几乎延续两年被认为是正确的。亚洲方面，因误传认为是2009年由亚洲学者所首先提出，实际上该名学者已经于隔年自行提出修正，相同的错误在二十年前就发生过，而在2000年，Kristian等人再次提出SN 1987A高速旋转中子星的候选讯号（2.14毫秒），也就是说SN 1987A是夸克星并非不可能，只是技术能力还不足而已。SN 1987A在1989年就曾经发生过天文学家咖啡喝太多兴奋过度所导致的集体失眠误判，而该星体的集体失误，由于天体物理学家的期待与幻想，并不是只有被误认为夸克星一项。
由蓝超巨星直接发展成夸克星[编辑]
蓝超巨星一般质量是10-50个太阳，表面温度为20,000－50,000°C。SN 1987A的前身星是一颗蓝超巨星，当SN 1987A爆发时，传统上认为只有红超巨星才会发生超新星爆发的观点改变，其后修正了许多的恒星模型来说明SN 1987A的现象。由于，没有发现预期的星体，目前普遍认为它发展成为夸克星或黑洞，一般认为前者的可能性比较高，不过也并未排除形成孤子星的可能性。假设它发展成夸克星，则其发生机制应该是发生了连续两次的超新星爆发，第一次坍缩时，形成近似中子星的天体，假设奇异物质假说是正确的，由于形成超过临界点的巨型奇异物质球类物体，在产生第一次坍缩的瞬间，不断吸收夸克，在巨型奇异夸克周围则吸引了奇异物质团，当巨型奇异夸克到达引力发生二度坍缩的临界，发生奇异物质团的抛出星爆。
物理机制[编辑]
夸克星并非巨无霸版本的中子，事实上它比较像是一颗巨硕的强子，传统理论基本上同步受“量子色动力学”及“引力”的作用，也就是“量子引力理论”，然而目前物理学的进展，并未实际有能力探索到这个等级的物理，量子引力效应是否真实存在依然是个物理学上的疑问，因此所有关于夸克星的说法可信度极有争议性。是否为巨无霸粒子天体，也是个还有争议的主要课题。
参考系拖拽效应圈[编辑]
兰斯-蒂林效应圈
兰斯-蒂林效应圈（Ergosphere，又称Frame Dragging或是Lense Thirring Effect），转动状态的质量会对其周围的时空产生拖拽的现象，这种现象被称作参考系拖拽，延展的理论为“引力磁性”。
夸克星是致密天体，而极超新星爆发后，残余的角动量，将使得夸克星是一个转动的致密天体，一般而言是高速旋转。夸克星如果形成，周围必然会形成兰斯-蒂林效应圈，也就是南北极与赤道在时空效应上有所不同，由于夸克星密度高于中子星，这会产生一些奇妙的效应来让我们有机会断定其实实在在是一颗夸克星的特征。要断定中子星、夸克星及黑洞的分别，正常的夸克星多数是高速旋转的，检定兰斯-蒂林效应圈是一个重要的手段，这三者的参考系拖拽效应有一定程度的区别。
观测者可以利用光圈效应及兰斯-蒂林效应圈，观测进入或脱离夸克星的光子的运动，透过间接的手段，例如粒子含量的分布及Penrose Process（旋转黑洞的能量拉出过程，这个效应在夸克星当中是适用的），来间接了解其重力的分布，透过重力的分布重新建立出其兰斯-蒂林效应圈，夸克星的转动速度透过其他方法可以取得，透过这种方法，可以区分出该星体到底应该是中子星、夸克星或黑洞。只有双星以上的系统才能够进行这样的观测。
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由 一星 2014-08-01, 01:02
袋模型的推论[编辑]
MIT袋模型是目前用以推导夸克星的最主要基础流行理论。无袋模型修正下，夸克星的模型显示出与观测数据差距甚大，模型与观测的吻合程度并不一致。
对夸克星有效的分析方法目前除去“袋模型”，还有半古典修正。
星体半径的计算[编辑]
理查德·托尔曼（Richard Chace Tolman）提出托尔曼－奥本海默－沃尔科夫方程式
罗伯特·奥本海默提出托尔曼－奥本海默－沃尔科夫方程式
乔治·沃尔科夫（George Michael Volkoff）提出托尔曼－奥本海默－沃尔科夫方程式
中子星的半径透过托尔曼－奥本海默－沃尔科夫方程式（en:Tolman-Oppenheimer-Volkoff limit）来计算－半径与质量的关系是三次方成反比，考虑以“上夸克”及“下夸克”为主的中子所造成的各类反应作用力所造成的结果。夸克星则相反，半径与质量的关系是三次方成正比，考虑以“上夸克”、“下夸克”及“奇夸克”的超核系统为主所造成的各类反应及相关作用力的结果，这个推论并未考虑量子引力效应，因此只能被视为是理论推导的结果，目前还无法透过观测来验证。
这个推论目前已经开始发生争议，特别是状态方程的适用性问题，几种新的说法开始出现，包含夸克星的半径上限比中子星半径上限大，不过都没有实验与观测数据来证明，可信度都不高，特别是奇异物质物性根本并没有任何检验报告，也就导致说法大都属于理论猜测。
夸克星的直径估算上限是10,000米以内，一般应当是大约4,000－7,000米，加上大气的因素，观测上大约小于15,000米的中子星就可以考虑是否其为夸克星候选星。考虑到大小及距离，实验与观测数据难以取得。
2013年一月，使用μ-氢原子对质子大小测定的实验，导致2013年以前推导的夸克星模型物态方程必须全部重新计算，上述数值系由旧理论所推导而得，正确性是必须怀疑的。由于质子大小对量子电动力学的修正尚未完成，理论物理学界还无法找到正确的推导，新的夸克星半径估算亦未被提出。
希格斯玻色子对夸克星的稳定性效应[编辑]
希格斯玻色子的出现对于夸克星的稳定结构有重要的影响。
H双重子的能阶大约在2.220GeV到2.250GeV左右，而希格斯玻色子的能阶大约在125.3GeV到126GeV左右。当H双重子迈向更低能阶的奇异物质团演化时，更多的能量被释放出来，夸克星内部某些密度更高的临界区域则能持续到达125.3GeV的稳定能量流释放（126 / 2.25 = 56.0，量级仅相差二，既意味发生机率极高，简单的估计方式，夸克星内部至少有1.785%的区域能阶持续处于126GeV左右或以上，忽略希格斯玻色子量子效应的夸克星模型不可能是正确的夸克星模型），当这种情形发生的时候，大批的希格斯玻色子则被撞击而成为粒子型态，这造成至少三种主要量子效应。
第一个量子效应是由于能量因为希格斯玻色子的出现而被吸收掉，使得夸克星不会因为区域能量流过高而立即被瓦解掉，因此可以预期夸克星的寿命比原有推算的模型更长，而能量流被吸收时，则应当会释放射线爆。
第二个量子效应是由于希格斯玻色子的出现，原有的奇异物质团的结构造成破坏，原有的理论是整个夸克星都是奇异物质团，但是由于希格斯玻色子的出现，这个论点目前则不成立，可能性较高的是夸克星是一团一团的奇异物质团所组成的，而非单一奇异物质团所组成，此即为奇异物质团稳定性的破坏。以此效应而言，基本上可以否决夸克星是个巨型粒子天体的说法，同时也可以否决掉夸克星密度均匀说。
第三个量子效应是由于希格斯玻色子的出现，相关的连锁反应导致真空极化效应的出现，奇异物质团并非如同原有理论所称的具备极长久的稳定性，一部分连锁反应当可成为夸克轻子的转换来源，解释了夸克星当中的弱作用力轻子生成源，而虚粒子对的出现使得夸克星某些局部可以进入比奇异物质更高密度的物质状态，因此迈向更高的星体密度，向下一步更高密度星体演化的理论可以得到完善的解释，亦即比夸克星更高密度的星体应当是理论上可以存在的。
希格斯玻色子应当也是夸克星星震的主要贡献来源之一。
弦理论的推论[编辑]
弦理论是另外一个极为有效的推论方法，但是由于弦理论的预测至今为止没有任何一项被验证，因此学界普遍不采信。这包含使用快子场论、量子虫洞、弦场论（Torsion Field Theory a.k.a. Einstein–Cartan–Sciama–Kibble theory）及引力磁性进行分析的学派，学界一概不采信，因为物理学是以实验为基础的科学，而这些理论并不符合必备条件，只能被视为非主流诠释，可信度还有很高的争议。
广义相对论导致大批矛盾[编辑]
广义相对论在夸克星模型上导致大批矛盾及错误，学界目前都采用半古典修正来避开问题，在夸克星模型研究方面，假定广义相对论是一个错误的理论已经是完全必要，特别是劳伦兹变换在高能阶区域的处理方式，产生了无数的争议，研究夸克星模型必须寻求广义相对论替代方案来解决矛盾问题，目前最有希望解决矛盾问题的理论是“Hořava gravity”。
理论不完备，涉及未知的物理[编辑]
夸克星相关理论发展并不完备，涉及未知的物理，实验目前无法验证理论，需要使用尚未验证的理论进行推导，“夸克星”性质依然有待更多研究探讨其机制，并且逐步以实验验证每项物理反应机制的真实性来确认其真实可能存在性。
依循渐进的物理验证法，首先必须由高能物理证实H双重子的真实存在性，其后还必须验证奇异物质的奇异性真实存在性，此二者直接关系夸克星理论是否确立无误，这两项环节目前都还属于当前高能物理当中的重大未解课题，目前的实验都还不支持其真实性。此外，还必须透过实验观测多夸克物质的相变问题，多夸克物理当中，除去“奇异态”以外，至少还存在“孤子态”，两种状态理论上而言会发生相变，此外还有多夸克物质形成复合玻色子所产生的量子统计规律问题，缺失环节大约有三十多项以上尚未验证的重要物理预测，技术力与财务限制短期内还无法实现这些实验，多项变因从而影响夸克星的物态方程，进而全面修正过往发展出来的夸克星理论。
因此，夸克星是否存在需要这些实验确认以后，才能透过观测来逐步推敲及验证，讨论夸克星是否真实存在，这些实验完成验证之前，言之尚早。
目前夸克星机制当中，为方便建立模型而忽略太多重要的细节，大量物理环节都仅仅停留在猜想阶段，实验目前不能验证其真实性，存在太多变因使过往发展的夸克星模型必须进行修正，此为主要由实验物理学家所持有保守怀疑态度的坚强反对理据。
夸克物质形成机制理论[编辑]
十重态群以下、四夸克以上状态的粒子[编辑]
实验室当中发现的十重态群以下、四夸克以上状态的粒子：
Ө++及反粒子Ө−−。
双奇五夸克态Φ−−
（ssddu），十重态群的一员。
2003年，X（3872）四夸克态由日本Belle Collaboration发现。
2004年，带反魅夸克的五夸克态Θ0
c（3100，uuddc）H1 collaboration侦测到。
2004年，DsJ（2632）四夸克态候选由费米实验室SELEX发现。
2007年，Y（4660）四夸克态由日本Belle Collaboration发现。
2009年，Y（4140）四夸克态候选由费米实验室发现。
2010年，两名来自DESY的科学家及一名来自Quaid-i-Azam University（乌尔都语：جامعہ قائداعظم）的科学家重新分析先前有关于ϒ（5S）介子的资料，发现了一个稳定的四夸克共振态。
2013年，Zc（3900）四夸克态于2013年6月18日由BESIII公布发现，同步发现的日本Belle实验室则称之为Z(3895)，实验则于2013年3月左右进行。
2013年底，Zc（4020）与Zc（4025）四夸克态由BESIII公布发现。
2014年初，Z（4430）四夸克态由日本Belle实验室公布发现，LHCb成功确认。
五夸克态、六夸克态（双重子）、七夸克态与十重态群至今为止，实验观测的置信度都低于6σ，学界依然在争议当中，目前发现的潜在多夸克态候选粒子，大部分都被排除，绝大多数都只是混杂态，目前还没有决定性的证据出现，而SU(4)四夸克态依然有待完善化。
多于十重态群的物理机制解释目前并不存在[编辑]
多于十夸克的物理机制，至2014年一月为止，并未有任何实际的验证研究报告提出。夸克星远远超过十个夸克，此外尚不论及引力因素，目前所提出的夸克星模型，均多于十个夸克，对于超过十个夸克的物理机制没有任何说明，并未考量现在的物理事实。
实验室目前无法找到夸克星的基本成分H双重子[编辑]
实验室中尚无法制造出上下夸克转变成奇夸克的多夸克奇异物质，最小号的奇异物质是六夸克双重子（H-dibaryon,uuddss），俗称H双重子，Jaffe的原始推论认为其能阶为81MeV。然而包含RHIC与LHC等粒子加速器在内实验二十多年，投注最少上千名物理学博士，没有任何一个实验室在各种能阶上面报告它们成功找到六夸克H双重子，能量到2.41GeV也没有找到，RHIC则在几乎所有的Low Bound能阶都无法找到H双重子存在的证据，H双重子事实上是粒子物理的热门粒子。如果找到H双重子，而其性质正如奇异物质假说的一样，夸克星的假说才有成立的可能性。
尚无法验证的理论物理预测[编辑]
带负电荷奇异物质[编辑]
夸克星产生的带负电荷奇异物质能与正常粒子发生作用。
一般而言，奇异物质（Strangelet）都是带正电荷的，但是在高能撞击下，却能形成带负电荷奇异物质。夸克星的形成机制，却正好是高能撞击，因此，如果奇异物质理论正确，带负电荷奇异物质在极超新星爆发下，并非是个罕见物质。
带负电荷奇异物质与正常粒子发生作用是一个极危险的反应，并且将正常原子转化成奇异物质。如果这个反应不幸的是个连锁反应（按照地球尚未被毁灭的状况来推论，应该不会是连锁反应，但是并没有实际的实验数据说明它的性质），那么极超新星爆发的粒子与地球撞击，将是一个极度可怕的灾难。
至今为止，奇异物质（Strangelet）理论都还只是一个假说，许多的争辩还在进行当中。例如，于所有的射线搜寻当中，都没有找到奇异物质存在的痕迹。NASA的月球土壤当中，亦没有奇异物质的痕迹被找到。而对中子星的思维推论，如果奇异物质会转化一般物质，那么中子星最后应该连表面都被转化到奇异物质，但是，实际从光谱上面的观测，都是正常的核所发射出的光谱线。
色禁闭突破问题[编辑]
地球上进行的色禁闭突破实验，引力场明显与夸克星上的引力场有巨大差距，色禁闭突破的能阶是否相同，完全是个疑问，引力参数差距影响实验数据是否可以适用或是必须进行理论修正，目前完全没有技术能力进行验证。
色禁闭突破与强引力同步作用的物理机制目前尚不清楚。
夸克星是透过色禁闭突破（Deconfinement）形成的，形成之时，强引力便已经存在。有研究表明，色禁闭突破在强引力条件下，并非必然成立，强引力的条件下，夸克有可能发生相变，从而使得奇异物质假说在强引力的条件下无法形成，然而这样的研究超出现有的实际物理能力。
此外，带色夸克（dressed quark）是否会出现，也会影响夸克星的外部观测性质。
地球上无法制造这种实验环境，从而无法检验色禁闭突破与重力同步作用下，物理效应确切是什么，理论亦未曾探讨过。
孤子波震荡关系[编辑]
Witten奇异物质的奇异态与李政道所提出的束缚孤子态之间可能发生的相变，极有可能在夸克星当中发生，然而它会在星体内发生什么样的具体效应，对于星体机制有何影响，对于星体稳定机制的贡献如何，至今为止并没有系统化完整的研究。
小出义夫轻子质量公式问题[编辑]
在强引力作用下，小出义夫轻子质量公式（Yoshio Koide formula,en:Koide formula）是否还依然成立，这是一个关系到夸克星能源及质量生成机制的重要疑问，目前没有任何手段来检验。
小出义夫轻子质量公式：
, 1⁄3 < Q < 1是极为明显的。
电子、μ子及τ子的实验测量值分别为me = 0.510998910(13) MeV/c2, mμ = 105.658367(4) MeV/c2,及mτ = 1,776.84(17) MeV/c2，因而得出
。
小出义夫轻子质量公式是物理学当中尚未有答案的神秘质量生成机制问题，目前夸克星的研究几乎都专注于“非轻子过程”，对于轻子的交互作用尽力的避开而不讨论，使得夸克星模型产生明显的空缺地带。
大气消灭速度[编辑]
夸克星大气消灭速度问题，假设夸克星大气也是由奇异物质（H双重子）所组成的，就现行对多夸克态物理的了解，猜测稀薄的H双重子存在的寿命很短，如果夸克星大气是H双重子，那么夸克星大气消灭速度能够让夸克星维持多久的星体稳定。
由大气消灭速度问题所产生，学者提出了“裸奇异星”，也就是夸克星外围壳层因为H双重子大气的快速衰变，因而使得内核奇异物质完全裸露出来的夸克星。
星体稳定机制[编辑]
夸克星的星体稳定机制解释，目前实际并不存在，是一个主要具有高度争议性的课题。
夸克星的正确星体结构图目前无人能够提出不产生自相矛盾的理论，这包含了“密度均匀说”及“弱电星结构说”，两者均在提出后有论文再证明其不可能实际稳定，提出者及证伪者都具有高度的专业水平，最顶级的专家同行没有长期仔细检验亦无法看出破绽。
目前科普文章介绍的夸克星图鉴及结构均不是正确的星体稳定结构，目前并没有人成功提出合格的夸克星稳定结构。
“密度均匀说”是理想实验室下的条件，假定了物质完全不发生衰变的条件下才会发生，它将实际上大约1.7%衰变的生成率设定为0%，在物理上1.7%衰变生成率是非常高的数值，这意味夸克星内核经常性会发生粒子衰变，导致密度均匀性的破坏，因此“密度均匀说”是一个看似合理却完全错误的夸克星说法。会有这种说法的出现，基本上来源自科普文章作者并不读专业论文或是无法读懂专业论文，刻意或根本无知地将边界条件设定去除或忽略，而这些边界条件是绝对重要而不可去除的，科普文章作者选择性地将容易吸引读者目光的内容加入，却不提及其发生可能性高度接近于零，因而导致将错误的说法到处传播的问题。
宣称星体可以稳定者多数从某一个角度推算而得到结论（例如只从量子力学或只从引力出发），然而由另一个角度或多个角度进行推算的时候，就会发生该模型的隐藏性陷阱。因此，全面而完整的星体稳定机制，目前并不存在，这包含了单纯使用体黏滞性抵抗强引力作为主要论证的星体稳定机制，该机制由其他角度推算时有理论陷阱使之实际不成立（黏滞性破坏的衰变机制）。
不过，高度体黏滞性依然是夸克星的最重要特性之一。
或者，夸克星本身在宇宙中，就不可能长期稳定存在，至少在SN 1987A的观测上，可以体验到这个现实观测问题。
目前提出的夸克星模型，均没有办法妥善解释内部结构所造成的能量流向可以导致夸克星星体于太空中维持完整性的机制，各类计算机模型均导致星体结构瓦解的预测。这是由于对量子引力效应尚未有任何可行研究成果，对于所发生的效应无法进行正确预测所导致，过去的模型大多使用半古典力学修正建立，发生了一系列模型无法自圆其说的困难。
证明完整的夸克星星体稳定机制及演化过程是一项难度非常高的理论与实验的工作，牵涉太多无法取得实验数据的环节，许多这个领域的顶级专业学者尝试十余年均以失败告终。
重子污染困难[编辑]
大部分的夸克星能量模型使用火球模型进行理论分析时，会发生伽玛射线爆（GRB, Gamma Ray Burst）因重子过多而无法膨胀达到极端相对论的要求，这就是“重子污染”困难，“重子污染”使得夸克星的能量来源形成解释上的困难。
伽玛射线爆（GRB）不能含有高含量的“重子”，否则能量无法供应粒子进行高速运动而产生伽玛射线爆，然而，“夸克星”却是富含“重子”的星体，中子星与夸克星是几乎完全由“重子”所构成的星体，如何解释几乎完全由“重子”所组成的星体却会发出重子低含量的伽玛射线爆，成了星体能源模型理论上的超级困难。中子星因为星体中还可以含有相当数量的轻子，因此解释上困难度不大。夸克星因为在坍缩时期所造成的轻子含量大幅度降低，解释夸克星的重子含量比例则成了能量上的超级难题。
“重子污染”主要是因为理论不完备而在理论模型上发生解释上的困难，并非真正会发生“污染重子现象”。
“重子污染困难”导致学界在对待“高速旋转中子星”是否为夸克星的认定上，形成了长久的极大保留态度。许多解决方案被提出，例如“奇异星相变”理论。
奇异物质的体粘滞性质[编辑]
中国最重要的天体物理学家之一陆埮，体粘滞性的研究使得中国在奇异星及多夸克态物理研究上占据世界领先，陆埮也培养出一整批该领域的世界级专家。
由于十重态群以上的奇异物质没有任何的物性验证报告，奇异物质的体粘滞性质虽然推论完整，适用于弱磁场下，但是仅为理论，在夸克胶子影响重力效应的实验检验后（引力系由夸克胶子之间的活动产生的理论，此一模型如果成立，奇异物质的体粘滞性质将可能发生理论困难），需要视状况进行修正。
奇异物质的体粘滞性比普通核物质高上许多个量级（105），是高密度奇异物质最重要的动力学特征之一。体粘滞性越强，刚性越大，天体越可以高速旋转，有研究认为高度的体粘滞性，是夸克星可以达到克普勒极限用以依赖高速旋转抵抗强引力，而维持星体完整的重要原因之一。
中子星的理论旋转速度只能达10ms，而夸克星的最低旋转周期则为3ms，据此计算，有些天体物理学家认为，超过300Hz高速旋转中子星，实际都应该是夸克星，加上夸克星与中子星的表层大气物理现象非常接近，使得夸克星与中子星难以分辨，如此而言，夸克星的数量应当是比想像的更多。另外一种计算则认为中子星的极限旋转速度能达2ms，而夸克星的最低旋转周期可达为1.65ms，因此高速旋转中子星必须要超过500Hz才能够被怀疑为夸克星。
夸克星能够达到高速旋转主要是由体黏滞性所贡献。奇异物质的体粘滞性是奇异星性质的关键性里程碑级重要研究成果，对其物态方程有绝对的影响，是一项使得关于所有夸克星的研究可以继续进行的重要理论支柱。
真空极化问题[编辑]
重力真空星当中的真空极化机制（quark vacuum polarization），是否会在夸克星内核当中触发“中微子爆发”，伴随“夸克星星震”，目前依然决定着夸克星结构机制上的一个重大疑问。夸克星结构至今为止，并未有定论，内核是否有真空极化所产生的空间壁，学术研究上还有疑义。
真空极化现象需要电磁场，这表示夸克星内部必须产生强磁与电场，电磁场来源的机制则必须有来源。
如果夸克星不存在真空极化现象，则演化成重力真空星、模糊球及黑洞的理论全部遭遇理论困难，必须寻求替代解释方案。
如果夸克星存在真空极化现象，夸克星演化过程当中会产生重力真空星当中的空间壁，内部存在拟视界层，中心为空洞或是存在空间泡，则现有的夸克星模型几乎全部都是错误的。
2013年三月中左右，CERN宣布的第二次确认希格斯玻色子125.3-126.0GeV能阶，置信度约5.9σ，基本上确立“标准模型”原则上是完全正确的一个近代物理理论，夸克星核心透过“中微子爆发”释放能量，能量的来源基本上来自于真空极化，虚粒子对的产生，导致“希格斯玻色子”及“时间量子”（chronon）生成的机率升高，并使得内核走向更低能阶的真空基态，进而产生进一步坍缩的机制，核心开始转变成空间壁维度紧化而迈向下一步坍缩机制，时间维度因“时间量子”产生被紧致化，产生不存在时间的纯三维空间壁，因此可推导得夸克星的下一个演化星体，原则上应该是“重力真空星”，这使得全部的物理机制得到相对较完善的解释。这对“广义相对论”推导的“经典黑洞理论”是一项重大打击，“经典黑洞理论”长年在天体物理学界产生争端，具有重大弊端及严重矛盾，许多天体物理学家处理“类黑洞星体”时，喜欢将之替换为中子星来近似处理，因为“广义相对论”无法建立实际的物态方程，对于处理真正的物态机制是一项极严重的问题，此一物理流派持续认定会产生“奇点”及“事件视界”的物理理论就是一个错误的物理理论。据此，“广义相对论”是一个错误的理论倾向加大，除非在标量不变的等价延展理论上有新的进展，能够消解掉“奇点”及“事件视界”，并且证明不存在“量子奇点”（Quantum Singularity），否则辅以对“夸克星”、“重力真空星”及“模糊球”做进一步研究，“经典黑洞理论”被证明是错误理论的机率大幅度增高，进而反证得到“广义相对论”是一个错误的物理理论。
使用“时间量子理论”（Caldirola-Montaldi Chronon Model）推导可得相对比较正确的结论，原始的Caldirola-Montaldi时间量子方程如下：
由于m0会导致无限大的出现，此一原始方程实际不具备正确的物理含意，物理含意无法正确诠释，修正为如下方程：
则得到“时间量子与质量的量子缠绕态”，含意即为时间与质量具备缠绕关系，使用“时间晶格”分析手段，质量越小，时间量子由于相对增大，这会导致量子力学的效应越明显，而质量越大，时间量子由于逼近于零，使得我们的观测技术下，物理效应逼近于传统的“广义相对论”。转换到量子物理上的诠释，即为希格斯玻色子与时间量子的量子缠绕态造成近似“广义相对论”的几何拓扑诠释方式，这使得“量子引力理论”与“时间场力学”（一种假设时间本身也具有场及力的交互作用理论）的发展成为真实可能，不过这种诠释方式则留下希格斯玻色子、时间量子及引力子如何完成这样的量子缠绕程序的疑问。
2014年二月份的新研究显示，给定上下界进行量子化以后，由于“量子退相干”效应，该方程直接使得“广义相对论”在中子星与夸克星的适用性失效，必须改用“Hořava–Lif***z gravity”推导，才能得到正确的推论结果。此理论若可得到证实，则是“广义相对论”证伪的重要理论，主要的关键即为劳伦兹变换在高能阶的处理方式导致重整化的经常性失败，“广义相对论”做了错误的假设，在凝聚态物理当中已经发现“广义相对论”的失误，在夸克星模型当中事实上也发现了“广义相对论”的重大缺失，该理论也同时指出“经典黑洞”不太可能真实存在，这使得研究夸克星对未来物理学发展的意义越来越重大。有越来越多的迹象显示“广义相对论”在高能阶处理方式上有误，夸克星模型则是其中之一，对夸克星的精细量子效应的研究将成为新物理学的重要突破口。
如果第三方实验数据确认发现希格斯玻色子，则夸克星的引力机制及质量生成机制，涉及使用“广义相对论”的部份，必须全面修改，做更进一步深入研究，则可检验“广义相对论”是否是一个错误的物理理论有很大的帮助。目前可替代“广义相对论”的新理论则有“Hořava–Lif***z gravity”及Scalar invariant系列的等价延展理论，“Hořava–Lif***z gravity”对劳伦兹变换在高能区域做了新的处理方式，等价延展理论则去除掉“广义相对论”的一些不太恰当的假设，如果成功结合Unparticle理论，全系列的物理理论都会相对比较协调，消解掉“广义相对论”所造成的长年争议。以目前而言，采用“广义相对论”对夸克星推导，都持续产生矛盾的推论结果，采用新的量子引力理论来推导夸克星机制，会有比较新观点的正确推论结果出现。
这个议题在学术研究上还有很大争议。
γ-模不稳定性[编辑]
γ-模不稳定性及窗口在区分中子星和夸克星时，有相当大的帮助。γ-模的不稳定性会导致致密星的旋转速度改变。（Andersson 1998; Friedman & Morsink 1998; Lindblom, Owen, & Morsink 1998; Kokkotas & Stergioulas 1999）
星体物质的体黏滞性会直接影响星体的γ-模不稳定性，中子星和夸克星的γ-模不稳定性窗口在温度上有极大的差异，是分辨中子星和夸克星的重要依据。
色超导与超固态[编辑]
如果夸克星中存在色超导状态（Color Superconductivity），则会对夸克星造成一系列的影响，包含了冷却性质、转动不稳定性、禁闭突破密度与磁场。适当条件下则会产生超固态。
引力辐射的抑制问题[编辑]
CFS机制导致引力辐射的不稳定，结果会导致发生坍缩成黑洞、再度星爆、星震或伽玛射线爆。
奇异物质低密度声速物性行为完全相反[编辑]
奇异物质于高密度及高速的状态下，性质是稳定的。然而，理论推算则是认为奇异物质于低密度的声速状态下，物性行为完全相反。这个推论至今为止无法用实验来验证。
候选星[编辑]
以目前来说，夸克星仍只是理论上的假设星体，尚未获得证实，目前所观测的潜在夸克星仅为臆测。至2011年一月为止，有七个天体被怀疑是夸克星，分别为RX J1856.5-3754、3C58、XTE J1739-285、SN 1987A、SN 2005gj、SN 2005ap及SN 2006gy。1998年左右，两颗由华人天体物理学家所提出的高速旋转中子星可能是夸克星，但是因为提不出数据验证，其他组的天体物理学家给出不同的分析结果，因而未被列入候选星当中。如果将超过300Hz的高速旋转中子星及超强磁中子星也列入夸克星候选星，则可能是夸克星的天体大约达三十余颗，例如SAX J1808.4-3658（401Hz）及PSR B0943+10（北京大学岳友岭、徐仁新2006年建议为低质量夸克星，距地球3000光年，转速1.1秒，有非常独特的磁场与X射线交替震荡，震荡周期大约数个小时，由于夸克星模型实际上一直存在理论正确性问题，虽然PSR B0943+10转速相对低，一般在理由充分的条件下，学界接受这样的夸克星候选体建议）。
钱德拉X射线天文台在2002年4月10日观测到的两个星体RXJ1856和3C58被认为可能是夸克星。在这之前，这两个星体一直被认为是中子星。
天文学家在2008年则新发现三颗可能的夸克星：SN 2005gj、SN 2005ap、SN 2006gy。其中SN 2005ap、SN 2006gy分别为有史以来最强大的超新星爆发，SN 2006gy亮度甚至超过周围的整个银河系星系核（NGC 1260）数倍，SN 2005ap亮度更是SN 2006gy的两倍。目前最有希望实际观测到夸克星性质的应该是这两颗超新星。但是这三颗的爆发后的观测时间较短，并没有后续报告来强力支持其为夸克星，只能说明它们可能不是中子星。
MIT袋模型是目前用以推导夸克星的最主要基础流行理论。无袋模型修正下，夸克星的模型显示出与观测数据差距甚大，模型与观测的吻合程度并不一致。
对夸克星有效的分析方法目前除去“袋模型”，还有半古典修正。
星体半径的计算[编辑]
理查德·托尔曼（Richard Chace Tolman）提出托尔曼－奥本海默－沃尔科夫方程式
罗伯特·奥本海默提出托尔曼－奥本海默－沃尔科夫方程式
乔治·沃尔科夫（George Michael Volkoff）提出托尔曼－奥本海默－沃尔科夫方程式
中子星的半径透过托尔曼－奥本海默－沃尔科夫方程式（en:Tolman-Oppenheimer-Volkoff limit）来计算－半径与质量的关系是三次方成反比，考虑以“上夸克”及“下夸克”为主的中子所造成的各类反应作用力所造成的结果。夸克星则相反，半径与质量的关系是三次方成正比，考虑以“上夸克”、“下夸克”及“奇夸克”的超核系统为主所造成的各类反应及相关作用力的结果，这个推论并未考虑量子引力效应，因此只能被视为是理论推导的结果，目前还无法透过观测来验证。
这个推论目前已经开始发生争议，特别是状态方程的适用性问题，几种新的说法开始出现，包含夸克星的半径上限比中子星半径上限大，不过都没有实验与观测数据来证明，可信度都不高，特别是奇异物质物性根本并没有任何检验报告，也就导致说法大都属于理论猜测。
夸克星的直径估算上限是10,000米以内，一般应当是大约4,000－7,000米，加上大气的因素，观测上大约小于15,000米的中子星就可以考虑是否其为夸克星候选星。考虑到大小及距离，实验与观测数据难以取得。
2013年一月，使用μ-氢原子对质子大小测定的实验，导致2013年以前推导的夸克星模型物态方程必须全部重新计算，上述数值系由旧理论所推导而得，正确性是必须怀疑的。由于质子大小对量子电动力学的修正尚未完成，理论物理学界还无法找到正确的推导，新的夸克星半径估算亦未被提出。
希格斯玻色子对夸克星的稳定性效应[编辑]
希格斯玻色子的出现对于夸克星的稳定结构有重要的影响。
H双重子的能阶大约在2.220GeV到2.250GeV左右，而希格斯玻色子的能阶大约在125.3GeV到126GeV左右。当H双重子迈向更低能阶的奇异物质团演化时，更多的能量被释放出来，夸克星内部某些密度更高的临界区域则能持续到达125.3GeV的稳定能量流释放（126 / 2.25 = 56.0，量级仅相差二，既意味发生机率极高，简单的估计方式，夸克星内部至少有1.785%的区域能阶持续处于126GeV左右或以上，忽略希格斯玻色子量子效应的夸克星模型不可能是正确的夸克星模型），当这种情形发生的时候，大批的希格斯玻色子则被撞击而成为粒子型态，这造成至少三种主要量子效应。
第一个量子效应是由于能量因为希格斯玻色子的出现而被吸收掉，使得夸克星不会因为区域能量流过高而立即被瓦解掉，因此可以预期夸克星的寿命比原有推算的模型更长，而能量流被吸收时，则应当会释放射线爆。
第二个量子效应是由于希格斯玻色子的出现，原有的奇异物质团的结构造成破坏，原有的理论是整个夸克星都是奇异物质团，但是由于希格斯玻色子的出现，这个论点目前则不成立，可能性较高的是夸克星是一团一团的奇异物质团所组成的，而非单一奇异物质团所组成，此即为奇异物质团稳定性的破坏。以此效应而言，基本上可以否决夸克星是个巨型粒子天体的说法，同时也可以否决掉夸克星密度均匀说。
第三个量子效应是由于希格斯玻色子的出现，相关的连锁反应导致真空极化效应的出现，奇异物质团并非如同原有理论所称的具备极长久的稳定性，一部分连锁反应当可成为夸克轻子的转换来源，解释了夸克星当中的弱作用力轻子生成源，而虚粒子对的出现使得夸克星某些局部可以进入比奇异物质更高密度的物质状态，因此迈向更高的星体密度，向下一步更高密度星体演化的理论可以得到完善的解释，亦即比夸克星更高密度的星体应当是理论上可以存在的。
希格斯玻色子应当也是夸克星星震的主要贡献来源之一。
弦理论的推论[编辑]
弦理论是另外一个极为有效的推论方法，但是由于弦理论的预测至今为止没有任何一项被验证，因此学界普遍不采信。这包含使用快子场论、量子虫洞、弦场论（Torsion Field Theory a.k.a. Einstein–Cartan–Sciama–Kibble theory）及引力磁性进行分析的学派，学界一概不采信，因为物理学是以实验为基础的科学，而这些理论并不符合必备条件，只能被视为非主流诠释，可信度还有很高的争议。
广义相对论导致大批矛盾[编辑]
广义相对论在夸克星模型上导致大批矛盾及错误，学界目前都采用半古典修正来避开问题，在夸克星模型研究方面，假定广义相对论是一个错误的理论已经是完全必要，特别是劳伦兹变换在高能阶区域的处理方式，产生了无数的争议，研究夸克星模型必须寻求广义相对论替代方案来解决矛盾问题，目前最有希望解决矛盾问题的理论是“Hořava gravity”。
理论不完备，涉及未知的物理[编辑]
夸克星相关理论发展并不完备，涉及未知的物理，实验目前无法验证理论，需要使用尚未验证的理论进行推导，“夸克星”性质依然有待更多研究探讨其机制，并且逐步以实验验证每项物理反应机制的真实性来确认其真实可能存在性。
依循渐进的物理验证法，首先必须由高能物理证实H双重子的真实存在性，其后还必须验证奇异物质的奇异性真实存在性，此二者直接关系夸克星理论是否确立无误，这两项环节目前都还属于当前高能物理当中的重大未解课题，目前的实验都还不支持其真实性。此外，还必须透过实验观测多夸克物质的相变问题，多夸克物理当中，除去“奇异态”以外，至少还存在“孤子态”，两种状态理论上而言会发生相变，此外还有多夸克物质形成复合玻色子所产生的量子统计规律问题，缺失环节大约有三十多项以上尚未验证的重要物理预测，技术力与财务限制短期内还无法实现这些实验，多项变因从而影响夸克星的物态方程，进而全面修正过往发展出来的夸克星理论。
因此，夸克星是否存在需要这些实验确认以后，才能透过观测来逐步推敲及验证，讨论夸克星是否真实存在，这些实验完成验证之前，言之尚早。
目前夸克星机制当中，为方便建立模型而忽略太多重要的细节，大量物理环节都仅仅停留在猜想阶段，实验目前不能验证其真实性，存在太多变因使过往发展的夸克星模型必须进行修正，此为主要由实验物理学家所持有保守怀疑态度的坚强反对理据。
夸克物质形成机制理论[编辑]
十重态群以下、四夸克以上状态的粒子[编辑]
实验室当中发现的十重态群以下、四夸克以上状态的粒子：
- Jaffe 1977，建议四夸克状态的粒子存在，其奇异状态为（qsqs）。
- Jaffe 1977，建议H dibaryon，六夸克状态有相同数量的上夸克、下夸克、奇夸克（表达为uuddss或udsuds）。
- 重夸克束缚多夸克系统（QQqq）。
- 1987年，具有反魅夸克的五夸克状态首次被提出（qqqsc）。
- 具有反奇夸克及四个由上下夸克的轻夸克所组成的五夸克状态（qqqqs）。
- 轻五夸克群凝聚成十重态群（十个夸克一群,antidecuplet），最轻的候选者为，Ө+，LEPS日本春天八号于2003年发现。
- 由Jaffe及Wilczek（QCD）所提出的双夸克模型亦可解释这个现象。
（ssddu），十重态群的一员。
c（3100，uuddc）H1 collaboration侦测到。
五夸克态、六夸克态（双重子）、七夸克态与十重态群至今为止，实验观测的置信度都低于6σ，学界依然在争议当中，目前发现的潜在多夸克态候选粒子，大部分都被排除，绝大多数都只是混杂态，目前还没有决定性的证据出现，而SU(4)四夸克态依然有待完善化。
多于十重态群的物理机制解释目前并不存在[编辑]
多于十夸克的物理机制，至2014年一月为止，并未有任何实际的验证研究报告提出。夸克星远远超过十个夸克，此外尚不论及引力因素，目前所提出的夸克星模型，均多于十个夸克，对于超过十个夸克的物理机制没有任何说明，并未考量现在的物理事实。
实验室目前无法找到夸克星的基本成分H双重子[编辑]
实验室中尚无法制造出上下夸克转变成奇夸克的多夸克奇异物质，最小号的奇异物质是六夸克双重子（H-dibaryon,uuddss），俗称H双重子，Jaffe的原始推论认为其能阶为81MeV。然而包含RHIC与LHC等粒子加速器在内实验二十多年，投注最少上千名物理学博士，没有任何一个实验室在各种能阶上面报告它们成功找到六夸克H双重子，能量到2.41GeV也没有找到，RHIC则在几乎所有的Low Bound能阶都无法找到H双重子存在的证据，H双重子事实上是粒子物理的热门粒子。如果找到H双重子，而其性质正如奇异物质假说的一样，夸克星的假说才有成立的可能性。
尚无法验证的理论物理预测[编辑]
带负电荷奇异物质[编辑]
夸克星产生的带负电荷奇异物质能与正常粒子发生作用。
一般而言，奇异物质（Strangelet）都是带正电荷的，但是在高能撞击下，却能形成带负电荷奇异物质。夸克星的形成机制，却正好是高能撞击，因此，如果奇异物质理论正确，带负电荷奇异物质在极超新星爆发下，并非是个罕见物质。
带负电荷奇异物质与正常粒子发生作用是一个极危险的反应，并且将正常原子转化成奇异物质。如果这个反应不幸的是个连锁反应（按照地球尚未被毁灭的状况来推论，应该不会是连锁反应，但是并没有实际的实验数据说明它的性质），那么极超新星爆发的粒子与地球撞击，将是一个极度可怕的灾难。
至今为止，奇异物质（Strangelet）理论都还只是一个假说，许多的争辩还在进行当中。例如，于所有的射线搜寻当中，都没有找到奇异物质存在的痕迹。NASA的月球土壤当中，亦没有奇异物质的痕迹被找到。而对中子星的思维推论，如果奇异物质会转化一般物质，那么中子星最后应该连表面都被转化到奇异物质，但是，实际从光谱上面的观测，都是正常的核所发射出的光谱线。
色禁闭突破问题[编辑]
地球上进行的色禁闭突破实验，引力场明显与夸克星上的引力场有巨大差距，色禁闭突破的能阶是否相同，完全是个疑问，引力参数差距影响实验数据是否可以适用或是必须进行理论修正，目前完全没有技术能力进行验证。
色禁闭突破与强引力同步作用的物理机制目前尚不清楚。
夸克星是透过色禁闭突破（Deconfinement）形成的，形成之时，强引力便已经存在。有研究表明，色禁闭突破在强引力条件下，并非必然成立，强引力的条件下，夸克有可能发生相变，从而使得奇异物质假说在强引力的条件下无法形成，然而这样的研究超出现有的实际物理能力。
此外，带色夸克（dressed quark）是否会出现，也会影响夸克星的外部观测性质。
地球上无法制造这种实验环境，从而无法检验色禁闭突破与重力同步作用下，物理效应确切是什么，理论亦未曾探讨过。
- Exotic Multi-quark States in the Deconfined Phase from Gravity Dual Models 0811.0243
- Towards Quark Deconfinement in Neutron Stars via Spindown: Gravitational Waves or Magnetic Braking? 1107.1000
- Gravitational collapse to third family compact stars [10]
孤子波震荡关系[编辑]
Witten奇异物质的奇异态与李政道所提出的束缚孤子态之间可能发生的相变，极有可能在夸克星当中发生，然而它会在星体内发生什么样的具体效应，对于星体机制有何影响，对于星体稳定机制的贡献如何，至今为止并没有系统化完整的研究。
小出义夫轻子质量公式问题[编辑]
在强引力作用下，小出义夫轻子质量公式（Yoshio Koide formula,en:Koide formula）是否还依然成立，这是一个关系到夸克星能源及质量生成机制的重要疑问，目前没有任何手段来检验。
小出义夫轻子质量公式：
, 1⁄3 < Q < 1是极为明显的。电子、μ子及τ子的实验测量值分别为me = 0.510998910(13) MeV/c2, mμ = 105.658367(4) MeV/c2,及mτ = 1,776.84(17) MeV/c2，因而得出
。小出义夫轻子质量公式是物理学当中尚未有答案的神秘质量生成机制问题，目前夸克星的研究几乎都专注于“非轻子过程”，对于轻子的交互作用尽力的避开而不讨论，使得夸克星模型产生明显的空缺地带。
大气消灭速度[编辑]
夸克星大气消灭速度问题，假设夸克星大气也是由奇异物质（H双重子）所组成的，就现行对多夸克态物理的了解，猜测稀薄的H双重子存在的寿命很短，如果夸克星大气是H双重子，那么夸克星大气消灭速度能够让夸克星维持多久的星体稳定。
由大气消灭速度问题所产生，学者提出了“裸奇异星”，也就是夸克星外围壳层因为H双重子大气的快速衰变，因而使得内核奇异物质完全裸露出来的夸克星。
星体稳定机制[编辑]
夸克星的星体稳定机制解释，目前实际并不存在，是一个主要具有高度争议性的课题。
夸克星的正确星体结构图目前无人能够提出不产生自相矛盾的理论，这包含了“密度均匀说”及“弱电星结构说”，两者均在提出后有论文再证明其不可能实际稳定，提出者及证伪者都具有高度的专业水平，最顶级的专家同行没有长期仔细检验亦无法看出破绽。
目前科普文章介绍的夸克星图鉴及结构均不是正确的星体稳定结构，目前并没有人成功提出合格的夸克星稳定结构。
“密度均匀说”是理想实验室下的条件，假定了物质完全不发生衰变的条件下才会发生，它将实际上大约1.7%衰变的生成率设定为0%，在物理上1.7%衰变生成率是非常高的数值，这意味夸克星内核经常性会发生粒子衰变，导致密度均匀性的破坏，因此“密度均匀说”是一个看似合理却完全错误的夸克星说法。会有这种说法的出现，基本上来源自科普文章作者并不读专业论文或是无法读懂专业论文，刻意或根本无知地将边界条件设定去除或忽略，而这些边界条件是绝对重要而不可去除的，科普文章作者选择性地将容易吸引读者目光的内容加入，却不提及其发生可能性高度接近于零，因而导致将错误的说法到处传播的问题。
宣称星体可以稳定者多数从某一个角度推算而得到结论（例如只从量子力学或只从引力出发），然而由另一个角度或多个角度进行推算的时候，就会发生该模型的隐藏性陷阱。因此，全面而完整的星体稳定机制，目前并不存在，这包含了单纯使用体黏滞性抵抗强引力作为主要论证的星体稳定机制，该机制由其他角度推算时有理论陷阱使之实际不成立（黏滞性破坏的衰变机制）。
不过，高度体黏滞性依然是夸克星的最重要特性之一。
或者，夸克星本身在宇宙中，就不可能长期稳定存在，至少在SN 1987A的观测上，可以体验到这个现实观测问题。
目前提出的夸克星模型，均没有办法妥善解释内部结构所造成的能量流向可以导致夸克星星体于太空中维持完整性的机制，各类计算机模型均导致星体结构瓦解的预测。这是由于对量子引力效应尚未有任何可行研究成果，对于所发生的效应无法进行正确预测所导致，过去的模型大多使用半古典力学修正建立，发生了一系列模型无法自圆其说的困难。
证明完整的夸克星星体稳定机制及演化过程是一项难度非常高的理论与实验的工作，牵涉太多无法取得实验数据的环节，许多这个领域的顶级专业学者尝试十余年均以失败告终。
重子污染困难[编辑]
大部分的夸克星能量模型使用火球模型进行理论分析时，会发生伽玛射线爆（GRB, Gamma Ray Burst）因重子过多而无法膨胀达到极端相对论的要求，这就是“重子污染”困难，“重子污染”使得夸克星的能量来源形成解释上的困难。
伽玛射线爆（GRB）不能含有高含量的“重子”，否则能量无法供应粒子进行高速运动而产生伽玛射线爆，然而，“夸克星”却是富含“重子”的星体，中子星与夸克星是几乎完全由“重子”所构成的星体，如何解释几乎完全由“重子”所组成的星体却会发出重子低含量的伽玛射线爆，成了星体能源模型理论上的超级困难。中子星因为星体中还可以含有相当数量的轻子，因此解释上困难度不大。夸克星因为在坍缩时期所造成的轻子含量大幅度降低，解释夸克星的重子含量比例则成了能量上的超级难题。
“重子污染”主要是因为理论不完备而在理论模型上发生解释上的困难，并非真正会发生“污染重子现象”。
“重子污染困难”导致学界在对待“高速旋转中子星”是否为夸克星的认定上，形成了长久的极大保留态度。许多解决方案被提出，例如“奇异星相变”理论。
奇异物质的体粘滞性质[编辑]
中国最重要的天体物理学家之一陆埮，体粘滞性的研究使得中国在奇异星及多夸克态物理研究上占据世界领先，陆埮也培养出一整批该领域的世界级专家。
由于十重态群以上的奇异物质没有任何的物性验证报告，奇异物质的体粘滞性质虽然推论完整，适用于弱磁场下，但是仅为理论，在夸克胶子影响重力效应的实验检验后（引力系由夸克胶子之间的活动产生的理论，此一模型如果成立，奇异物质的体粘滞性质将可能发生理论困难），需要视状况进行修正。
奇异物质的体粘滞性比普通核物质高上许多个量级（105），是高密度奇异物质最重要的动力学特征之一。体粘滞性越强，刚性越大，天体越可以高速旋转，有研究认为高度的体粘滞性，是夸克星可以达到克普勒极限用以依赖高速旋转抵抗强引力，而维持星体完整的重要原因之一。
中子星的理论旋转速度只能达10ms，而夸克星的最低旋转周期则为3ms，据此计算，有些天体物理学家认为，超过300Hz高速旋转中子星，实际都应该是夸克星，加上夸克星与中子星的表层大气物理现象非常接近，使得夸克星与中子星难以分辨，如此而言，夸克星的数量应当是比想像的更多。另外一种计算则认为中子星的极限旋转速度能达2ms，而夸克星的最低旋转周期可达为1.65ms，因此高速旋转中子星必须要超过500Hz才能够被怀疑为夸克星。
夸克星能够达到高速旋转主要是由体黏滞性所贡献。奇异物质的体粘滞性是奇异星性质的关键性里程碑级重要研究成果，对其物态方程有绝对的影响，是一项使得关于所有夸克星的研究可以继续进行的重要理论支柱。
真空极化问题[编辑]
重力真空星当中的真空极化机制（quark vacuum polarization），是否会在夸克星内核当中触发“中微子爆发”，伴随“夸克星星震”，目前依然决定着夸克星结构机制上的一个重大疑问。夸克星结构至今为止，并未有定论，内核是否有真空极化所产生的空间壁，学术研究上还有疑义。
真空极化现象需要电磁场，这表示夸克星内部必须产生强磁与电场，电磁场来源的机制则必须有来源。
如果夸克星不存在真空极化现象，则演化成重力真空星、模糊球及黑洞的理论全部遭遇理论困难，必须寻求替代解释方案。
如果夸克星存在真空极化现象，夸克星演化过程当中会产生重力真空星当中的空间壁，内部存在拟视界层，中心为空洞或是存在空间泡，则现有的夸克星模型几乎全部都是错误的。
2013年三月中左右，CERN宣布的第二次确认希格斯玻色子125.3-126.0GeV能阶，置信度约5.9σ，基本上确立“标准模型”原则上是完全正确的一个近代物理理论，夸克星核心透过“中微子爆发”释放能量，能量的来源基本上来自于真空极化，虚粒子对的产生，导致“希格斯玻色子”及“时间量子”（chronon）生成的机率升高，并使得内核走向更低能阶的真空基态，进而产生进一步坍缩的机制，核心开始转变成空间壁维度紧化而迈向下一步坍缩机制，时间维度因“时间量子”产生被紧致化，产生不存在时间的纯三维空间壁，因此可推导得夸克星的下一个演化星体，原则上应该是“重力真空星”，这使得全部的物理机制得到相对较完善的解释。这对“广义相对论”推导的“经典黑洞理论”是一项重大打击，“经典黑洞理论”长年在天体物理学界产生争端，具有重大弊端及严重矛盾，许多天体物理学家处理“类黑洞星体”时，喜欢将之替换为中子星来近似处理，因为“广义相对论”无法建立实际的物态方程，对于处理真正的物态机制是一项极严重的问题，此一物理流派持续认定会产生“奇点”及“事件视界”的物理理论就是一个错误的物理理论。据此，“广义相对论”是一个错误的理论倾向加大，除非在标量不变的等价延展理论上有新的进展，能够消解掉“奇点”及“事件视界”，并且证明不存在“量子奇点”（Quantum Singularity），否则辅以对“夸克星”、“重力真空星”及“模糊球”做进一步研究，“经典黑洞理论”被证明是错误理论的机率大幅度增高，进而反证得到“广义相对论”是一个错误的物理理论。
使用“时间量子理论”（Caldirola-Montaldi Chronon Model）推导可得相对比较正确的结论，原始的Caldirola-Montaldi时间量子方程如下：
由于m0会导致无限大的出现，此一原始方程实际不具备正确的物理含意，物理含意无法正确诠释，修正为如下方程：
则得到“时间量子与质量的量子缠绕态”，含意即为时间与质量具备缠绕关系，使用“时间晶格”分析手段，质量越小，时间量子由于相对增大，这会导致量子力学的效应越明显，而质量越大，时间量子由于逼近于零，使得我们的观测技术下，物理效应逼近于传统的“广义相对论”。转换到量子物理上的诠释，即为希格斯玻色子与时间量子的量子缠绕态造成近似“广义相对论”的几何拓扑诠释方式，这使得“量子引力理论”与“时间场力学”（一种假设时间本身也具有场及力的交互作用理论）的发展成为真实可能，不过这种诠释方式则留下希格斯玻色子、时间量子及引力子如何完成这样的量子缠绕程序的疑问。
2014年二月份的新研究显示，给定上下界进行量子化以后，由于“量子退相干”效应，该方程直接使得“广义相对论”在中子星与夸克星的适用性失效，必须改用“Hořava–Lif***z gravity”推导，才能得到正确的推论结果。此理论若可得到证实，则是“广义相对论”证伪的重要理论，主要的关键即为劳伦兹变换在高能阶的处理方式导致重整化的经常性失败，“广义相对论”做了错误的假设，在凝聚态物理当中已经发现“广义相对论”的失误，在夸克星模型当中事实上也发现了“广义相对论”的重大缺失，该理论也同时指出“经典黑洞”不太可能真实存在，这使得研究夸克星对未来物理学发展的意义越来越重大。有越来越多的迹象显示“广义相对论”在高能阶处理方式上有误，夸克星模型则是其中之一，对夸克星的精细量子效应的研究将成为新物理学的重要突破口。
如果第三方实验数据确认发现希格斯玻色子，则夸克星的引力机制及质量生成机制，涉及使用“广义相对论”的部份，必须全面修改，做更进一步深入研究，则可检验“广义相对论”是否是一个错误的物理理论有很大的帮助。目前可替代“广义相对论”的新理论则有“Hořava–Lif***z gravity”及Scalar invariant系列的等价延展理论，“Hořava–Lif***z gravity”对劳伦兹变换在高能区域做了新的处理方式，等价延展理论则去除掉“广义相对论”的一些不太恰当的假设，如果成功结合Unparticle理论，全系列的物理理论都会相对比较协调，消解掉“广义相对论”所造成的长年争议。以目前而言，采用“广义相对论”对夸克星推导，都持续产生矛盾的推论结果，采用新的量子引力理论来推导夸克星机制，会有比较新观点的正确推论结果出现。
这个议题在学术研究上还有很大争议。
- Quark star phenomenology [11]
- Superdense QCD Matter And Compact Stars
γ-模不稳定性[编辑]
γ-模不稳定性及窗口在区分中子星和夸克星时，有相当大的帮助。γ-模的不稳定性会导致致密星的旋转速度改变。（Andersson 1998; Friedman & Morsink 1998; Lindblom, Owen, & Morsink 1998; Kokkotas & Stergioulas 1999）
星体物质的体黏滞性会直接影响星体的γ-模不稳定性，中子星和夸克星的γ-模不稳定性窗口在温度上有极大的差异，是分辨中子星和夸克星的重要依据。
- A New Class of Unstable Modes of Rotating Relativistic Stars, Nils Andersson [12]
色超导与超固态[编辑]
如果夸克星中存在色超导状态（Color Superconductivity），则会对夸克星造成一系列的影响，包含了冷却性质、转动不稳定性、禁闭突破密度与磁场。适当条件下则会产生超固态。
引力辐射的抑制问题[编辑]
CFS机制导致引力辐射的不稳定，结果会导致发生坍缩成黑洞、再度星爆、星震或伽玛射线爆。
奇异物质低密度声速物性行为完全相反[编辑]
奇异物质于高密度及高速的状态下，性质是稳定的。然而，理论推算则是认为奇异物质于低密度的声速状态下，物性行为完全相反。这个推论至今为止无法用实验来验证。
候选星[编辑]
以目前来说，夸克星仍只是理论上的假设星体，尚未获得证实，目前所观测的潜在夸克星仅为臆测。至2011年一月为止，有七个天体被怀疑是夸克星，分别为RX J1856.5-3754、3C58、XTE J1739-285、SN 1987A、SN 2005gj、SN 2005ap及SN 2006gy。1998年左右，两颗由华人天体物理学家所提出的高速旋转中子星可能是夸克星，但是因为提不出数据验证，其他组的天体物理学家给出不同的分析结果，因而未被列入候选星当中。如果将超过300Hz的高速旋转中子星及超强磁中子星也列入夸克星候选星，则可能是夸克星的天体大约达三十余颗，例如SAX J1808.4-3658（401Hz）及PSR B0943+10（北京大学岳友岭、徐仁新2006年建议为低质量夸克星，距地球3000光年，转速1.1秒，有非常独特的磁场与X射线交替震荡，震荡周期大约数个小时，由于夸克星模型实际上一直存在理论正确性问题，虽然PSR B0943+10转速相对低，一般在理由充分的条件下，学界接受这样的夸克星候选体建议）。
钱德拉X射线天文台在2002年4月10日观测到的两个星体RXJ1856和3C58被认为可能是夸克星。在这之前，这两个星体一直被认为是中子星。
天文学家在2008年则新发现三颗可能的夸克星：SN 2005gj、SN 2005ap、SN 2006gy。其中SN 2005ap、SN 2006gy分别为有史以来最强大的超新星爆发，SN 2006gy亮度甚至超过周围的整个银河系星系核（NGC 1260）数倍，SN 2005ap亮度更是SN 2006gy的两倍。目前最有希望实际观测到夸克星性质的应该是这两颗超新星。但是这三颗的爆发后的观测时间较短，并没有后续报告来强力支持其为夸克星，只能说明它们可能不是中子星。
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 01:03
[ltr]RX J1856.5-3754[size=13][编辑]
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RX J1856.5-3754[size][ltr]
根据已知的物理定律，如果它们确实是中子星，那么距离太阳大约400光年的RXJ1856似乎过小，钱德拉X射线天文台报告显示它的直径仅有七公里。以此粗略地推论这两个星体应该是由比中子星密度更高的物质所构成。另一则由Timothy M. Braje及Roger W. Romani等人提出的报告则认为RXJ1856的直径应有二十七公里，依然是一颗中子星。[4]
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3C58[编辑]
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3C58[size][ltr]
钱德拉X射线天文台ACIS S3所得数据显示距离太阳10,000光年左右的3C58则是过冷[5]，无法用标准理论解释中子星形成机制。但是所使用的模型是QGP“夸克胶子等离子模型”，并非“夸克-胶子-引力机制”[6]，RHIC及LHC报告hadronic gas、mixed phase、QGP三者有相当程度的不同，使用QGP解释夸克星非常不适当，推测它是夸克星，也有很大的观测困难，对其是否属于夸克星并没有很大帮助，只能说明它可能不是中子星，尚没有办法断定它是哪一种星体。
XTE J1739-285[编辑]
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XTE J1739-285[size][ltr]
艾奥瓦大学教授认为距离39,000光年的XTE J1739-285可能是潜在的夸克星，它是一颗快速旋转的星体（1,122Hz，高速旋转中子星），并没有详尽的报告相关的数据，亦没有磁场强度报告。多组天体物理学家的资料分析则给出不同的结果，目前普遍依然认为它是一颗中子星，学界对此星体看法较为保守。
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SN 1987A[编辑]
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SN 1987A[size][ltr]
2009年，由于长达二十多年没有发现理论上预测的中子星，天文爱好者认为SN 1987A可能是潜在的夸克星，爆发总能量约为1046焦耳，99%以中微子的形式释出，SN 1987A由于找不到理论上预测应该存在的星体，除了留下周围的回光现象（light echoes），并没有观测到任何理论所预期的星体，目前无法解释其整个超新星爆发的过程及发生机制。
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质量遗失问题（SN 1987A mass loss process）二十多年来导致许多学术争议，除非使用未经验证的理论，例如中子星量子虫洞机制，否则无法充分解释SN 1987A现象，但是量子虫洞机制本身却存在理论不自洽的问题，实验精度置信度都很低，不为学界共同承认，以夸克星做解释也有理论盲点导致不自洽的问题，形成“先子球”的说法虽然可以解释大部分现象，但是“先子”理论却是个尚未证实的理论。SN 1987A目前为止依然是个科学悬念，至今为止，许多颇负盛名的天体物理学家进行的努力、全部理论解释均告失败，没有关键性的观测证据支持任何一个理论。
SN 2005gj[编辑]
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SN 2005gj[size][ltr]
SN 2005gj离地球约为8亿6400万光年，由史隆寻天计划于2005年9月29日所发现的，光度超过SN 1991T的三倍，能量远超过正常超新星爆发。由于距离地球太远，实际的观测技术无法了解具体细节，仅能以理论推断其爆发结果所产生的星体并非中子星或黑洞，唯一合理的“推论”是爆发结果产生了夸克星。
SN 2005ap[编辑]
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SN 2005ap[size][ltr]
SN 2005ap是ROTSE-IIIb于2005年四月三日发现，距离地球大约47亿光年，光度超过SN 2006gy大约两倍，是目前发现的超新星爆发规模最大的一个，是正规II型超新星爆发的300倍左右。此等规模的超新星爆发，理论预测应该会产生夸克星，但是目前没有能力去判定是否确实有星体处于爆发位置。
SN 2006gy[编辑]
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SN 2006gy
SN 2006gy距离地球两亿三千八百万光年[size][ltr]
SN 2006gy由Robert Quimby及P. Mondol于2006年9月18日所发现，距离地球两亿三千八百万光年，它是当时记录最大的超新星爆发，仅次于后来验证发现的SN 2005ap。观测的结果没有发现任何黑洞特征的迹象，推测产生了夸克星，目前的观测能力没有办法验证这项猜测。
没有直接证据说明夸克星真实存在[编辑]
由于相关研究存在多项理论环节缺失，许多的形成机制假设性过高，未验证或无法验证的环节数量甚多，疑义及争议过多，多数天体物理学者则普遍认为这些观察结果仍不足以采信，但均以乐观的态度来审视这些新发现。
未来可能发展成夸克星的邻近星体[编辑]
“海山二”形成夸克星对地球的威胁[编辑]
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海山二，离地球约7500光年[size][ltr]
目前离地球最接近，最有可能转变成夸克星的星体是高光度蓝变星“海山二”（船底座η），离地球约7500光年，质量一百五十倍太阳，星等为五等。由于质量相当的大，又是个多星系统，其星爆威力预计将会极强，爆发时不见得会形成黑洞，有可能形成星云、黑洞、模糊球、重力真空星、中子星或夸克星。海山二的爆发威力相当于SN 2005ap等级，威胁极强，足以发生银河系内的生物大灭绝。
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手枪星及其星云[size][ltr]
由于对于“奇异物质”的物理性质了解甚少，学术上的争辩依然在进行当中，尚不足以完成精确的计算，目前连LHC的能量等级均不足以制造并找到“奇异物质”，因此上述数据出入数字甚大，是否会发生上述所称的灾难，高能天体物理学界看法两极化，目前仅知因为带负电荷奇异物质能够与正常的粒子发生作用，只要极少量的（少于十颗）带负电荷奇异物质（Negatively Charged Strangelet）撞击地球，就能给地球带来四亿五千万年前奥陶纪与志留纪时期毁灭性的结果。天体物理学界对于“海山二”的兴趣极高，花费极大量的资源、金钱及太空天文望远镜专门投注于海山二研究，2003年甚至曾经动用全球的望远镜来观测海山二的X光蚀，可见其十分受天体物理学家的关注，投入的精力仅次于SN 1987A，就其对地球的潜在威胁而言，不难看出天体物理学家们心中的忧虑。
其他可能发展成夸克星的星体[编辑]
其他具有威胁力的星体是：
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均随时可能引发超新星爆发。
中子星与夸克星的区分方式[编辑]
由于体黏滞性差别甚远，某些高速旋转中子星被认为应该是夸克星。
质量与半径的关系[编辑]
以冷星处理，使用Tolman Oppenheimer Volkoff方程计算所得的中子星及夸克星半径关系：
中子星的质量与半径的关系是
。
夸克星的质量与半径的关系是
，上限大约是10,000米。
中子星的半径有下限，否则不可能形成中子星，有趣的是夸克星半径有上限而并几乎无下限，最小可以接近零，几滴落魄的“奇异滴”在太空中游荡，理论上也可被称为“夸克星”。一种看法是这样的现象非常可能发生，如此也补齐了宇宙间的暗物质来源解释。
物态方程的改变会直接改变夸克星半径的预测值，以目前H双重子预期的稳定岛处于H（2220）到H（2250）之间的数值估算，所有关于夸克星的宣称均需要大幅度修改。
磁层辐射[编辑]
据某些推论分析，“超强磁中子星”应该是夸克星，磁层辐射应当与典型中子星有磁场等级上的极大区分，然而，这些理论在轻子含量比例、电荷分离、真空极化、漂移子脉冲、热辐射机制及非热辐射机制等等解释上均遭遇重大矛盾。因此，目前学界依然将超强磁中子星归类在中子星里面。
星爆特征[编辑]
中子星与夸克星的星爆与星震由于基本组成物质特性大不相同，伽玛射线爆所造成的现象有所区分。
时空场差异[编辑]
由于中子星与夸克星的两项主要差异“旋转速度”及“质量半径关系”所造成的物理现象，中子星与夸克星的时空场有所区别，系为极佳的区分方式。
表面物理[编辑]
中子星表面一般有碳大气层及电子壳层，夸克星的表面理论上应当是H双重子与碳大气层混和，有时则因为外围物质全部抛出而成为夸克固态，变成裸奇异星，这两者有一定程度上的区分。碳的来源是由前身星核融合燃烧后，转变成的碳元素，恒星爆发的时候，一般富含碳元素，中子星与夸克星在爆发时期，已经形成强引力，碳元素来不及逃逸，因而被捕获而形成碳大气层。而夸克星则会由星核向外溢出H双重子，因此可以产生中子星与夸克星不同之处。
结合参考系拖拽所造成的时空场差异，中子星与夸克星外围物质的不同，可透过光谱及物质频谱红移进行区分，是极为有效的观测区分手段。
外部链接[编辑]
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相关条目[编辑]
恒星主题首页
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简并物质
量子色动力学物质
夸克-胶子等离子体
奇异夸克团
奇异物质
夸克物质
多中子核物质
先子物质（en:Preon matter）
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参考[编辑]
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外部网站[编辑]
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外部链接[编辑]
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RX J1856.5-3754
根据已知的物理定律，如果它们确实是中子星，那么距离太阳大约400光年的RXJ1856似乎过小，钱德拉X射线天文台报告显示它的直径仅有七公里。以此粗略地推论这两个星体应该是由比中子星密度更高的物质所构成。另一则由Timothy M. Braje及Roger W. Romani等人提出的报告则认为RXJ1856的直径应有二十七公里，依然是一颗中子星。[4]
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- RX J185635-375: Candidate Quark Star, NASA Astronomy Picture of the Day, April 14, 2002
- RX J1856-3754: Evidence for a Stiff Equation of State
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3C58[编辑]
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3C58
钱德拉X射线天文台ACIS S3所得数据显示距离太阳10,000光年左右的3C58则是过冷[5]，无法用标准理论解释中子星形成机制。但是所使用的模型是QGP“夸克胶子等离子模型”，并非“夸克-胶子-引力机制”[6]，RHIC及LHC报告hadronic gas、mixed phase、QGP三者有相当程度的不同，使用QGP解释夸克星非常不适当，推测它是夸克星，也有很大的观测困难，对其是否属于夸克星并没有很大帮助，只能说明它可能不是中子星，尚没有办法断定它是哪一种星体。
XTE J1739-285[编辑]
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XTE J1739-285
艾奥瓦大学教授认为距离39,000光年的XTE J1739-285可能是潜在的夸克星，它是一颗快速旋转的星体（1,122Hz，高速旋转中子星），并没有详尽的报告相关的数据，亦没有磁场强度报告。多组天体物理学家的资料分析则给出不同的结果，目前普遍依然认为它是一颗中子星，学界对此星体看法较为保守。
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- Does Sub-millisecond Pulsar XTE J1739-285 Contain a Low Magnetic Neutron Star or Quark Star ? 0708.3566
- Integral points to the fastest spinning neutron star [13]
- www.harvard.edu/~mtorres/XTEJ1739m285.html" target="_blank" rel="nofollow">http://hea-www.harvard.edu/~mtorres/XTEJ1739m285.html
- INTEGRAL Galactic bulge Monitoring: XTE J1739-285 [14]
- VLA Observations of XTE J1739-285 [15]
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SN 1987A[编辑]
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SN 1987A
2009年，由于长达二十多年没有发现理论上预测的中子星，天文爱好者认为SN 1987A可能是潜在的夸克星，爆发总能量约为1046焦耳，99%以中微子的形式释出，SN 1987A由于找不到理论上预测应该存在的星体，除了留下周围的回光现象（light echoes），并没有观测到任何理论所预期的星体，目前无法解释其整个超新星爆发的过程及发生机制。
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- A 2.14 ms Candidate Optical Pulsar in SN1987A (J. Middleditch, J. A. Kristian, W. E. Kunkel, et. al) astro-ph/0010044
- OBSERVING SN 1987A WITH THE INTERNATIONAL ULTR***IOLET [16]
- A Search for Optical Pulsations in SN 1987A [17]
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质量遗失问题（SN 1987A mass loss process）二十多年来导致许多学术争议，除非使用未经验证的理论，例如中子星量子虫洞机制，否则无法充分解释SN 1987A现象，但是量子虫洞机制本身却存在理论不自洽的问题，实验精度置信度都很低，不为学界共同承认，以夸克星做解释也有理论盲点导致不自洽的问题，形成“先子球”的说法虽然可以解释大部分现象，但是“先子”理论却是个尚未证实的理论。SN 1987A目前为止依然是个科学悬念，至今为止，许多颇负盛名的天体物理学家进行的努力、全部理论解释均告失败，没有关键性的观测证据支持任何一个理论。
SN 2005gj[编辑]
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SN 2005gj
SN 2005gj离地球约为8亿6400万光年，由史隆寻天计划于2005年9月29日所发现的，光度超过SN 1991T的三倍，能量远超过正常超新星爆发。由于距离地球太远，实际的观测技术无法了解具体细节，仅能以理论推断其爆发结果所产生的星体并非中子星或黑洞，唯一合理的“推论”是爆发结果产生了夸克星。
SN 2005ap[编辑]
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SN 2005ap
SN 2005ap是ROTSE-IIIb于2005年四月三日发现，距离地球大约47亿光年，光度超过SN 2006gy大约两倍，是目前发现的超新星爆发规模最大的一个，是正规II型超新星爆发的300倍左右。此等规模的超新星爆发，理论预测应该会产生夸克星，但是目前没有能力去判定是否确实有星体处于爆发位置。
SN 2006gy[编辑]
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SN 2006gy
SN 2006gy距离地球两亿三千八百万光年
SN 2006gy由Robert Quimby及P. Mondol于2006年9月18日所发现，距离地球两亿三千八百万光年，它是当时记录最大的超新星爆发，仅次于后来验证发现的SN 2005ap。观测的结果没有发现任何黑洞特征的迹象，推测产生了夸克星，目前的观测能力没有办法验证这项猜测。
没有直接证据说明夸克星真实存在[编辑]
由于相关研究存在多项理论环节缺失，许多的形成机制假设性过高，未验证或无法验证的环节数量甚多，疑义及争议过多，多数天体物理学者则普遍认为这些观察结果仍不足以采信，但均以乐观的态度来审视这些新发现。
未来可能发展成夸克星的邻近星体[编辑]
“海山二”形成夸克星对地球的威胁[编辑]
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海山二，离地球约7500光年
目前离地球最接近，最有可能转变成夸克星的星体是高光度蓝变星“海山二”（船底座η），离地球约7500光年，质量一百五十倍太阳，星等为五等。由于质量相当的大，又是个多星系统，其星爆威力预计将会极强，爆发时不见得会形成黑洞，有可能形成星云、黑洞、模糊球、重力真空星、中子星或夸克星。海山二的爆发威力相当于SN 2005ap等级，威胁极强，足以发生银河系内的生物大灭绝。
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手枪星及其星云
由于对于“奇异物质”的物理性质了解甚少，学术上的争辩依然在进行当中，尚不足以完成精确的计算，目前连LHC的能量等级均不足以制造并找到“奇异物质”，因此上述数据出入数字甚大，是否会发生上述所称的灾难，高能天体物理学界看法两极化，目前仅知因为带负电荷奇异物质能够与正常的粒子发生作用，只要极少量的（少于十颗）带负电荷奇异物质（Negatively Charged Strangelet）撞击地球，就能给地球带来四亿五千万年前奥陶纪与志留纪时期毁灭性的结果。天体物理学界对于“海山二”的兴趣极高，花费极大量的资源、金钱及太空天文望远镜专门投注于海山二研究，2003年甚至曾经动用全球的望远镜来观测海山二的X光蚀，可见其十分受天体物理学家的关注，投入的精力仅次于SN 1987A，就其对地球的潜在威胁而言，不难看出天体物理学家们心中的忧虑。
其他可能发展成夸克星的星体[编辑]
其他具有威胁力的星体是：
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- LBV 1806-20（30,000光年，约一百五十倍太阳）
- 半人马座V766（12,000光年，HR 5171 A，黄特超巨星）
- 手枪星（25,000光年，约一百五十倍太阳）
- 大犬座VY（5000光年，约四十倍太阳）
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均随时可能引发超新星爆发。
中子星与夸克星的区分方式[编辑]
由于体黏滞性差别甚远，某些高速旋转中子星被认为应该是夸克星。
质量与半径的关系[编辑]
以冷星处理，使用Tolman Oppenheimer Volkoff方程计算所得的中子星及夸克星半径关系：
中子星的质量与半径的关系是
。夸克星的质量与半径的关系是
，上限大约是10,000米。中子星的半径有下限，否则不可能形成中子星，有趣的是夸克星半径有上限而并几乎无下限，最小可以接近零，几滴落魄的“奇异滴”在太空中游荡，理论上也可被称为“夸克星”。一种看法是这样的现象非常可能发生，如此也补齐了宇宙间的暗物质来源解释。
物态方程的改变会直接改变夸克星半径的预测值，以目前H双重子预期的稳定岛处于H（2220）到H（2250）之间的数值估算，所有关于夸克星的宣称均需要大幅度修改。
磁层辐射[编辑]
据某些推论分析，“超强磁中子星”应该是夸克星，磁层辐射应当与典型中子星有磁场等级上的极大区分，然而，这些理论在轻子含量比例、电荷分离、真空极化、漂移子脉冲、热辐射机制及非热辐射机制等等解释上均遭遇重大矛盾。因此，目前学界依然将超强磁中子星归类在中子星里面。
星爆特征[编辑]
中子星与夸克星的星爆与星震由于基本组成物质特性大不相同，伽玛射线爆所造成的现象有所区分。
时空场差异[编辑]
由于中子星与夸克星的两项主要差异“旋转速度”及“质量半径关系”所造成的物理现象，中子星与夸克星的时空场有所区别，系为极佳的区分方式。
表面物理[编辑]
中子星表面一般有碳大气层及电子壳层，夸克星的表面理论上应当是H双重子与碳大气层混和，有时则因为外围物质全部抛出而成为夸克固态，变成裸奇异星，这两者有一定程度上的区分。碳的来源是由前身星核融合燃烧后，转变成的碳元素，恒星爆发的时候，一般富含碳元素，中子星与夸克星在爆发时期，已经形成强引力，碳元素来不及逃逸，因而被捕获而形成碳大气层。而夸克星则会由星核向外溢出H双重子，因此可以产生中子星与夸克星不同之处。
结合参考系拖拽所造成的时空场差异，中子星与夸克星外围物质的不同，可透过光谱及物质频谱红移进行区分，是极为有效的观测区分手段。
外部链接[编辑]
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相关条目[编辑]
恒星主题首页[/ltr][/size]
- 量子色动力学
- 禁闭突破（en:Deconfinement）
- 托尔曼-奥本海默-沃尔可夫极限（en:Tolman-Oppenheimer-Volkoff limit，中子星质量的上下限）
- 奇异原子
- 致密星
- 夸克新星
- 重力真空星（en:Gravastar）
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- 模糊球（en:Fuzzball（string theory））
- 磁星
- 暗物质星
- 白矮星
- 玻色星（Boson Star）
- 先子星（Preon Star）
- 孤子星（Soliton Star）
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参考[编辑]
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- ^ Collapsed Nuclei[1]
- ^ Cosmic separation of phases[2]
- ^ Strange matter[3]
- ^ RX J1856-3754:刚性状态方程的证据
- ^ [4]
- ^ 黑洞对偶性下的夸克胶子等离子模型
- 量子虫洞与形标量场，上海天文台, 1991,2002年
- 超引力状态N=1下的量子虫洞态? The Smithsonian/NASA Astrophysics Data System
- 时空虫洞与量子虫洞在平坦的Λ衰变下的宇宙学, 2006,阿塞拜疆大学
- 量子虫洞及其动力学,Ewha Womans University,韩国
- Jordan-Brans-Dicke量子虫洞及Coleman机制
- Quark star on arxiv.org
- Johan Hansson and Fredrik Sandin, Preon stars: a new class of cosmic compact objects. Phys. Lett. B 616, 1 (2005).
- Fredrik Sandin, Exotic Phases of Matter in Compact Stars. (May 8, 2005) PDF
- Johan Hansson, www.if.uj.edu.pl/acta/vol38/pdf/v38p0091.pdf" target="_blank" rel="nofollow">A hierarchy of cosmic compact objects - without black holes. Acta Phys.Polon. B38, 91 (2007). PDF
- Johan Hansson and Fredrik Sandin, The observational legacy of preon stars - probing new physics beyond the LHC.
- J. E. Horvath, Constraints on superdense preon stars and their formation scenarios. Astrophys. Space Sci. 307, 419 (2007).
- Fredrik Sandin, Exotic Phases of Matter in Compact Stars. (2007) PDF
- Article in NatureNews : Splitting the quark. (Nov. 2007)
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- Neutron Star/Quark Star Interior (image to print)
- Quark star glimmers, Nature, April 11, 2002.
- Debate sparked on quark stars, CERN Courier 42, #5.
- Wish Upon a Quark Star, Paul Beck, Popular Science, June 2002.
- Curious About Astronomy: What process would bring about a quark star?
- RX J185635-375: Candidate Quark Star, Astronomy Picture of the Day, April 14, 2002.
- Quarks or Quirky Neutron Stars?, Mark K. Anderson, Wired News, April 19, 2002.
- Strange Quark Stars, Ask an Astrophysicist, question submitted April 12, 2002.
- Seeing "Strange" Stars, physorg.com, February 8, 2006.
- Quark Stars Could Produce Biggest Bang, spacedaily.com, June 7, 2006.
- Meissner Effect in Strange Quark Stars, Brian Niebergal, web page, University of Calgary.
- Irina Sagert; Mirjam Wietoska; Jurgen Schaffner-Bielich. Strange Exotic States and Compact Stars. Journal of Physics G. 2006, 32 (12): S241–S249. arXiv:astro-ph/0608317.Bibcode:2006JPhG...32S.241S. doi:10.1088/0954-3899/32/12/S30.
- Quark Stars Involved in New Theory of Brightest Supernovae - The first-ever evidence of a neutron star collapsing into a quark star is announced, Space.com, 3 June 2008
- Quark Stars, Alternate View Column ***-114, John G. Cramer, Published in the November-2002 issue of Analog Science Fiction & Fact Magazine
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外部网站[编辑]
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- New Scientist issue 2643, "Could preon stars reveal a hidden reality?", 6 February 2008
- New Scientist issue 2472, "Micro-stars may manage to avoid black-hole fate", 6 November 2008
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外部链接[编辑]
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- Perhaps a Stable Dihyperon Subscription or purchase required
- Neutron Star/Quark Star Interior (image to print)
- Quark star glimmers, Nature, April 11, 2002.
- Debate sparked on quark stars, CERN Courier 42, #5.
- Wish Upon a Quark Star, Paul Beck, Popular Science, June 2002.
- Is RX J185635-375 a Quark Star?, J. J. Drake et al., arXiv, astro-ph/0204159.
- Curious About Astronomy: What process would bring about a quark star?
- Quarks or Quirky Neutron Stars?, Mark K. Anderson, Wired News, April 19, 2002.
- Strange Quark Stars, Ask an Astrophysicist, question submitted April 12, 2002.
- Seeing "Strange" Stars, physorg.com, February 8, 2006.
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- 反眛五夸克重子态物质发现的新证据, H1 Collaboration, Phys.Lett.B588:17,2004
- http://prl.aps.org/abstract/PRL/v106/i16/e162001
- http://iopscience.iop.org/0954-3899/28/7/323
- http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/publ/cup.pdf
- http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0920563203015317
- http://www-panda.gsi.de/db/papersDB/pochodzalla_josef_proc_leap03.pdf
- http://psroc.phys.ntu.edu.tw/bimonth/download.php?d=1&cpid=128&did=6
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 01:04
希格斯场[编辑]
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希格斯场（Higgs field）被假定为一种遍布于宇宙的量子场。按照标准模型的希格斯机制，某些基本粒子因为与希格斯场之间相互作用而获得质量。希格斯玻色子是希格斯场的振动。[注 1]假若能够寻找到希格斯玻色子，则可以明确地证实希格斯场也存在于宇宙，就好像从观察海面的波浪可以推论出大海的存在。连带地，也可确认希格斯机制与标准模型基本无误。[2]
在标准模型里，W玻色子与Z玻色子借着应用希格斯机制于希格斯场而获得质量，费米子借着应用希格斯机制于希格斯场与费米子场的汤川耦合而获得质量。只有希格斯玻色子不倚赖希格斯机制获得质量。不过尽管希格斯机制已被证实，它仍旧不能给出所有质量，而只能将质量赋予某些基本粒子。例如，像质子、中子一类复合粒子的质量，只有约1%是归因于将质量赋予夸克的希格斯机制，剩余约99%是夸克的动能与强相互作用的零质量胶子的能量。[3]
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概述[编辑]
希格斯场的存在会促使自发对称性破缺，从而造成不同粒子、不同作用力彼此之间的差异。例如，在电弱理论里，从希格斯场的理论物理秉性，可以解释为什么当温度降低到某程度，电磁相互作用与弱相互作用的性质迥然不同，答案是对称性已被打破。
在标准模型里，希格斯机制是基本粒子获得质量的物理机制。1964年，分别有三组研究小组几乎同时地独立延伸发展出希格斯机制，其中，一组为弗朗索瓦·恩格勒和罗伯特·布绕特，[4]另一组为彼得·希格斯，[5]第三组为杰拉德·古拉尼、卡尔·哈庚和汤姆·基博尔。[6]这些论文表明，假若将局域规范不变性与自发对称性破缺的概念以某种特别方式连结在一起，则规范玻色子必然会获得质量。于1967年，史蒂文·温伯格与阿卜杜勒·萨拉姆分别应用希格斯机制来打破电弱对称性，并且表述希格斯机制怎样能够并入稍后成为标准模型一部分的谢尔登·格拉肖的电弱理论。[7][8][9]
应用希格斯机制，温伯格与萨拉姆分别发现传递弱作用力的W及Z玻色子具有质量，而传递电磁作用力的光子不具有质量。质量的起源或质量的创始时常被归功于希格斯机制。[10]但是，对于质量的秉性，物理学者疑问希格斯机制是否给出了足够解释。如同物理学者马克斯·杰莫（Max Jammer）所说，“假若某过程生成质量，则一个合理要求为，它也应该给出一些关于它生成的到底是什么的资料。”但是，希格斯机制不是使用一种奇迹式的“无中生有”（creatio ex nihilo）方法来生成粒子质量，而是从以能量形式储存质量的希格斯场将质量转传给粒子，因此，“希格斯机制与其相关理论并没有贡献出对于质量秉性的了解。”[11]
希格斯机制假定存在着一种称为希格斯场的标量场遍布于宇宙。借着与希格斯场耦合，某些原本没有质量的粒子可以获得能量，根据质能关系式，这就等于获得质量。粒子与希格斯场耦合越强，则粒子的质量越大。
希格斯场可以比拟为一池黐黏的蜜糖，黏着于某种尚未带有质量的基本粒子。当这种粒子通过希格斯场的时候，会变成带质量粒子。这比拟并不完全。第一、有些种类的粒子（例如光子、胶子）不会被蜜糖沾黏，这些粒子的质量为零。希格斯场与不同种类的粒子，两者之间的耦合不同。第二、蜜糖施加于被沾黏物体的作用力为阻力，不论物体的速度为何，都会感受到这阻力，而质量是与物体的加速度运动有关，物体质量越大，必须施加越大的作用力才能给出同样的加速度。[12]
更精致地，可以将希格斯场比拟为在物理学术大会里均匀分布的学者。无名人士可以轻松地穿过会场，没有人会注意到他的存在，就如同希格斯场与零质量光子之间的相互作用。假若物理大师进入会场，大家会被大师的魅力吸引，在大师四周挤成一团。因此，他会获得很多质量。若以同样速度穿过会场，他所具有的动量当然会比较大，改变他的移动速度也比较不容易，必须施加更大的作用力，就如同希格斯场赋予W玻色子或Z玻色子质量后的物理效应。这点子源自凝聚体物理学。在晶体里，带正电原子的晶格排列具有周期性，当电子移动穿过晶格时，带正电原子会施加库伦力于这电子，使这电子的有效质量大大增加。[13][14]
自发对称性破缺[编辑]
主条目：自发对称性破缺
量子力学的真空与一般认知的真空不同。在量子力学里，真空并不是全无一物的空间，虚粒子会持续地随机生成或湮灭于空间的任意位置，这会造成奥妙的量子效应。将这些量子效应纳入考量之后，空间的最低能量态，是在所有能量态之中，能量最低的能量态，不具有额外能量来制造粒子，又称为基态或“真空态”。最低能量态的空间才是量子力学的真空。[15]
[/ltr][/size]
墨西哥帽势能函数的电脑绘图，对于绕着帽子中心轴的旋转，帽顶具有旋转对称性，帽子谷底的任意位置不具有旋转对称性，在帽子谷底的任意位置会出现对称性破缺。[size][ltr]
设想某种对称群变换，只能将最低能量态变换为自己，则称最低能量态对于这种变换具有“不变性”，即最低能量态具有这种对称性。尽管一个物理系统的拉格朗日量对于某种对称群变换具有不变性，并不意味着它的最低能量态对于这种对称群变换也具有不变性。假若拉格朗日量与最低能量态都具有同样的不变性，则称这物理系统对于这种变换具有“外显的对称性”；假若只有拉格朗日量具有不变性，而最低能量态不具有不变性，则称这物理系统的对称性被自发打破，或者称这物理系统的对称性被隐藏，这现象称为“自发对称性破缺”。[16]:116-117
如右图所示，假设在墨西哥帽（sombrero）的帽顶有一个圆球。这个圆球是处于旋转对称性状态，对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置不变。这圆球也处于局部最大引力势的状态，极不稳定，稍加微扰，就可以促使圆球滚落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力势位置，使得旋转对称性被打破。尽管这圆球在帽子谷底的所有可能位置因旋转对称性而相互关联，圆球实际实现的帽子谷底位置不具有旋转对称性──对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置会改变。[17]:203在帽子谷底有无穷多个不同、简并的最低能量态，都具有同样的最低能量。对于绕着帽子中心轴的旋转，会将圆球所处的最低能量态变换至另一个不同的最低能量态，除非旋转角度为360°的整数倍数，所以，圆球的最低能量态对于旋转变换不具有不变性，即不具有旋转对称性。总结，这物理系统的拉格朗日量具有旋转对称性，但最低能量态不具有旋转对称性，因此出现自发对称性破缺现象。[17]:203
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假定希格斯势的形式为
；
其中，
是复值希格斯场，
、
都是正值常数。
对于这自旋为零、质量为零、势能为
的标量场 ，克莱因-戈尔登拉格朗日量 
为[18]:16-17
。
如右边的墨西哥帽绘图所示，这势能的猜想形状好似一顶墨西哥帽。希格斯势与拉格朗日量在
、
空间具有旋转对称性。位于z-坐标轴的帽顶为希格斯势的局域最大值，其复值希格斯场为零（
），但这不是最低能量态；在帽子的谷底有无穷多个简并的最低能量态。从无穷多个简并的最低能量态中，物理系统只能实现出一个最低能量态，标记这最低能量态为 
。这物理系统的拉格朗日量对于全域相位变换 
具有不变性，即在 、 空间具有旋转对称性，而最低能量态 对于全域相位变换不具有不变性：
，
通常， 不等于 
，除非角弧 
是 
的整数倍数。所以，这物理系统对于全域相位变换的对称性被自发打破。这物理系统对于更严格的局域相位变换的对称性也应该会被自发打破。
没有希格斯场的世界[编辑]
假若希格斯场不存在，则夸克、W玻色子、Z玻色子的质量都会变为零。由于像质子、中子一类复合粒子的质量，只有约1%是归因于其所含有的夸克，它们的性质只会有些小改变。陶子、μ子的质量也会变为零，但是它们与现实生活没什么关系。只有电子的质量变为零会对世界带来很大影响。电子质量越小，原子的尺寸越大。当电子质量变为零之时，超特大尺寸的原子会因相互碰撞，将整个原子拆散，所有原子核与电子会混合在一起，原子无法单独存在，也不会有水、空气与人类所生存的世界。
希格斯场能够打破对称性。假若没有希格斯场，则所有带电荷轻子，即电子、陶子、μ子，都会变得一样，因为它们原本相互区分的质量都变为零了。类似地，带电荷为+2/3的夸克，即上夸克、奇夸克、顶夸克都会变得一样；而带电荷为-1/3的夸克，即下夸克、粲夸克、底夸克也都变得一样。[1]:144-146
大统一理论[编辑]
有些宇宙学者认为希格斯场是真空能量的起源。在宇宙的最初时刻，温度特高，希格斯场的对称性毫无任何特征，宇宙能量也同样的没有些微区别。由于宇宙温度的降低，在之后接连发生的几次相变所造成的对称性破缺给出了千变万化的宇宙。最后一个相变所造成的对称性破缺打破了电弱力，使得弱作用力与电磁作用力被分离。现在，物理学者已有能力做出达到这相变所需条件的实验，但是分离电弱作用力与强作用力的相变所需条件仍旧远不可及。不论如何，被公认为静质量起源的希格斯场也是研究强作用力的关键。[19]
根据大统一理论，当温度高过大统一温度时（1029K，对应于平均热能为1016GeV的温度，注意到太阳中心温度仅为107K），由于希格斯场可以拥有更多的能量，它的能量密度也随着增加，开始剧烈震动，它的位置不再局限于墨西哥帽的谷底，它的平均位置是在帽子中心，希格斯场的对称性又恢复如前。这时，电弱作用力与强作用力会统一为电核作用力（electronuclear force），传递电弱作用力的玻色子（光子）与传递强作用力的玻色子（胶子）的任何特征性质也都烟消云散，它们的物理行为完全一样。[20]
大统一理论假定有很多种不同强度的希格斯场（注意到最小标准模型（minimal standard model）只假定有一个希格斯场）。假设温度低于大统一温度，则希格斯场可以发挥作用。不同的粒子与不同的希格斯场相互作用，而粒子的质量就是由这相互作用决定，这样，电子、W玻色子、Z玻色子、夸克等等分别获得其特定的质量，而光子、胶子也因此不拥有质量。由于W玻色子、Z玻色子特别沉重，质量分别为80GeV、91GeV，弱相对作用的距离极短，而电磁相对作用的距离几乎为无穷远。[20]
近期，从各方面独立观测得到的结果，包括宇宙微波背景辐射、宇宙的大尺度结构等等，[21]证实了宇宙正在加速膨胀，天文学者认为解释宇宙加速膨胀的模型可能是某种形式的暗能量，而这暗能量可能是源自希格斯场的真空能量。[19]
参阅[编辑]
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注释[编辑]
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参考文献[编辑]
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5.jpg)
希格斯场（Higgs field）被假定为一种遍布于宇宙的量子场。按照标准模型的希格斯机制，某些基本粒子因为与希格斯场之间相互作用而获得质量。希格斯玻色子是希格斯场的振动。[注 1]假若能够寻找到希格斯玻色子，则可以明确地证实希格斯场也存在于宇宙，就好像从观察海面的波浪可以推论出大海的存在。连带地，也可确认希格斯机制与标准模型基本无误。[2]
在标准模型里，W玻色子与Z玻色子借着应用希格斯机制于希格斯场而获得质量，费米子借着应用希格斯机制于希格斯场与费米子场的汤川耦合而获得质量。只有希格斯玻色子不倚赖希格斯机制获得质量。不过尽管希格斯机制已被证实，它仍旧不能给出所有质量，而只能将质量赋予某些基本粒子。例如，像质子、中子一类复合粒子的质量，只有约1%是归因于将质量赋予夸克的希格斯机制，剩余约99%是夸克的动能与强相互作用的零质量胶子的能量。[3]
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概述[编辑]
希格斯场的存在会促使自发对称性破缺，从而造成不同粒子、不同作用力彼此之间的差异。例如，在电弱理论里，从希格斯场的理论物理秉性，可以解释为什么当温度降低到某程度，电磁相互作用与弱相互作用的性质迥然不同，答案是对称性已被打破。
在标准模型里，希格斯机制是基本粒子获得质量的物理机制。1964年，分别有三组研究小组几乎同时地独立延伸发展出希格斯机制，其中，一组为弗朗索瓦·恩格勒和罗伯特·布绕特，[4]另一组为彼得·希格斯，[5]第三组为杰拉德·古拉尼、卡尔·哈庚和汤姆·基博尔。[6]这些论文表明，假若将局域规范不变性与自发对称性破缺的概念以某种特别方式连结在一起，则规范玻色子必然会获得质量。于1967年，史蒂文·温伯格与阿卜杜勒·萨拉姆分别应用希格斯机制来打破电弱对称性，并且表述希格斯机制怎样能够并入稍后成为标准模型一部分的谢尔登·格拉肖的电弱理论。[7][8][9]
应用希格斯机制，温伯格与萨拉姆分别发现传递弱作用力的W及Z玻色子具有质量，而传递电磁作用力的光子不具有质量。质量的起源或质量的创始时常被归功于希格斯机制。[10]但是，对于质量的秉性，物理学者疑问希格斯机制是否给出了足够解释。如同物理学者马克斯·杰莫（Max Jammer）所说，“假若某过程生成质量，则一个合理要求为，它也应该给出一些关于它生成的到底是什么的资料。”但是，希格斯机制不是使用一种奇迹式的“无中生有”（creatio ex nihilo）方法来生成粒子质量，而是从以能量形式储存质量的希格斯场将质量转传给粒子，因此，“希格斯机制与其相关理论并没有贡献出对于质量秉性的了解。”[11]
希格斯机制假定存在着一种称为希格斯场的标量场遍布于宇宙。借着与希格斯场耦合，某些原本没有质量的粒子可以获得能量，根据质能关系式，这就等于获得质量。粒子与希格斯场耦合越强，则粒子的质量越大。
希格斯场可以比拟为一池黐黏的蜜糖，黏着于某种尚未带有质量的基本粒子。当这种粒子通过希格斯场的时候，会变成带质量粒子。这比拟并不完全。第一、有些种类的粒子（例如光子、胶子）不会被蜜糖沾黏，这些粒子的质量为零。希格斯场与不同种类的粒子，两者之间的耦合不同。第二、蜜糖施加于被沾黏物体的作用力为阻力，不论物体的速度为何，都会感受到这阻力，而质量是与物体的加速度运动有关，物体质量越大，必须施加越大的作用力才能给出同样的加速度。[12]
更精致地，可以将希格斯场比拟为在物理学术大会里均匀分布的学者。无名人士可以轻松地穿过会场，没有人会注意到他的存在，就如同希格斯场与零质量光子之间的相互作用。假若物理大师进入会场，大家会被大师的魅力吸引，在大师四周挤成一团。因此，他会获得很多质量。若以同样速度穿过会场，他所具有的动量当然会比较大，改变他的移动速度也比较不容易，必须施加更大的作用力，就如同希格斯场赋予W玻色子或Z玻色子质量后的物理效应。这点子源自凝聚体物理学。在晶体里，带正电原子的晶格排列具有周期性，当电子移动穿过晶格时，带正电原子会施加库伦力于这电子，使这电子的有效质量大大增加。[13][14]
自发对称性破缺[编辑]
主条目：自发对称性破缺
量子力学的真空与一般认知的真空不同。在量子力学里，真空并不是全无一物的空间，虚粒子会持续地随机生成或湮灭于空间的任意位置，这会造成奥妙的量子效应。将这些量子效应纳入考量之后，空间的最低能量态，是在所有能量态之中，能量最低的能量态，不具有额外能量来制造粒子，又称为基态或“真空态”。最低能量态的空间才是量子力学的真空。[15]
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墨西哥帽势能函数的电脑绘图，对于绕着帽子中心轴的旋转，帽顶具有旋转对称性，帽子谷底的任意位置不具有旋转对称性，在帽子谷底的任意位置会出现对称性破缺。
设想某种对称群变换，只能将最低能量态变换为自己，则称最低能量态对于这种变换具有“不变性”，即最低能量态具有这种对称性。尽管一个物理系统的拉格朗日量对于某种对称群变换具有不变性，并不意味着它的最低能量态对于这种对称群变换也具有不变性。假若拉格朗日量与最低能量态都具有同样的不变性，则称这物理系统对于这种变换具有“外显的对称性”；假若只有拉格朗日量具有不变性，而最低能量态不具有不变性，则称这物理系统的对称性被自发打破，或者称这物理系统的对称性被隐藏，这现象称为“自发对称性破缺”。[16]:116-117
如右图所示，假设在墨西哥帽（sombrero）的帽顶有一个圆球。这个圆球是处于旋转对称性状态，对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置不变。这圆球也处于局部最大引力势的状态，极不稳定，稍加微扰，就可以促使圆球滚落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力势位置，使得旋转对称性被打破。尽管这圆球在帽子谷底的所有可能位置因旋转对称性而相互关联，圆球实际实现的帽子谷底位置不具有旋转对称性──对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置会改变。[17]:203在帽子谷底有无穷多个不同、简并的最低能量态，都具有同样的最低能量。对于绕着帽子中心轴的旋转，会将圆球所处的最低能量态变换至另一个不同的最低能量态，除非旋转角度为360°的整数倍数，所以，圆球的最低能量态对于旋转变换不具有不变性，即不具有旋转对称性。总结，这物理系统的拉格朗日量具有旋转对称性，但最低能量态不具有旋转对称性，因此出现自发对称性破缺现象。[17]:203
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假定希格斯势的形式为
；其中，
是复值希格斯场， 、 都是正值常数。对于这自旋为零、质量为零、势能为
的标量场 ，克莱因-戈尔登拉格朗日量 为[18]:16-17 。如右边的墨西哥帽绘图所示，这势能的猜想形状好似一顶墨西哥帽。希格斯势与拉格朗日量在
、 空间具有旋转对称性。位于z-坐标轴的帽顶为希格斯势的局域最大值，其复值希格斯场为零（），但这不是最低能量态；在帽子的谷底有无穷多个简并的最低能量态。从无穷多个简并的最低能量态中，物理系统只能实现出一个最低能量态，标记这最低能量态为 。这物理系统的拉格朗日量对于全域相位变换 具有不变性，即在 、 空间具有旋转对称性，而最低能量态 对于全域相位变换不具有不变性： ，通常，
不等于 ，除非角弧 是 的整数倍数。所以，这物理系统对于全域相位变换的对称性被自发打破。这物理系统对于更严格的局域相位变换的对称性也应该会被自发打破。没有希格斯场的世界[编辑]
假若希格斯场不存在，则夸克、W玻色子、Z玻色子的质量都会变为零。由于像质子、中子一类复合粒子的质量，只有约1%是归因于其所含有的夸克，它们的性质只会有些小改变。陶子、μ子的质量也会变为零，但是它们与现实生活没什么关系。只有电子的质量变为零会对世界带来很大影响。电子质量越小，原子的尺寸越大。当电子质量变为零之时，超特大尺寸的原子会因相互碰撞，将整个原子拆散，所有原子核与电子会混合在一起，原子无法单独存在，也不会有水、空气与人类所生存的世界。
希格斯场能够打破对称性。假若没有希格斯场，则所有带电荷轻子，即电子、陶子、μ子，都会变得一样，因为它们原本相互区分的质量都变为零了。类似地，带电荷为+2/3的夸克，即上夸克、奇夸克、顶夸克都会变得一样；而带电荷为-1/3的夸克，即下夸克、粲夸克、底夸克也都变得一样。[1]:144-146
大统一理论[编辑]
有些宇宙学者认为希格斯场是真空能量的起源。在宇宙的最初时刻，温度特高，希格斯场的对称性毫无任何特征，宇宙能量也同样的没有些微区别。由于宇宙温度的降低，在之后接连发生的几次相变所造成的对称性破缺给出了千变万化的宇宙。最后一个相变所造成的对称性破缺打破了电弱力，使得弱作用力与电磁作用力被分离。现在，物理学者已有能力做出达到这相变所需条件的实验，但是分离电弱作用力与强作用力的相变所需条件仍旧远不可及。不论如何，被公认为静质量起源的希格斯场也是研究强作用力的关键。[19]
根据大统一理论，当温度高过大统一温度时（1029K，对应于平均热能为1016GeV的温度，注意到太阳中心温度仅为107K），由于希格斯场可以拥有更多的能量，它的能量密度也随着增加，开始剧烈震动，它的位置不再局限于墨西哥帽的谷底，它的平均位置是在帽子中心，希格斯场的对称性又恢复如前。这时，电弱作用力与强作用力会统一为电核作用力（electronuclear force），传递电弱作用力的玻色子（光子）与传递强作用力的玻色子（胶子）的任何特征性质也都烟消云散，它们的物理行为完全一样。[20]
大统一理论假定有很多种不同强度的希格斯场（注意到最小标准模型（minimal standard model）只假定有一个希格斯场）。假设温度低于大统一温度，则希格斯场可以发挥作用。不同的粒子与不同的希格斯场相互作用，而粒子的质量就是由这相互作用决定，这样，电子、W玻色子、Z玻色子、夸克等等分别获得其特定的质量，而光子、胶子也因此不拥有质量。由于W玻色子、Z玻色子特别沉重，质量分别为80GeV、91GeV，弱相对作用的距离极短，而电磁相对作用的距离几乎为无穷远。[20]
近期，从各方面独立观测得到的结果，包括宇宙微波背景辐射、宇宙的大尺度结构等等，[21]证实了宇宙正在加速膨胀，天文学者认为解释宇宙加速膨胀的模型可能是某种形式的暗能量，而这暗能量可能是源自希格斯场的真空能量。[19]
参阅[编辑]
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注释[编辑]
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- ^ 根据量子场论，所有万物都是由量子场形成或组成，而每一种基本粒子则是其对应量子场的微小振动，就如同光子是电磁场的微小振动，夸克是夸克场的微小振动，电子是电子场的微小振动，引力子是引力场的微小振动等等。[1]:32-33
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参考文献[编辑]
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由 一星 2014-08-01, 01:07
希格斯玻色子[编辑]
[ltr]希格斯玻色子（英语：Higgs boson）是标准模型预言存在的一种基本粒子，是一种玻色子，自旋为零，不带电荷、色荷，非常不稳定，在生成后会立刻衰变，于2013年3月14日暂时被确认存在。[1][2][7]:401-405这是一个重大的实验发现，对于希格斯场的存在与否也给出有力证据。[8]为什么某些基本粒子带有质量，而某些基本粒子的质量为零？根据希格斯机制，基本粒子是因为与遍布于宇宙的希格斯场耦合而获得质量。希格斯玻色子是希格斯场的振动，是希格斯场存在的明确证据，就好像从观察海面的波浪可以推论出大海的存在。[9][10][注 1]物理学者认为，倘若能够通过做实验更加了解希格斯玻色子的物理性质，这将会对粒子物理学造成极大的冲击，促使核对标准模型其它尚未经过检验的部分成为可能，指引粒子物理学的其它理论与发现，导致后标准模型物理（physics beyond the standard model）的研究与突破，[11]并且在这漫长过程中，发展出很多对于人类生活品质有所助益的崭新科技。[12][13]
希格斯玻色子是否存在？这是一个极为重要的基础物理问题。物理学者花费四十多年时间寻找它。至今为止，全世界最昂贵、最复杂的实验设施之一，大型强子对撞机（LHC），其建成的主要目的之一就是寻找与观察希格斯玻色子与其它种粒子。[14]2012年7月4日，欧洲核子研究组织（CERN）宣布，LHC的紧凑渺子线圈（CMS）探测到质量为125.3±0.6GeV的新玻色子（超过背景期望值4.9个标准差），超环面仪器（ATLAS）测量到质量为126.5GeV的新玻色子（5个标准差），这两种粒子极像希格斯玻色子。[15]2013年3月14日，欧洲核子研究组织发表新闻稿正式宣布，先前探测到的新粒子暂时确认是希格斯玻色子，具有零自旋与偶宇称，这是希格斯玻色子应该具有的两种基本性质，但有一部分实验结果不尽符合理论预测，更多数据仍旧等待处理与分析。[1][2]。
希格斯玻色子是因物理学者彼得·希格斯命名。[注 2]他是于1964年提出希格斯机制的六位物理学者中的一位。虽然这理论最终以希格斯的名字命名，在1960年至1972年之间，有很多物理学者对于这理论独立地做出不同贡献。2013年10月08日，因为“次原子粒子质量的生成机制理论，促进了人类对这方面的理解，并且最近由欧洲核子研究组织属下大型强子对撞机的超环面仪器及紧凑μ子线圈探测器发现的基本粒子证实”，弗朗索瓦·恩格勒、彼得·希格斯荣获2013年诺贝尔物理学奖。[16][/ltr]
2 理论发展史
2.1 物理评论快报1964年里程碑论文
3 理论
3.1 标准模型希子的性质
3.2 希子的制备
3.3 希子的衰变
3.4 另类模型
4 实验探索
4.1 2012年7月4日以前的探索
4.2 发现新玻色子
4.3 确认希子
5 “上帝粒子”
6 参见
7 注释
8 参考资料
9 外部链接
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科学概述[编辑][/ltr]
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在粒子物理学里，标准模型是一种被广泛接受的框架，可以描述强力、弱力及电磁力这三种基本力及组成所有物质的基本粒子。由于基本粒子和基本力形成了物理世界，所以，除了引力以外，标准模型可以合理解释这世界中的大多数物理现象。最初，标准模型所倚赖的规范场论禁止基本粒子拥有质量，这很明显地显示出初始模型不够完善。后来，物理学者研究出一种机制，能够利用对称性破缺来赋予基本粒子质量，同时又不会抵触到规范场论。这机制被称为希格斯机制。在所有解释质量起源的机制之中，希格斯机制是最简单、最被认可的一种。物理学者已完成很多实验，并确实侦测到这机制引发的许多种效应，但是他们不确切了解这机制到底是怎么一回事。
希格斯机制假定宇宙遍布著希格斯场，能够与某些基本粒子相互作用，利用对称性破缺使得它们获得质量。希格斯玻色子是希格斯场的振动，是希格斯场存在的明确证据，就好像从观察海面的波浪可以推论出大海的存在。[注 3]假若希格斯玻色子被证实存在，则希格斯场应该也存在，连带地确认希格斯机制与标准模型基本无误。[9][注 1]
希格斯场可以比拟为一池黐黏的蜜糖，黏着于某种尚未带有质量的基本粒子。当这种粒子通过希格斯场的时候，会变成带质量粒子。这比拟并不完全。第一、有些种类的粒子（例如光子、胶子）不会被蜜糖沾黏，这些粒子的质量为零。希格斯场与不同种类的粒子，两者之间的耦合不同。第二、蜜糖施加于被沾黏物体的作用力为阻力，不论物体的速度为何，都会感受到这阻力，而质量是与物体的加速度运动有关，物体质量越大，必须施加越大的作用力才能给出同样的加速度。[17]
标准模型明确指出，希格斯玻色子的存在很难证实。与其它粒子相比较，制造希格斯玻色子需要极大的碰撞能量，必须建造超级粒子加速器以提供这样大的能量。尽管这样做，每一次碰撞制造出其它粒子的可能性还是比制造出希格斯玻色子的可能性大很多。即使希格斯玻色子被制成，它也会迅速衰变成别的粒子，从而难以检测到，只能靠着辨认与分析衰变后的产物来推断它们大概是从希格斯玻色子生成，而不是从其它来源生成。此外，很多其它衰变也会显示出类似的迹象，这使得寻找希格斯玻色子有如大海捞针。只有依靠先进的超级粒子加速器与精准的侦测器，物理学者才可观测数之不尽的粒子碰撞事件，将获得的纪录数据加以分析，寻找希格斯玻色子的蛛丝马迹，然后再进一步分析，计算希格斯玻色子存在的可能性，确定所得到的结果绝对不是来自偶发事件。
再华丽、再精致的理论，也需要通过实验加以证实，才会被正式接受，否则只能视为高谈大论。物理学者很希望能够证实希格斯玻色子是否存在。但是，最初从实验得到的数据只能让他们判别希格斯玻色子是否可能存在于某个质量值域。为了弥补这不足，欧洲核子研究组织在瑞士建成了大型强子对撞机（LHC）。它是全世界最先进的粒子加速器。它的主要研究目标之一就是证实希格斯玻色子是否存在。
经过数年努力，大型强子对撞机侦测到质量大约为125GeV的新玻色子，这新玻色子符合理论希格斯玻色子的质量与性质，但物理学者仍旧需要完成更多实验，才能够作定论。假若新玻色子真的是希格斯玻色子，物理学者就可以开始研究它的物理性质是否完全与标准模型现有版本的预测一致。已得到的实验数据并不排除新玻色子不是希格斯玻色子的可能性，或者是另一种带质量玻色子。假若新玻色子是另一种带质量玻色子，则标准模型势必会遭到大幅度修改。
基础术语[编辑]
本篇文章使用到一些名称相近的术语。这些术语涉及到很多重要与相关的概念。为了避免混淆不清，在这里特别对这些术语加以详细解释说明。[/ltr]
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本篇文章从下段落起，将希格斯玻色子简称为“希子”。
理论发展史[编辑][/ltr]
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物理学者认为物质是由基本粒子组成，这些基本粒子彼此之间相互影响的基本力有四种。根据规范场论，为了满足局域规范对称性，必须引入传递基本力的规范玻色子。特别而言，传递电磁力的规范玻色子就是光子。1954年，杨振宁与罗伯特·米尔斯试图将这关于电磁力的点子延伸至其他种基本力，他们提出了杨-米尔斯理论，但是规范场论预测规范玻色子的质量必须为零，而零质量玻色子传递的是类似电磁力的长程力，不适用于像弱核力或强核力一类的短程力。[20]:212
怎样才能够使得传递短程力的规范玻色子获得质量？物理学者在凝聚态物理学的超导理论里找到重要暗示。1950年，俄国物理学者维塔利·金兹堡与列夫·郎道提出金兹堡-朗道理论，他们建议，在超导体里，弥漫着一种特别的场，能够使得光子获得有效质量，但他们并没有明确地描述这特别场。1957年，约翰·巴丁、利昂·库珀、约翰·施里弗共同创建了BCS理论，他们认为，由电子组成的库珀对，形成了这特别场。规范对称性被这特别场隐藏起来，因此造成自发对称性破缺──虽然对称性仍旧存在于描述这物理系统的方程，但是方程的某种解答并不具有这对称性。[20]:213-215
南部阳一郎于1960年将自发对称性破缺的概念引入粒子物理学。他建议，假定夸克与反夸克的质量为零，则生成它们的能量成本很低，如同电子们在超导体里凝聚为库珀对，它们会在真空里凝聚为夸克对，使得强相对作用的手征对称性被打破，夸克会因此获得质量。他又指出，在这机制里，还会出现一种新的零质量玻色子，即π介子，由于上夸克、下夸克的质量不等于零，π介子的实际质量不等于零，只是比其他种介子的质量都轻很多。[23]:669-670[24]:31962年，杰福瑞·戈德斯通提出戈德斯通定理，对于这类零质量玻色子的性质给予描述。根据这定理，当连续对称性被自发打破后必会生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子。带质量粒子比较难制成，粒子加速器必须使用很高的能量来碰撞制成带质量粒子。零质量粒子案例跟重质量粒子案例不同，零质量粒子很容易制成，或者可从缺失能量或动量推测其存在。然而，事实并非如此，物理学者无法做实验找到其存在的任何蛛丝马迹，这事实意味着整个理论可能有瑕疵。[7]:378-3811963年，菲利普·安德森发表论文指出，对于非相对论性的超导体案例，假若是规范对称性被打破，则不一定会出现戈德斯通玻色子，他进一步猜测，这机制应该可以加以延伸来处理相对论性案例，但他并没有明确地给出一个相对论性案例。这论述遭到未来诺贝尔化学奖得主沃特·吉尔伯特强烈反对。[25][24]:3
1964年，弗朗索瓦·恩格勒和罗伯特·布绕特领先于8月，[26]紧接着，彼得·希格斯于10月，[27]随后，杰拉德·古拉尼、卡尔·哈庚和汤姆·基博尔于11月，[28]这三个研究小组分别独立地发表论文，宣布研究出相对论性模型。古拉尼于1965年、[29]希格斯于1966年、[30]基博尔于1967年[31]，又分别更进一步发表论文探讨这模型的性质。这三篇1964年论文共同表明，假若将局部规范不变性理论与自发对称性破缺的概念以某种特别方式连结在一起，则规范玻色子必然会获得质量。[32]1967年，史蒂文·温伯格与阿卜杜勒·萨拉姆各自独立地应用希格斯机制来打破电弱对称性，并且表述希格斯机制怎样能够并入稍后成为标准模型一部分的谢尔登·格拉肖的电弱理论。[33][34][35]温伯格指出，这过程应该也会使得费米子获得质量。[24]:3
关于规范对称性的自发性破缺的这些划时代论文，最初并没有得到学术界的重视，因为大多数物理学者认为，非阿贝尔规范理论是个死胡同，无法被重整化。1971年，荷兰物理学者马丁纽斯·韦尔特曼与杰拉德·特·胡夫特发表了两篇论文，证明杨-米尔斯理论（一种非阿贝尔规范理论）可以被重整化，不论是对于零质量规范玻色子，还是对于带质量规范玻色子。自此以后，物理学者开始接受这些理论，正式将这些理论纳入主流。[24]:5
从这些理论孕育出的电弱理论与改善后的标准模型，正确地预测了弱中性流、W玻色子、Z玻色子、顶夸克、粲夸克，并且准确地计算出其中一些粒子的性质与质量。[注 6]很多在这领域给出重要贡献的物理学者后来都获得了诺贝尔物理学奖与其它享有声望的奖赏。发表于《现代物理评论》的一篇1974年文章表示，至今为止，这些理论推导出的答案符合实验结果，但是，这些理论到底是否正确仍旧无法确定。[36]:9,36(footnote),43–44,47 权威著作《希格斯狩猎者指南》的作者指明，标准模型拥有惊人的成功。现今，粒子物理学的核心问题就是了解希格斯区的相关理论。[37]
物理评论快报1964年里程碑论文[编辑]
六位物理学者分别发表的三篇论文，在《物理评论快报》50周年庆祝文献里被公认为里程碑论文。[32]2010年，他们又荣获理论粒子物理学樱井奖。[38]同年，在他们之间，又发生了一点争执，万一因此获得诺贝尔物理学奖，由于每一年只能授予给三位杰出人士，而现在有六位人士做出了关键贡献，到底应该颁发物理学最荣誉的奖给哪三位人士？（结果，弗朗索瓦·恩格勒和彼得·希格斯获得了2013年诺贝尔物理学奖。）
1964年8月，恩格勒团队发表了三页论文，他们假定存在有复值标量场（即希格斯场），其数值在量子真空里不等于零，然后使用费曼图方法演示出规范玻色子怎样获得质量。恩格勒团队并没有提到任何关于希子的信息。[26][20]:221-222稍后，希格斯独立发表论文概述怎样能够应用局域规范对称性来回避戈德斯通定理，他并没有给出模型明确显示戈德斯通玻色子被抵销。[39]不久之后，希格斯发表第二篇论文，他更仔细的表述这回避方法，给出一个可行模型，并且用这模型演示出规范矢量场怎样吃掉戈德斯通玻色子，因此获得质量。他将这篇论文被呈送给《物理快报》，但是令人惊讶地没有被接受。他无法理解，为什么同样的学术刊物，会接受一篇关于“带质量规范玻色子可能存在”的论文，又会否绝一篇描述“带质量规范玻色子实际模型”的文章。希格斯不因此而气馁，他又添加了一些内容，从他给出的模型，他预测另外存在一种带质量玻色子，后来知名为“希格斯玻色子”[27][20]:223-224希格斯的1966年论文推导出希子的衰变机制；只有带质量玻色子可以衰变，假若找到衰变的迹象，就可以证实希子存在。[24]:4-5
古拉尼团队论文提到了恩格勒团队与希格斯先前分别独立发表的论文。古拉尼团队论文是唯一对于整个希格斯机制给出完整分析的论文。这论文也推导出希子的存在，但是希格斯的希子具有质量，而古拉尼团队的希子不具有质量，这结果令人疑问两种希子是否相同。在2009年与2011年发表的两篇论文中，古拉尼解释，在古拉尼团队给出的模型里，取至最低阶近似，玻色子的质量为零，但是这质量的数值没有被任何理论限制；取至较高阶，玻色子可以获得质量。[40][41]
希格斯机制不但解释了规范玻色子怎样获得质量，还预测这些玻色子与标准模型的费米子之间的耦合。经过在大型正负电子对撞机（LEP）和史丹佛线性加速器（SLAC）做精密测量实验，很多预测都已经核对证实，因此确认大自然实际存在这一机制。[42]但物理学者仍旧不清楚希格斯机制到底是怎样发生，他们希望能从寻找希子所得到的结果获得一些这方面的证据。
理论[编辑][/ltr]
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主条目：希格斯机制
量子力学的真空与一般认知的真空不同。在量子力学里，真空并不是全无一物的空间，虚粒子会持续地随机生成或湮灭于空间的任意位置，这会造成奥妙的量子效应。将这些量子效应纳入考量之后，空间的最低能量态，是在所有能量态之中，能量最低的能量态，不具有额外能量来制造粒子，又称为基态或“真空态”。最低能量态的空间才是量子力学的真空。描述物理系统的方程所具有的对称性，这最低能量态可能不具有，这现象称为自发对称性破缺。[24]
在标准模型里，为了满足局域规范不变性，规范玻色子的质量必须设定为零；但这不符合实验观察结果──W玻色子与Z玻色子都已经通过做实验检验确实拥有质量。因此，这些玻色子必须倚赖其它种机制或作用来获得质量。
如右图所示，假定有一种遍布于宇宙的复值希格斯场 ，而希格斯势与希格斯场 的关系形状好似一顶墨西哥帽，最低能量态不在帽顶，而是在帽子谷底，在这里有无穷多个简并的最低能量态，其对应的希格斯场不等于零。每一个最低能量态位置都不具有旋转对称性。在这无穷多个最低能量态之中，只有一个最低能量态能够被实现，旋转对称性因此被打破，造成自发对称性破缺，因此使规范玻色子获得质量，同时生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子，而希子则是伴随着希格斯场的粒子，是希格斯场的振动。[注 1]但这戈德斯通玻色子并不符合实际物理。通过选择适当的规范，戈德斯通玻色子会被抵销，只存留带质量希子与带质量规范玻色子。总括而言，利用自发对称性破缺，使得规范玻色子获得质量，这就是希格斯机制。在所有可以赋予规范玻色子质量，而同时又遵守规范理论的可能机制中，这是最简单的机制。[7]:378-381
按照希格斯机制，复值希格斯场（两个自由度）与零质量规范玻色子（横场，如同光子一样，具有两个自由度）被变换为带质量标量粒子（希子，一个自由度）与带质量规范玻色子（戈德斯通玻色子变换为一个纵场，加上先前的横场，共有三个自由度），自由度守恒。[43]
费米子也是因为与希格斯场相互作用而获得质量，但它们获得质量的方式不同于W玻色子、Z玻色子的方式。在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定费米子的质量为零。通过汤川耦合，费米子也可以因为自发对称性破缺而获得质量。[23]:689ff
标准模型希子的性质[编辑]
稍微复杂一点，但更实际一点，在最小标准模型（minimal standard model）里，希格斯场是复值二重态，是由两个复值标量场，或四个实值标量场组成，其中，两个带有电荷，两个是中性。在这模型里，还有四个零质量规范玻色子，都是横场，如同光子一样，具有两个自由度。总合起来，一共有十二个自由度。自发对称性破缺之后，一共有三个规范玻色子会获得质量、同时各自添加一个纵场，总共有九个自由度，另外还有一个具有两个自由度的零质量规范玻色子，剩下的一个自由度是带质量的希子。三个带质量规范玻色子分别是W+、W-和Z玻色子。零质量规范玻色子是光子。[44]:1-3由于希格斯场是标量场（不会因洛伦兹变换 而改变），希子不具有自旋。希子不带电荷，是自己的反粒子，具有CP-偶性。[7]:401-405[45]:7,8
标准模型并没有预测希子的质量。[46]假若质量在115和180 GeV之间，则能量尺度直到普朗克尺度（1019 GeV）上限，标准模型都有效。[45]:7,8基于标准模型的一些不令人满意的性质，许多理论学者认为后标准模型的新物理会出现于TeV能量尺度。[47]希子（或其他的电弱对称性破缺机制）能够具有的质量的尺度上限是1.4 TeV；超过此上限，标准模型变得不相容，因为对于某些散射过程违反了幺正性。[48]现今，学术界有超过一百种不同关于希格斯质量的理论预测。[49]
理论而言，希子的质量或许可以间接估计。在标准模型里，希子会造成一些间接效应。最值得注意的是，希格斯回路会造成W玻色子质量和Z玻色子质量的小额度修正。通过整体拟合从各个对撞机获得的精密电弱数据，可以估计希子的质量为94+29
−24 GeV，或小于152 GeV，置信水平95%。[45]:12-14[50]
希子可能会与前面提到的标准模型粒子相互作用，但也可能会与诡秘的大质量弱相互作用粒子相互作用，形成暗物质，这在近期天文物理学研究领域里，是很重要的论题。[51][52][/ltr]
 电脑模拟绘制的希格斯玻色子出现事件 | |
| 基本粒子 | |
| 玻色子 | |
| 确认[1][2] | |
| 弗朗索瓦·恩格勒 罗伯特·布绕特 彼得·希格斯 杰拉德·古拉尼 卡尔·哈庚 汤姆·基博尔 | |
| ATLAS(超环面仪器) / CMS(紧凑μ子线圈)两团队宣布已被发现 | |
| 标准模型：1种 超对称模型：5种 | |
| 125.3 GeV（CMS） （统计误差：±0.4）（系统误差：±0.5）（统计显著性：5.8个标准差）[3][4] 126.0 GeV（ATLAS）（统计误差：±0.4） （系统误差：±0.4） （统计显著性：5.9个标准差）[5][6][4] | |
| 0 | |
| 0 | |
希格斯玻色子是否存在？这是一个极为重要的基础物理问题。物理学者花费四十多年时间寻找它。至今为止，全世界最昂贵、最复杂的实验设施之一，大型强子对撞机（LHC），其建成的主要目的之一就是寻找与观察希格斯玻色子与其它种粒子。[14]2012年7月4日，欧洲核子研究组织（CERN）宣布，LHC的紧凑渺子线圈（CMS）探测到质量为125.3±0.6GeV的新玻色子（超过背景期望值4.9个标准差），超环面仪器（ATLAS）测量到质量为126.5GeV的新玻色子（5个标准差），这两种粒子极像希格斯玻色子。[15]2013年3月14日，欧洲核子研究组织发表新闻稿正式宣布，先前探测到的新粒子暂时确认是希格斯玻色子，具有零自旋与偶宇称，这是希格斯玻色子应该具有的两种基本性质，但有一部分实验结果不尽符合理论预测，更多数据仍旧等待处理与分析。[1][2]。
希格斯玻色子是因物理学者彼得·希格斯命名。[注 2]他是于1964年提出希格斯机制的六位物理学者中的一位。虽然这理论最终以希格斯的名字命名，在1960年至1972年之间，有很多物理学者对于这理论独立地做出不同贡献。2013年10月08日，因为“次原子粒子质量的生成机制理论，促进了人类对这方面的理解，并且最近由欧洲核子研究组织属下大型强子对撞机的超环面仪器及紧凑μ子线圈探测器发现的基本粒子证实”，弗朗索瓦·恩格勒、彼得·希格斯荣获2013年诺贝尔物理学奖。[16][/ltr]
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科学概述[编辑][/ltr]
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在粒子物理学里，标准模型是一种被广泛接受的框架，可以描述强力、弱力及电磁力这三种基本力及组成所有物质的基本粒子。由于基本粒子和基本力形成了物理世界，所以，除了引力以外，标准模型可以合理解释这世界中的大多数物理现象。最初，标准模型所倚赖的规范场论禁止基本粒子拥有质量，这很明显地显示出初始模型不够完善。后来，物理学者研究出一种机制，能够利用对称性破缺来赋予基本粒子质量，同时又不会抵触到规范场论。这机制被称为希格斯机制。在所有解释质量起源的机制之中，希格斯机制是最简单、最被认可的一种。物理学者已完成很多实验，并确实侦测到这机制引发的许多种效应，但是他们不确切了解这机制到底是怎么一回事。
希格斯机制假定宇宙遍布著希格斯场，能够与某些基本粒子相互作用，利用对称性破缺使得它们获得质量。希格斯玻色子是希格斯场的振动，是希格斯场存在的明确证据，就好像从观察海面的波浪可以推论出大海的存在。[注 3]假若希格斯玻色子被证实存在，则希格斯场应该也存在，连带地确认希格斯机制与标准模型基本无误。[9][注 1]
希格斯场可以比拟为一池黐黏的蜜糖，黏着于某种尚未带有质量的基本粒子。当这种粒子通过希格斯场的时候，会变成带质量粒子。这比拟并不完全。第一、有些种类的粒子（例如光子、胶子）不会被蜜糖沾黏，这些粒子的质量为零。希格斯场与不同种类的粒子，两者之间的耦合不同。第二、蜜糖施加于被沾黏物体的作用力为阻力，不论物体的速度为何，都会感受到这阻力，而质量是与物体的加速度运动有关，物体质量越大，必须施加越大的作用力才能给出同样的加速度。[17]
标准模型明确指出，希格斯玻色子的存在很难证实。与其它粒子相比较，制造希格斯玻色子需要极大的碰撞能量，必须建造超级粒子加速器以提供这样大的能量。尽管这样做，每一次碰撞制造出其它粒子的可能性还是比制造出希格斯玻色子的可能性大很多。即使希格斯玻色子被制成，它也会迅速衰变成别的粒子，从而难以检测到，只能靠着辨认与分析衰变后的产物来推断它们大概是从希格斯玻色子生成，而不是从其它来源生成。此外，很多其它衰变也会显示出类似的迹象，这使得寻找希格斯玻色子有如大海捞针。只有依靠先进的超级粒子加速器与精准的侦测器，物理学者才可观测数之不尽的粒子碰撞事件，将获得的纪录数据加以分析，寻找希格斯玻色子的蛛丝马迹，然后再进一步分析，计算希格斯玻色子存在的可能性，确定所得到的结果绝对不是来自偶发事件。
再华丽、再精致的理论，也需要通过实验加以证实，才会被正式接受，否则只能视为高谈大论。物理学者很希望能够证实希格斯玻色子是否存在。但是，最初从实验得到的数据只能让他们判别希格斯玻色子是否可能存在于某个质量值域。为了弥补这不足，欧洲核子研究组织在瑞士建成了大型强子对撞机（LHC）。它是全世界最先进的粒子加速器。它的主要研究目标之一就是证实希格斯玻色子是否存在。
经过数年努力，大型强子对撞机侦测到质量大约为125GeV的新玻色子，这新玻色子符合理论希格斯玻色子的质量与性质，但物理学者仍旧需要完成更多实验，才能够作定论。假若新玻色子真的是希格斯玻色子，物理学者就可以开始研究它的物理性质是否完全与标准模型现有版本的预测一致。已得到的实验数据并不排除新玻色子不是希格斯玻色子的可能性，或者是另一种带质量玻色子。假若新玻色子是另一种带质量玻色子，则标准模型势必会遭到大幅度修改。
基础术语[编辑]
本篇文章使用到一些名称相近的术语。这些术语涉及到很多重要与相关的概念。为了避免混淆不清，在这里特别对这些术语加以详细解释说明。[/ltr]
- 规范对称性将物理系统在各个时空位置的物理性质按照规范场论关联在一起，可以分为全域规范对称性与局域规范对称性两种。为了满足局域规范对称性，必须引入传递基本相互作用的规范玻色子，而这规范玻色子必须不带有质量。例如，为了满足局域规范对称性，电磁相互作用的规范玻色子不带有质量，因此，电磁力是长程力，光子的质量为零。相互作用的规范对称性迫使它的规范玻色子不带有质量，但是实验证明，弱相互作用的规范玻色子（W玻色子、Z玻色子）实际带有很大的质量，因此弱作用力是短程力。很长久一段时间，物理学者无法完善处理这理论瑕疵。
- 希格斯机制解释了为什么规范玻色子仍旧带有质量，尽管基本粒子所遵守的物理定律必须满足规范对称性。理论物理学者进一步提出，希格斯机制可能是所有基本粒子获得质量的物理机制。[注 3]这希格斯机制已被实验证实。但是，物理学者仍旧不清楚关于希格斯机制的诸多细节。
- 希格斯场是根据标准模型假定遍布于宇宙的一种基本场。假若这希格斯场存在，则弱电相互作用所遵守的对称性物理定律的会被打破。[注 4]希格斯场的存在触发了希格斯机制，使得负责传递弱作用力的规范玻色子带有质量，因此弱作用力是短程力。[注 5]理论物理学者进一步提出，这同样的希格斯场可以解释为什么其它种基本粒子（轻子、夸克）也带有质量。
- “希格斯玻色子”是伴随着希格斯场的带质量玻色子，是希格斯场的振动。[注 1]假若能够寻找到希格斯玻色子，则可以明确地证实希格斯场也存在于宇宙，就好像从观察海面的波浪可以推论出大海的存在。假若能够找到希格斯玻色子，则可证实希格斯场存在，连带地确认希格斯机制与标准模型基本无误。[9]但是，几十年来，物理学者无法证实希格斯玻色子是否存在，因为很难制备出希格斯玻色子，而且希格斯玻色子的寿命非常短暂，在10-22秒内，就会发生衰变。虽然理论给出亮丽的正确答案，[21]:22[注 6]从1980年到2010年，具有探索希格斯玻色子功能的粒子对撞机、侦测器、电脑费了三十多年光阴的研究发展，才臻至完备。终于在2013年，物理学者表示，他们确信已从实验证实希格斯玻色子存在，因此，某种形式的希格斯场遍布于宇宙这概念已被证实。之后几年，更进一步仔细检试应该会给出更多相关资讯，并且未来会对人类对于宇宙的认知有更大的冲击。[22][2]
- “希格斯势”涵盖了希格斯场的物理行为与性质，是描述希格斯场的方程的关键项目。依希格斯势的函数形式，希格斯场会表现出特征的物理行为。物理学者并不清楚希格斯势之确切形式，所以描述希格斯场的公式只能说是一个合理猜测。
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本篇文章从下段落起，将希格斯玻色子简称为“希子”。
理论发展史[编辑][/ltr]
 _cropped.jpg) 左图：5位荣获2010年樱井奖的物理学者：从左至右，基博尔、古拉尼、哈庚、恩格勒、布绕特。右图：第6位荣获2010年樱井奖的物理学者：希格斯。 |
物理学者认为物质是由基本粒子组成，这些基本粒子彼此之间相互影响的基本力有四种。根据规范场论，为了满足局域规范对称性，必须引入传递基本力的规范玻色子。特别而言，传递电磁力的规范玻色子就是光子。1954年，杨振宁与罗伯特·米尔斯试图将这关于电磁力的点子延伸至其他种基本力，他们提出了杨-米尔斯理论，但是规范场论预测规范玻色子的质量必须为零，而零质量玻色子传递的是类似电磁力的长程力，不适用于像弱核力或强核力一类的短程力。[20]:212
怎样才能够使得传递短程力的规范玻色子获得质量？物理学者在凝聚态物理学的超导理论里找到重要暗示。1950年，俄国物理学者维塔利·金兹堡与列夫·郎道提出金兹堡-朗道理论，他们建议，在超导体里，弥漫着一种特别的场，能够使得光子获得有效质量，但他们并没有明确地描述这特别场。1957年，约翰·巴丁、利昂·库珀、约翰·施里弗共同创建了BCS理论，他们认为，由电子组成的库珀对，形成了这特别场。规范对称性被这特别场隐藏起来，因此造成自发对称性破缺──虽然对称性仍旧存在于描述这物理系统的方程，但是方程的某种解答并不具有这对称性。[20]:213-215
南部阳一郎于1960年将自发对称性破缺的概念引入粒子物理学。他建议，假定夸克与反夸克的质量为零，则生成它们的能量成本很低，如同电子们在超导体里凝聚为库珀对，它们会在真空里凝聚为夸克对，使得强相对作用的手征对称性被打破，夸克会因此获得质量。他又指出，在这机制里，还会出现一种新的零质量玻色子，即π介子，由于上夸克、下夸克的质量不等于零，π介子的实际质量不等于零，只是比其他种介子的质量都轻很多。[23]:669-670[24]:31962年，杰福瑞·戈德斯通提出戈德斯通定理，对于这类零质量玻色子的性质给予描述。根据这定理，当连续对称性被自发打破后必会生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子。带质量粒子比较难制成，粒子加速器必须使用很高的能量来碰撞制成带质量粒子。零质量粒子案例跟重质量粒子案例不同，零质量粒子很容易制成，或者可从缺失能量或动量推测其存在。然而，事实并非如此，物理学者无法做实验找到其存在的任何蛛丝马迹，这事实意味着整个理论可能有瑕疵。[7]:378-3811963年，菲利普·安德森发表论文指出，对于非相对论性的超导体案例，假若是规范对称性被打破，则不一定会出现戈德斯通玻色子，他进一步猜测，这机制应该可以加以延伸来处理相对论性案例，但他并没有明确地给出一个相对论性案例。这论述遭到未来诺贝尔化学奖得主沃特·吉尔伯特强烈反对。[25][24]:3
1964年，弗朗索瓦·恩格勒和罗伯特·布绕特领先于8月，[26]紧接着，彼得·希格斯于10月，[27]随后，杰拉德·古拉尼、卡尔·哈庚和汤姆·基博尔于11月，[28]这三个研究小组分别独立地发表论文，宣布研究出相对论性模型。古拉尼于1965年、[29]希格斯于1966年、[30]基博尔于1967年[31]，又分别更进一步发表论文探讨这模型的性质。这三篇1964年论文共同表明，假若将局部规范不变性理论与自发对称性破缺的概念以某种特别方式连结在一起，则规范玻色子必然会获得质量。[32]1967年，史蒂文·温伯格与阿卜杜勒·萨拉姆各自独立地应用希格斯机制来打破电弱对称性，并且表述希格斯机制怎样能够并入稍后成为标准模型一部分的谢尔登·格拉肖的电弱理论。[33][34][35]温伯格指出，这过程应该也会使得费米子获得质量。[24]:3
关于规范对称性的自发性破缺的这些划时代论文，最初并没有得到学术界的重视，因为大多数物理学者认为，非阿贝尔规范理论是个死胡同，无法被重整化。1971年，荷兰物理学者马丁纽斯·韦尔特曼与杰拉德·特·胡夫特发表了两篇论文，证明杨-米尔斯理论（一种非阿贝尔规范理论）可以被重整化，不论是对于零质量规范玻色子，还是对于带质量规范玻色子。自此以后，物理学者开始接受这些理论，正式将这些理论纳入主流。[24]:5
从这些理论孕育出的电弱理论与改善后的标准模型，正确地预测了弱中性流、W玻色子、Z玻色子、顶夸克、粲夸克，并且准确地计算出其中一些粒子的性质与质量。[注 6]很多在这领域给出重要贡献的物理学者后来都获得了诺贝尔物理学奖与其它享有声望的奖赏。发表于《现代物理评论》的一篇1974年文章表示，至今为止，这些理论推导出的答案符合实验结果，但是，这些理论到底是否正确仍旧无法确定。[36]:9,36(footnote),43–44,47 权威著作《希格斯狩猎者指南》的作者指明，标准模型拥有惊人的成功。现今，粒子物理学的核心问题就是了解希格斯区的相关理论。[37]
物理评论快报1964年里程碑论文[编辑]
六位物理学者分别发表的三篇论文，在《物理评论快报》50周年庆祝文献里被公认为里程碑论文。[32]2010年，他们又荣获理论粒子物理学樱井奖。[38]同年，在他们之间，又发生了一点争执，万一因此获得诺贝尔物理学奖，由于每一年只能授予给三位杰出人士，而现在有六位人士做出了关键贡献，到底应该颁发物理学最荣誉的奖给哪三位人士？（结果，弗朗索瓦·恩格勒和彼得·希格斯获得了2013年诺贝尔物理学奖。）
1964年8月，恩格勒团队发表了三页论文，他们假定存在有复值标量场（即希格斯场），其数值在量子真空里不等于零，然后使用费曼图方法演示出规范玻色子怎样获得质量。恩格勒团队并没有提到任何关于希子的信息。[26][20]:221-222稍后，希格斯独立发表论文概述怎样能够应用局域规范对称性来回避戈德斯通定理，他并没有给出模型明确显示戈德斯通玻色子被抵销。[39]不久之后，希格斯发表第二篇论文，他更仔细的表述这回避方法，给出一个可行模型，并且用这模型演示出规范矢量场怎样吃掉戈德斯通玻色子，因此获得质量。他将这篇论文被呈送给《物理快报》，但是令人惊讶地没有被接受。他无法理解，为什么同样的学术刊物，会接受一篇关于“带质量规范玻色子可能存在”的论文，又会否绝一篇描述“带质量规范玻色子实际模型”的文章。希格斯不因此而气馁，他又添加了一些内容，从他给出的模型，他预测另外存在一种带质量玻色子，后来知名为“希格斯玻色子”[27][20]:223-224希格斯的1966年论文推导出希子的衰变机制；只有带质量玻色子可以衰变，假若找到衰变的迹象，就可以证实希子存在。[24]:4-5
古拉尼团队论文提到了恩格勒团队与希格斯先前分别独立发表的论文。古拉尼团队论文是唯一对于整个希格斯机制给出完整分析的论文。这论文也推导出希子的存在，但是希格斯的希子具有质量，而古拉尼团队的希子不具有质量，这结果令人疑问两种希子是否相同。在2009年与2011年发表的两篇论文中，古拉尼解释，在古拉尼团队给出的模型里，取至最低阶近似，玻色子的质量为零，但是这质量的数值没有被任何理论限制；取至较高阶，玻色子可以获得质量。[40][41]
希格斯机制不但解释了规范玻色子怎样获得质量，还预测这些玻色子与标准模型的费米子之间的耦合。经过在大型正负电子对撞机（LEP）和史丹佛线性加速器（SLAC）做精密测量实验，很多预测都已经核对证实，因此确认大自然实际存在这一机制。[42]但物理学者仍旧不清楚希格斯机制到底是怎样发生，他们希望能从寻找希子所得到的结果获得一些这方面的证据。
理论[编辑][/ltr]
）。对于绕着帽子中心轴 
的旋转，帽顶的位置不变，而帽子谷底的任意位置会改变，因此帽顶具有旋转对称性，而帽子谷底的任意位置不具有旋转对称性。[ltr]
主条目：希格斯机制
量子力学的真空与一般认知的真空不同。在量子力学里，真空并不是全无一物的空间，虚粒子会持续地随机生成或湮灭于空间的任意位置，这会造成奥妙的量子效应。将这些量子效应纳入考量之后，空间的最低能量态，是在所有能量态之中，能量最低的能量态，不具有额外能量来制造粒子，又称为基态或“真空态”。最低能量态的空间才是量子力学的真空。描述物理系统的方程所具有的对称性，这最低能量态可能不具有，这现象称为自发对称性破缺。[24]
在标准模型里，为了满足局域规范不变性，规范玻色子的质量必须设定为零；但这不符合实验观察结果──W玻色子与Z玻色子都已经通过做实验检验确实拥有质量。因此，这些玻色子必须倚赖其它种机制或作用来获得质量。
如右图所示，假定有一种遍布于宇宙的复值希格斯场
，而希格斯势与希格斯场 的关系形状好似一顶墨西哥帽，最低能量态不在帽顶，而是在帽子谷底，在这里有无穷多个简并的最低能量态，其对应的希格斯场不等于零。每一个最低能量态位置都不具有旋转对称性。在这无穷多个最低能量态之中，只有一个最低能量态能够被实现，旋转对称性因此被打破，造成自发对称性破缺，因此使规范玻色子获得质量，同时生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子，而希子则是伴随着希格斯场的粒子，是希格斯场的振动。[注 1]但这戈德斯通玻色子并不符合实际物理。通过选择适当的规范，戈德斯通玻色子会被抵销，只存留带质量希子与带质量规范玻色子。总括而言，利用自发对称性破缺，使得规范玻色子获得质量，这就是希格斯机制。在所有可以赋予规范玻色子质量，而同时又遵守规范理论的可能机制中，这是最简单的机制。[7]:378-381按照希格斯机制，复值希格斯场（两个自由度）与零质量规范玻色子（横场，如同光子一样，具有两个自由度）被变换为带质量标量粒子（希子，一个自由度）与带质量规范玻色子（戈德斯通玻色子变换为一个纵场，加上先前的横场，共有三个自由度），自由度守恒。[43]
费米子也是因为与希格斯场相互作用而获得质量，但它们获得质量的方式不同于W玻色子、Z玻色子的方式。在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定费米子的质量为零。通过汤川耦合，费米子也可以因为自发对称性破缺而获得质量。[23]:689ff
标准模型希子的性质[编辑]
稍微复杂一点，但更实际一点，在最小标准模型（minimal standard model）里，希格斯场是复值二重态，是由两个复值标量场，或四个实值标量场组成，其中，两个带有电荷，两个是中性。在这模型里，还有四个零质量规范玻色子，都是横场，如同光子一样，具有两个自由度。总合起来，一共有十二个自由度。自发对称性破缺之后，一共有三个规范玻色子会获得质量、同时各自添加一个纵场，总共有九个自由度，另外还有一个具有两个自由度的零质量规范玻色子，剩下的一个自由度是带质量的希子。三个带质量规范玻色子分别是W+、W-和Z玻色子。零质量规范玻色子是光子。[44]:1-3由于希格斯场是标量场（不会因洛伦兹变换 而改变），希子不具有自旋。希子不带电荷，是自己的反粒子，具有CP-偶性。[7]:401-405[45]:7,8
标准模型并没有预测希子的质量。[46]假若质量在115和180 GeV之间，则能量尺度直到普朗克尺度（1019 GeV）上限，标准模型都有效。[45]:7,8基于标准模型的一些不令人满意的性质，许多理论学者认为后标准模型的新物理会出现于TeV能量尺度。[47]希子（或其他的电弱对称性破缺机制）能够具有的质量的尺度上限是1.4 TeV；超过此上限，标准模型变得不相容，因为对于某些散射过程违反了幺正性。[48]现今，学术界有超过一百种不同关于希格斯质量的理论预测。[49]
理论而言，希子的质量或许可以间接估计。在标准模型里，希子会造成一些间接效应。最值得注意的是，希格斯回路会造成W玻色子质量和Z玻色子质量的小额度修正。通过整体拟合从各个对撞机获得的精密电弱数据，可以估计希子的质量为94+29
−24 GeV，或小于152 GeV，置信水平95%。[45]:12-14[50]
希子可能会与前面提到的标准模型粒子相互作用，但也可能会与诡秘的大质量弱相互作用粒子相互作用，形成暗物质，这在近期天文物理学研究领域里，是很重要的论题。[51][52][/ltr]
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希子的制备[编辑]
粒子对撞机尝试通过碰撞两束高能量粒子的方式来制备希子。实际物理反应依使用的粒子与碰撞能量而定。[53][54][55][注 7]最常发生的反应为
希子的衰变[编辑]
在量子力学里，假若粒子有可能衰变成一组质量较轻的粒子，则这粒子必会如此衰变。[57]衰变发生的概率与几种因素有关：质量差值、耦合强度等等。标准模型已将大多数这些因素设定，希子质量是一个例外。假设希子质量为126 GeV，则标准模型预测平均寿命（mean lifetime）大约为1.6×10−22 秒。[58][注 8]
由于希子会与每一种“已知”带质量基本粒子相互作用，希子有很多种不同的衰变道。每种衰变道都有其发生的概率，称为分支比（branching ratio），定义为这种衰变道发生的次数除以总次数。右图展示出，标准模型预测的几种不同衰变模式的分支比与质量之间的关系。
在这几种希子衰变道之中，有一种衰变道是分裂为费米子反费米子对。对于希子衰变，产物质量越大，则耦合强度越大（呈线性或平方关系）。[7]:401-405因此，希子比较可能衰变为较重的费米子，希子应该最常衰变为顶夸克反顶夸克对。但是，这种衰变必须遵守运动学约束，即希子质量必须大于346 GeV，顶夸克质量的两倍。假设希子质量为126 GeV，则标准模型预测最常发生的衰变为底夸克反底夸克对，概率为56.1%。第二常发生的衰变是陶子反陶子对，概率为6%[58]。
希子也有可能分裂为一对带质量规范玻色子。对于这模式，希子最有可能衰变为一对W玻色子，假设希子质量为126 GeV，则概率为23.1%。在这之后，W玻色子可以衰变为夸克与反夸克，或者，衰变为轻子与中微子。这最后一种模式不能被重建，因为无法侦测到中微子。希子衰变为一对Z玻色子会给出较干净的讯号，若果Z玻色子会继续衰变为易侦测的带电荷轻子反轻子对（电子或μ子）。假设希子质量为126 GeV，则概率为2.9%。[58]
希子还可能衰变为零质量胶子，但是中间需要经过夸克圈。[59]对于这模式，最常会经过顶夸克圈，因为顶夸克最重，也因为如此，虽然这是个单圈图（one-loop diagram），而不是树图（tree-level diagram），它发生的衰变概率仍旧可观，不容忽略。假设希子质量为126 GeV，则概率为8.5%。[58]
比较稀有的是希子衰变为零质量光子，概率为0.2%，这过程中间需要经过费米子圈或Ｗ玻色子圈。[59]由于光子的能量与动量可以非常准确地测量，衰变粒子的质量可以准确重建出来。所以，在探索低质量希子的实验中，这过程非常重要。[45]:10[58]
另类模型[编辑]
所有应用希格斯机制来解释质量问题的模型中，最小标准模型只设定了一个复值二重态希格斯场，是最简单的标准模型。其它模型的希格斯场可能会被延伸成具有更多二重态或三重态。双希格斯二重态模型（two-Higgs-doublet models, 2HDM）设定了两个复值二重态希格斯场，是在所有其它种模型中比较受到认可的模型，主要原因为[44]:195
双希格斯二重态模型预言五重态标量粒子的存在：两个CP-偶性的中性希子h0、H0，一个CP-奇性的中性希子A0，和两个带电荷希子H+、H-。不同版本的2HDM与最小标准模型的分辨方法主要建立于它们的耦合常数与希格斯衰变的分支比都不相同。在模型I里，一个二重态能与所有种类的夸克耦合，另一个二重态则不能与任何夸克耦合。在模型II里，一个二重态能与上型夸克（up-type quark）耦合，另一个二重态则与下型夸克（down-type quark）耦合。[注 9][60]超对称模型（SUSY）是标准模型的一种延伸，属于2HDM模型II。在超对称模型中，最小超对称模型（MS***）的希格斯机制产生的希子数量最少。在最小标准模型里，希子质量基本而言是一个自由参数，只要小于TeV能量尺度就行。在MS***里，最轻的CP-偶性的中性希子h0的质量上限大约为110-135 GeV。假若希子质量在125 GeV左右，则MS***的模型参数会被强列约束。[61]
在艺彩理论（technicolor theory）里，两个强烈束缚的费米子所形成的粒子对扮演了希格斯场的角色。顶夸克凝聚理论（top quark condensate theory）提出希格斯场被顶夸克与反顶夸克共同组成的复合场替代的概念。有些模型完全不提供希格斯场，电弱对称性破缺是倚赖额外维度来达成。[62][63]
实验探索[编辑]
主条目：希格斯玻色子的实验探索
为了要制成希子，在粒子对撞机里，两道粒子束被加速到非常高能量，然后在粒子侦测器里相互碰撞，有时候，异乎寻常地，会因此生成产物希子。但是希子会在生成后会在非常短暂时间内发生衰变，无法直接被侦测到，侦测器只能记录其所有衰变产物（“衰变特征”），从这些实验数据，重建衰变过程，假若符合希子的某种衰变道，则归类为希子可能被生成事件。实际而言，很多种过程都会出现类似的衰变特征。很庆幸地是，标准模型精确地预言所有可能衰变模式与对应的或然率，假若侦测到更多能够匹配希子衰变特征的事件，而不是更多不同于希子衰变特征的事件，则这应该是希子存在的强烈证据。
在大型强子对撞机里，由于粒子碰撞生成希子的事件概率非常稀有，大约为百亿分之一，[注 7]很多其它种碰撞事件具有类似的衰变特征，物理学者必须搜集与分析几百万亿个碰撞事件，只有显示出与希子相同衰变特征的事件才可被视为是可能的希子衰变事件。在确认发现新粒子之前，两个独立的粒子侦测器（ATLAS与CMS）所观测到的衰变特征出自于背景随机标准模型的事件概率，都必须低于百万分之一，也就是说，观测到的事件数量比没有新粒子的事件数量，两者之间相异的程度为5个标准差。更多碰撞数据能够让物理学者更为正确地辨认新粒子的物理性质，从而决定新粒子是否为标准模型所描述的希子，还是其它种假想粒子。
低能量实验设施可能无法找到希子，必须建造一座高能量粒子对撞机，这对撞机还需要具有高亮度来确保搜集到足够的碰撞数据。另外，还需要高功能电脑设施来有序处理大量碰撞数据（大约25petabyte每年）。至2012年为止，它的附属电脑设施，全球大型强子对撞机计算网格（Worldwide LHC Computing Grid）已处理了超过三百万亿（3×1014）个碰撞事件。这是全球最大的计算网格，隶属于它的170个电算设施，散布在36国家，是以分布式计算的模式连结在一起。[64][65]
2012年7月4日以前的探索[编辑]
最早大规模搜寻希子的实验设施是欧洲核子研究组织的大型正负电子对撞机，它在1990年代开始运作，直到2000年为止，但它并没有找到希子的确切存在证据，这是因为它的专长是精密测量粒子的性质。[注 10]根据大型正负电子对撞机所收集到的数据，标准模型希子的质量下限被设定为114.4 GeV，置信水平95%。[注 11]这意味着假若希子存在，则它应该会重于114.4 GeV/c2。[66]
费米实验室的兆电子伏特加速器继承了先前搜寻希子的任务。1995年，它发现了顶夸克。为了搜寻希子，设施的功能被大大提升，但这并不能保证兆电子伏特加速器会发现希子。在那时期，它是唯一正在运作中的超级对撞机，大型强子对撞机正在建造，超导超大型加速器计划已于1993年取消。历经多年运作，兆电子伏特加速器只能对于更进一步排除希子质量值域做出贡献，由于能量与亮度无法与建成的大型强子对撞机竞争，于2011年9月30日除役。从分析获得的实验数据，兆电子伏特加速器团队排除希子的质量在100-103 GeV、147-180 GeV以内，置信水平95%。在能量115–140 GeV之间区域，超额事件的统计显著性为2.5个标准差，这对应于在550次事件中，有一次事件是归咎于统计涨落。这结果仍旧未能达到5个标准差，因此不能够作定论。[67][68]
欧洲核子研究组织的大型强子对撞机（LHC）的设计目标之一为能够确认或排除希子的存在。在瑞士日内瓦附近乡村的地底下，圆周为27 km的坑道里，两个质子束相撞在一起，最初以3.5 TeV每质子束（总共7 TeV），大约为兆电子伏特加速器的3.6倍，未来还可提升至2 × 7 TeV（总共14 TeV）。根据标准模型，假若希子存在，则这么高能量的碰撞应该能够将它揭露出来。[69]这是史上最复杂的科学设施之一。在开启测试后仅仅九天，由于磁铁与磁铁之间电接连缺陷，发生磁体失超事件，造成50多个超导磁铁被毁坏、真空系统被污染，整个运作被迫延迟了14个月，直到2009年11月才再度重新运作 。[注 12][70] [71]
2010年3月，LHC开始紧锣密鼓地进行数据搜集与分析。[72]2011年12月，LHC的两个主要粒子侦测器，超环面仪器（ATLAS）和紧凑μ子线圈（CMS）的实验团队，已将希子的可能质量值域缩小至115-130 GeV（ATLAS）与117-127 GeV （CMS）。另外，ATLAS在质量范围125-126 GeV侦测到超额事件，统计显著性为3.6个标准差，CMS在质量范围124 GeV侦测到超额事件，统计显著性为2.6个标准差。[73]由于统计显著性并不够大，尚无法做结论或甚至正式当作一个观察事件。但是，两个侦测器都独立地在同样质量附近检测出超额事件，这事实使得粒子物理社团极其振奋，[74]期望能够在检验完毕2012年的碰撞数据之后，于明年年底排除或确认标准模型希子的存在。CMS团队发言人吉多·桐迺立（Guido Tonelli）表示：“统计显著性不够大，无法做定论。直到今天为止，我们所看到的与背景涨落或与玻色子存在相符合。更仔细的分析与这精心打造的巨环在2012年所贡献出的更多数据必定会给出一个答案。”[75]
发现新玻色子[编辑]
2012年6月22日，欧洲核子研究组织发表声明，将要召开专题讨论会与新闻发布会，报告关于寻找希子的最新研究结果。[77][78]不消一刻，谣言传遍了新闻媒体，记者们与一些物理学者纷纷猜测欧洲核子研究组织是否会正式宣布证实希子存在。[79][80]
7月4日，欧洲核子研究组织举行专题讨论会与新闻发布会宣布，紧凑μ子线圈发现质量为125.3±0.6 GeV的新玻色子，标准差为4.9；[4][76]超环面仪器发现质量为126.5GeV的新玻色子标准差为4.6。[6][81]物理学者认为这两个粒子可能就是希子。欧洲核子研究组织的所长说：“从一个外行人的角度来说，我们已经发现希子了；但从一个内行人的角度来说，我们还需要更多的数据。”[15]
一旦将其它种类的紧凑μ子线圈相互作用纳入计算，[4]这两个实验达到局部统计显著性5个标准差──错误概率低于百万分之一。在新闻发布之前很长一段时间，两个团队彼此之间不能互通讯息，这样才能确保每一个团队得到的结果不会受到另一个团队的影响而发生任何偏差，这也可以让两个团队各自独立得到的研究结果可以彼此相互核对。[82]
如此规格的证据，通过两个被隔离团队与实验的独立确定，已达到确定发现所需要的正式标准。欧洲核子研究组织的治学态度非常严谨，不愿意引人非议；欧洲核子研究组织表明，新发现的粒子与希子相符，但是物理学者尚未明确地认定这粒子就是希子，仍旧需要更进一步搜集与分析数据才能够做定论。[15] 换句话说，从实验观测显示，新发现的玻色子可能是希子，很多物理学者都认为非常可能是希子，现在已经证实有一个新粒子存在，但仍旧需要更进一步研究这粒子，必需排除这粒子或许不是希子的任何可疑之处。
7月31日，欧洲核子研究组织的紧凑μ子线圈小组和超环面仪器小组分别提交了新的侦测结果的论文，将这种疑似希子的粒子的质量确定为紧凑μ子线圈的125.3 GeV（统计误差：±0.4、系统误差：±0.5、统计显著性：5.8个标准差）[3]和超环面仪器的126.0 GeV（统计误差：±0.4、系统误差：±0.4、统计显著性：5.9个标准差）。[5]
2013年3月14日，欧洲核子研究组织发布新闻稿表示，先前探测到的新粒子是希子。[1][2]
确认希子[编辑]
在超环面仪器里，4-μ子候选事件示意图。
在紧凑μ子线圈侦测器里，从质心能量为8 TeV的质子-质子碰撞事件记录数据制作出的三维绘景图。
2013年3月14日，欧洲核子研究组织公开确认：
"紧凑μ子线圈小组与超环面仪器小组已对这粒子所拥有的自旋、宇称可能会产生的状况仔细分析比较，这些都指向零自旋与偶宇称（符合标准模型的两个对于希子的基要判据）。这事实，再加上测量到的新粒子与其它粒子彼此之间的相互作用，强烈显示这就是希子。[2]
这也是第一个被发现的基本标量粒子（en:scalar particle）。[注 13][83]以下列出几个检试这125GeV粒子是否为希子的实验项目：[84][85]
粒子对撞机尝试通过碰撞两束高能量粒子的方式来制备希子。实际物理反应依使用的粒子与碰撞能量而定。[53][54][55][注 7]最常发生的反应为
 胶子聚变 |  希子轫致辐射 |
 弱玻色子聚变 |  顶夸克聚变 |
- 胶子聚变：胶子是负责传递强相互作用的玻色子。它们把重子内部的夸克捆绑在一起。假若碰撞粒子为重子，例如，在兆电子伏特加速器里的质子与反质子，或在大型强子对撞机里的质子，则最有可能发生两个胶子（
）碰撞在一起。制备希子最简单的方法就是两个胶子碰撞后，经过虚夸克圈而形成希子。由于希子与粒子的耦合跟粒子的质量成正比，粒子质量越大，聚变反应越容易发生。实际而言，只需要考虑虚顶夸克（
）与虚底夸克（
）的贡献，它们是质量最大的两种夸克。在兆电子伏特加速器、大型强子对撞机里，这是主要反应，比任何其它反应的发生次数多十倍以上。[53][54] - 希子轫致辐射：假若基本费米子（
）与其反费米子（
）相碰撞，例如夸克与反夸克相碰撞，或电子与正电子相碰撞，则会形成一个虚W玻色子或虚Z玻色子，假若带有足够能量，则可能会发射出希子。在大型正负电子对撞机里，这是主要反应，电子与正电子相碰撞形成虚Z玻色子。在兆电子伏特加速器里，这是第二主要反应。在大型强子对撞机里，这是第三主要反应，因为是两束质子相碰撞，与兆电子伏特加速器相比，大型强子对撞机比较不容易制备夸克与反夸克相碰撞。[53][54][55] - 弱玻色子聚变：两个夸克分别发射一个W玻色子或Z玻色子，然后以
或 
方式合并形成一个中性希子。在大型正负电子对撞机、大型强子对撞机里，这是第二主要反应。例如，上夸克与下夸克分别发射 
与 
，然后以 方式合并形成一个中性希子。[53][55] - 顶夸克聚变：两个胶子（）分别衰变为两个顶夸克（ ）反顶夸克（
）粒子对，然后 与 合并形成一个中性希子（
）。这反应的发生次数很少（低过两个数量级）。 [53][54]
希子的衰变[编辑]
在量子力学里，假若粒子有可能衰变成一组质量较轻的粒子，则这粒子必会如此衰变。[57]衰变发生的概率与几种因素有关：质量差值、耦合强度等等。标准模型已将大多数这些因素设定，希子质量是一个例外。假设希子质量为126 GeV，则标准模型预测平均寿命（mean lifetime）大约为1.6×10−22 秒。[58][注 8]
由于希子会与每一种“已知”带质量基本粒子相互作用，希子有很多种不同的衰变道。每种衰变道都有其发生的概率，称为分支比（branching ratio），定义为这种衰变道发生的次数除以总次数。右图展示出，标准模型预测的几种不同衰变模式的分支比与质量之间的关系。
在这几种希子衰变道之中，有一种衰变道是分裂为费米子反费米子对。对于希子衰变，产物质量越大，则耦合强度越大（呈线性或平方关系）。[7]:401-405因此，希子比较可能衰变为较重的费米子，希子应该最常衰变为顶夸克反顶夸克对。但是，这种衰变必须遵守运动学约束，即希子质量必须大于346 GeV，顶夸克质量的两倍。假设希子质量为126 GeV，则标准模型预测最常发生的衰变为底夸克反底夸克对，概率为56.1%。第二常发生的衰变是陶子反陶子对，概率为6%[58]。
希子也有可能分裂为一对带质量规范玻色子。对于这模式，希子最有可能衰变为一对W玻色子，假设希子质量为126 GeV，则概率为23.1%。在这之后，W玻色子可以衰变为夸克与反夸克，或者，衰变为轻子与中微子。这最后一种模式不能被重建，因为无法侦测到中微子。希子衰变为一对Z玻色子会给出较干净的讯号，若果Z玻色子会继续衰变为易侦测的带电荷轻子反轻子对（电子或μ子）。假设希子质量为126 GeV，则概率为2.9%。[58]
希子还可能衰变为零质量胶子，但是中间需要经过夸克圈。[59]对于这模式，最常会经过顶夸克圈，因为顶夸克最重，也因为如此，虽然这是个单圈图（one-loop diagram），而不是树图（tree-level diagram），它发生的衰变概率仍旧可观，不容忽略。假设希子质量为126 GeV，则概率为8.5%。[58]
比较稀有的是希子衰变为零质量光子，概率为0.2%，这过程中间需要经过费米子圈或Ｗ玻色子圈。[59]由于光子的能量与动量可以非常准确地测量，衰变粒子的质量可以准确重建出来。所以，在探索低质量希子的实验中，这过程非常重要。[45]:10[58]
另类模型[编辑]
所有应用希格斯机制来解释质量问题的模型中，最小标准模型只设定了一个复值二重态希格斯场，是最简单的标准模型。其它模型的希格斯场可能会被延伸成具有更多二重态或三重态。双希格斯二重态模型（two-Higgs-doublet models, 2HDM）设定了两个复值二重态希格斯场，是在所有其它种模型中比较受到认可的模型，主要原因为[44]:195
- 在所有其它种模型中，它是最小、最简单的模型。
- 它能够添加更多物理现象，例如，带电荷的希子。
- 它遵守标准模型的主要理论约束。
- 低能量超对称模型必须具有这种结构。
双希格斯二重态模型预言五重态标量粒子的存在：两个CP-偶性的中性希子h0、H0，一个CP-奇性的中性希子A0，和两个带电荷希子H+、H-。不同版本的2HDM与最小标准模型的分辨方法主要建立于它们的耦合常数与希格斯衰变的分支比都不相同。在模型I里，一个二重态能与所有种类的夸克耦合，另一个二重态则不能与任何夸克耦合。在模型II里，一个二重态能与上型夸克（up-type quark）耦合，另一个二重态则与下型夸克（down-type quark）耦合。[注 9][60]超对称模型（SUSY）是标准模型的一种延伸，属于2HDM模型II。在超对称模型中，最小超对称模型（MS***）的希格斯机制产生的希子数量最少。在最小标准模型里，希子质量基本而言是一个自由参数，只要小于TeV能量尺度就行。在MS***里，最轻的CP-偶性的中性希子h0的质量上限大约为110-135 GeV。假若希子质量在125 GeV左右，则MS***的模型参数会被强列约束。[61]
在艺彩理论（technicolor theory）里，两个强烈束缚的费米子所形成的粒子对扮演了希格斯场的角色。顶夸克凝聚理论（top quark condensate theory）提出希格斯场被顶夸克与反顶夸克共同组成的复合场替代的概念。有些模型完全不提供希格斯场，电弱对称性破缺是倚赖额外维度来达成。[62][63]
实验探索[编辑]
主条目：希格斯玻色子的实验探索
为了要制成希子，在粒子对撞机里，两道粒子束被加速到非常高能量，然后在粒子侦测器里相互碰撞，有时候，异乎寻常地，会因此生成产物希子。但是希子会在生成后会在非常短暂时间内发生衰变，无法直接被侦测到，侦测器只能记录其所有衰变产物（“衰变特征”），从这些实验数据，重建衰变过程，假若符合希子的某种衰变道，则归类为希子可能被生成事件。实际而言，很多种过程都会出现类似的衰变特征。很庆幸地是，标准模型精确地预言所有可能衰变模式与对应的或然率，假若侦测到更多能够匹配希子衰变特征的事件，而不是更多不同于希子衰变特征的事件，则这应该是希子存在的强烈证据。
在大型强子对撞机里，由于粒子碰撞生成希子的事件概率非常稀有，大约为百亿分之一，[注 7]很多其它种碰撞事件具有类似的衰变特征，物理学者必须搜集与分析几百万亿个碰撞事件，只有显示出与希子相同衰变特征的事件才可被视为是可能的希子衰变事件。在确认发现新粒子之前，两个独立的粒子侦测器（ATLAS与CMS）所观测到的衰变特征出自于背景随机标准模型的事件概率，都必须低于百万分之一，也就是说，观测到的事件数量比没有新粒子的事件数量，两者之间相异的程度为5个标准差。更多碰撞数据能够让物理学者更为正确地辨认新粒子的物理性质，从而决定新粒子是否为标准模型所描述的希子，还是其它种假想粒子。
低能量实验设施可能无法找到希子，必须建造一座高能量粒子对撞机，这对撞机还需要具有高亮度来确保搜集到足够的碰撞数据。另外，还需要高功能电脑设施来有序处理大量碰撞数据（大约25petabyte每年）。至2012年为止，它的附属电脑设施，全球大型强子对撞机计算网格（Worldwide LHC Computing Grid）已处理了超过三百万亿（3×1014）个碰撞事件。这是全球最大的计算网格，隶属于它的170个电算设施，散布在36国家，是以分布式计算的模式连结在一起。[64][65]
2012年7月4日以前的探索[编辑]
最早大规模搜寻希子的实验设施是欧洲核子研究组织的大型正负电子对撞机，它在1990年代开始运作，直到2000年为止，但它并没有找到希子的确切存在证据，这是因为它的专长是精密测量粒子的性质。[注 10]根据大型正负电子对撞机所收集到的数据，标准模型希子的质量下限被设定为114.4 GeV，置信水平95%。[注 11]这意味着假若希子存在，则它应该会重于114.4 GeV/c2。[66]
费米实验室的兆电子伏特加速器继承了先前搜寻希子的任务。1995年，它发现了顶夸克。为了搜寻希子，设施的功能被大大提升，但这并不能保证兆电子伏特加速器会发现希子。在那时期，它是唯一正在运作中的超级对撞机，大型强子对撞机正在建造，超导超大型加速器计划已于1993年取消。历经多年运作，兆电子伏特加速器只能对于更进一步排除希子质量值域做出贡献，由于能量与亮度无法与建成的大型强子对撞机竞争，于2011年9月30日除役。从分析获得的实验数据，兆电子伏特加速器团队排除希子的质量在100-103 GeV、147-180 GeV以内，置信水平95%。在能量115–140 GeV之间区域，超额事件的统计显著性为2.5个标准差，这对应于在550次事件中，有一次事件是归咎于统计涨落。这结果仍旧未能达到5个标准差，因此不能够作定论。[67][68]
欧洲核子研究组织的大型强子对撞机（LHC）的设计目标之一为能够确认或排除希子的存在。在瑞士日内瓦附近乡村的地底下，圆周为27 km的坑道里，两个质子束相撞在一起，最初以3.5 TeV每质子束（总共7 TeV），大约为兆电子伏特加速器的3.6倍，未来还可提升至2 × 7 TeV（总共14 TeV）。根据标准模型，假若希子存在，则这么高能量的碰撞应该能够将它揭露出来。[69]这是史上最复杂的科学设施之一。在开启测试后仅仅九天，由于磁铁与磁铁之间电接连缺陷，发生磁体失超事件，造成50多个超导磁铁被毁坏、真空系统被污染，整个运作被迫延迟了14个月，直到2009年11月才再度重新运作 。[注 12][70] [71]
2010年3月，LHC开始紧锣密鼓地进行数据搜集与分析。[72]2011年12月，LHC的两个主要粒子侦测器，超环面仪器（ATLAS）和紧凑μ子线圈（CMS）的实验团队，已将希子的可能质量值域缩小至115-130 GeV（ATLAS）与117-127 GeV （CMS）。另外，ATLAS在质量范围125-126 GeV侦测到超额事件，统计显著性为3.6个标准差，CMS在质量范围124 GeV侦测到超额事件，统计显著性为2.6个标准差。[73]由于统计显著性并不够大，尚无法做结论或甚至正式当作一个观察事件。但是，两个侦测器都独立地在同样质量附近检测出超额事件，这事实使得粒子物理社团极其振奋，[74]期望能够在检验完毕2012年的碰撞数据之后，于明年年底排除或确认标准模型希子的存在。CMS团队发言人吉多·桐迺立（Guido Tonelli）表示：“统计显著性不够大，无法做定论。直到今天为止，我们所看到的与背景涨落或与玻色子存在相符合。更仔细的分析与这精心打造的巨环在2012年所贡献出的更多数据必定会给出一个答案。”[75]
发现新玻色子[编辑]
  |
| 费曼图展示，被紧凑μ子线圈侦测到的低质量（～125GeV）可能候选希子的最干净制成与衰变道。对于这质量，最主要制成机制是胶子聚变──两个胶子经由一个夸克圈聚变成希子。 左图是“双光子道”：希子经由一个夸克圈衰变为两个光子。 右图是“四轻子道”：希子衰变为两个Z玻色子，每一个Z玻色子又轻子衰变为一个轻子与一个反轻子（电子或μ子）。 对于这些衰变道所做的分析达到统计显著性为5个标准差，若加上规范玻色子聚变道，则分析达到统计显著性为4.9个标准差。[4][76] |
7月4日，欧洲核子研究组织举行专题讨论会与新闻发布会宣布，紧凑μ子线圈发现质量为125.3±0.6 GeV的新玻色子，标准差为4.9；[4][76]超环面仪器发现质量为126.5GeV的新玻色子标准差为4.6。[6][81]物理学者认为这两个粒子可能就是希子。欧洲核子研究组织的所长说：“从一个外行人的角度来说，我们已经发现希子了；但从一个内行人的角度来说，我们还需要更多的数据。”[15]
一旦将其它种类的紧凑μ子线圈相互作用纳入计算，[4]这两个实验达到局部统计显著性5个标准差──错误概率低于百万分之一。在新闻发布之前很长一段时间，两个团队彼此之间不能互通讯息，这样才能确保每一个团队得到的结果不会受到另一个团队的影响而发生任何偏差，这也可以让两个团队各自独立得到的研究结果可以彼此相互核对。[82]
如此规格的证据，通过两个被隔离团队与实验的独立确定，已达到确定发现所需要的正式标准。欧洲核子研究组织的治学态度非常严谨，不愿意引人非议；欧洲核子研究组织表明，新发现的粒子与希子相符，但是物理学者尚未明确地认定这粒子就是希子，仍旧需要更进一步搜集与分析数据才能够做定论。[15] 换句话说，从实验观测显示，新发现的玻色子可能是希子，很多物理学者都认为非常可能是希子，现在已经证实有一个新粒子存在，但仍旧需要更进一步研究这粒子，必需排除这粒子或许不是希子的任何可疑之处。
7月31日，欧洲核子研究组织的紧凑μ子线圈小组和超环面仪器小组分别提交了新的侦测结果的论文，将这种疑似希子的粒子的质量确定为紧凑μ子线圈的125.3 GeV（统计误差：±0.4、系统误差：±0.5、统计显著性：5.8个标准差）[3]和超环面仪器的126.0 GeV（统计误差：±0.4、系统误差：±0.4、统计显著性：5.9个标准差）。[5]
2013年3月14日，欧洲核子研究组织发布新闻稿表示，先前探测到的新粒子是希子。[1][2]
确认希子[编辑]
在超环面仪器里，4-μ子候选事件示意图。
在紧凑μ子线圈侦测器里，从质心能量为8 TeV的质子-质子碰撞事件记录数据制作出的三维绘景图。
2013年3月14日，欧洲核子研究组织公开确认：
"紧凑μ子线圈小组与超环面仪器小组已对这粒子所拥有的自旋、宇称可能会产生的状况仔细分析比较，这些都指向零自旋与偶宇称（符合标准模型的两个对于希子的基要判据）。这事实，再加上测量到的新粒子与其它粒子彼此之间的相互作用，强烈显示这就是希子。[2]
这也是第一个被发现的基本标量粒子（en:scalar particle）。[注 13][83]以下列出几个检试这125GeV粒子是否为希子的实验项目：[84][85]
- 玻色子：只有玻色子才能够衰变为两个光子。从实验已观常到这125GeV粒子能够衰变为两个光子，因此，这粒子是玻色子。[22]
- 零自旋：这可以从检验衰变模式证实。在初始发现之时，观察到125GeV粒子衰变为两个光子，根据对称性定律，可以排除自旋为1，剩下两个候选自旋为0或2。这决定于衰变产物的运动轨道是否有嗜好方向，假若没有，则自旋为0，否则，自旋为2。2013年3月，125GeV粒子的自旋正式确认为0。[2][22]
- 偶宇称或正宇称：研究衰变产物运动轨道的角度，可以查得到底是偶宇称还是奇宇称。有些理论主张，可能存在有膺标量（pseudoscalar ）希子，这种粒子拥有奇宇称。2013年3月，125GeV粒子的宇称暂时确认为0。[86][2]
- 衰变道：标准模型已对希子的衰变模式给出详细预测，这包括双光子道、 道、 道、
道、
道。LHC已于2013年观察到双光子道、 道、 道，证实希格斯场可以与玻色子相互作用。[87]LHC又于2014年观察到其它两种模式 道、 道，证实希格斯场可以与费米子相互作用。这意味着希子不只是衰变至传递作用力的玻色子，它还衰变至组成物质的费米子。[88]对于这些模式，实验初始得到的分支比（branching ratio）或衰变率结果稍微高过预期值，意味着这粒子的物理行为可能更为怪异，但是，CMS团队领导约瑟·英侃德拉（Joseph Incandela）认为，这分歧并不严峻。[22][89] - 与质量相耦合：希子必须能够通过希格斯场与质量相耦合，也就是说，与W玻色子、Z玻色子相耦合。对于标准模型希子而言，所涉及的耦合常数
。从分析LHC实验得到的数据， 
在标准模型数值的 15%内，置信水平95%。[85][90][注 14] - 高能量碰撞结果仍旧与先前一致：在大型强子对撞机2015年重新开启之后，碰撞能量将达到设计的13 – 14 TeV，未来实验将专注于寻找其它种类的希子（如同某些理论预测）与检试其它版本的粒子理论，实验获得的高能量结果必须与希格斯理论一致。[91]
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 01:12
[ltr]“上帝粒子”[size=13][编辑]
美国物理学家、1988年诺贝尔物理学奖获得者利昂·莱德曼曾著有粒子物理方面的科普书籍《上帝粒子：如果宇宙是答案，那么问题是什么？》，[21][92]后来媒体也沿用了这一称呼，常常将希子称作是“上帝粒子”（The God Particle）。[93]这一称呼激起了公众媒体对于希子的关注和兴趣。[92]莱德曼说他以“上帝粒子”为这粒子命名是因为这粒子“在当今物理学中处于极为中心的位置，对我们理解物质的结构极为关键、也极为难以捉摸”。[93][21][94]不过他也开玩笑地补充说另一个原因是“图书出版商不让他把这粒子称作‘该死的粒子（Goddamn Particle）’，尽管这别称可能更恰当地表达了希子杳无踪迹的性质以及人们为之所付出的代价与遭受到的挫折感。”[21][95] 然而，许多科学家却不喜欢这一称呼，因为它过分强调了这粒子的重要性和太宗教化。而且即使这粒子被发现，物理学者仍旧无法回答一些关于强相互作用、电弱相互作用、引力相互作用的统一化问题，以及宇宙的起源问题；[93]希格斯本人是无神论学者。
2009年，英国的《卫报》展开了一次关于希子重命名的竞赛，并最终从提交的命名中选择了“香槟酒瓶玻色子”（champagne bottle boson）作为最佳命名。“香槟酒瓶的瓶底正好是希格斯势的形状，而且它常常在物理讲座中被用来作为图解。因此它绝非胡乱编造的名字，而是便于记忆、与物理实际相关的名字。”[96]
在CERN的实验组工作的计昊爽是第一位计算出上帝粒子存在的物理学者，也是该实验组里关于上帝粒子论文的牵头人，2008年毕业于中国科技大学物理学院，之后，到美国威斯康辛大学攻读博士，美籍华人吴秀兰教授是他的指导老师。吴秀兰教授对于三个诺贝尔奖级的研究项目贡献良多，它们分别是J/Psi 粒子（当时她是丁肇中组的博士后，后来丁肇中因此获得诺贝尔物理奖）、胶子与上帝粒子。[97]
参见[编辑][/ltr][/size]
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注释[编辑][/ltr]
美国物理学家、1988年诺贝尔物理学奖获得者利昂·莱德曼曾著有粒子物理方面的科普书籍《上帝粒子：如果宇宙是答案，那么问题是什么？》，[21][92]后来媒体也沿用了这一称呼，常常将希子称作是“上帝粒子”（The God Particle）。[93]这一称呼激起了公众媒体对于希子的关注和兴趣。[92]莱德曼说他以“上帝粒子”为这粒子命名是因为这粒子“在当今物理学中处于极为中心的位置，对我们理解物质的结构极为关键、也极为难以捉摸”。[93][21][94]不过他也开玩笑地补充说另一个原因是“图书出版商不让他把这粒子称作‘该死的粒子（Goddamn Particle）’，尽管这别称可能更恰当地表达了希子杳无踪迹的性质以及人们为之所付出的代价与遭受到的挫折感。”[21][95] 然而，许多科学家却不喜欢这一称呼，因为它过分强调了这粒子的重要性和太宗教化。而且即使这粒子被发现，物理学者仍旧无法回答一些关于强相互作用、电弱相互作用、引力相互作用的统一化问题，以及宇宙的起源问题；[93]希格斯本人是无神论学者。
2009年，英国的《卫报》展开了一次关于希子重命名的竞赛，并最终从提交的命名中选择了“香槟酒瓶玻色子”（champagne bottle boson）作为最佳命名。“香槟酒瓶的瓶底正好是希格斯势的形状，而且它常常在物理讲座中被用来作为图解。因此它绝非胡乱编造的名字，而是便于记忆、与物理实际相关的名字。”[96]
在CERN的实验组工作的计昊爽是第一位计算出上帝粒子存在的物理学者，也是该实验组里关于上帝粒子论文的牵头人，2008年毕业于中国科技大学物理学院，之后，到美国威斯康辛大学攻读博士，美籍华人吴秀兰教授是他的指导老师。吴秀兰教授对于三个诺贝尔奖级的研究项目贡献良多，它们分别是J/Psi 粒子（当时她是丁肇中组的博士后，后来丁肇中因此获得诺贝尔物理奖）、胶子与上帝粒子。[97]
参见[编辑][/ltr][/size]
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注释[编辑][/ltr]
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 根据量子场论，所有万物都是由量子场形成或组成，而每一种基本粒子则是其对应量子场的微小振动，就如同光子是电磁场的微小振动，夸克是夸克场的微小振动，电子是电子场的微小振动，引力子是引力场的微小振动等等。[20]:32-33
- ^ 术语“玻色子”是为了纪念印度物理学者萨特延德拉·玻色而命名。玻色子的自旋为整数，其物理行为可以用玻色-爱因斯坦统计描述，不遵守泡利不相容原理，即处于单独一个量子态上的粒子数目不受限制。
- ^ 3.0 3.1 在标准模型里，W玻色子与Z玻色子借着应用希格斯机制于希格斯场而获得质量，费米子借着应用希格斯机制于希格斯场与费米子场的汤川耦合而获得质量。只有希格斯玻色子不倚赖希格斯机制获得质量。不过尽管希格斯机制已被证实，它仍旧不能给出所有质量，而只能将质量赋予某些基本粒子。例如，像质子、中子一类复合粒子的质量，只有约1%是归因于将质量赋予夸克的希格斯机制，剩余约99%是夸克的动能与强相互作用的零质量胶子的能量。[18]
- ^ 电弱对称性被希格斯场的最低能量态打破，称为其基态。更高的能量态不会允许这状况发生，因此规范玻色子的质量应该是零。
- ^ 作用力的有效距离与传递粒子的质量成反比。[19]在标准模型里，作用力倚赖虚粒子完成传递的动作。这些虚粒子的运动与彼此之间的相互作用被能量时间不确定性原理所限制。因此，虚粒子的质量越大，能量也越大，则存活时间越短，移动距离也越短。虚粒子的质量决定了它与其它粒子相互作用的最远距离，也决定了它所传递的作用力的距离。基于同样的理由，零质量或几乎零质量的粒子可以传递长程力。既然实验证实，弱作用力是短程力，这意味着涉及的规范玻色子必带有大质量。这大质量结论已被实验测量证实。
- ^ 6.0 6.1 搭建于希格斯机制上的电弱理论与标准模型极为成功，这可以从检验它们对于W玻色子与Z玻色子质量的预测而得知：W玻色子质量预测为80.390 ± 0.018 GeV，测量为80.387 ± 0.019 GeV，Z玻色子质量预测为91.1874 ± 0.0021，测量为91.1876 ± 0.0021 GeV。对于Z玻色子存在的理论预测也被实验证实。理论给出的其它预测，包括弱中性流、胶子、顶夸克、粲夸克，它们的存在都已经过严格实验核试。
- ^ 7.0 7.1 物理学者估计，制成希子的或然率非常微小，在每1010次碰撞中，大约只会制成1个希子。这估算假设大型强子对撞机运作的质心能量为7TeV。制成希子的总截面为10 皮靶，[53]而质子－质子碰撞的总截面为110毫靶。[56]
- ^ 假设希子的质量为126 GeV，则其总衰变宽度为4.21×10−3 GeV。平均寿命
与衰变宽度 
的关系为 
；其中， 
是约化普朗克常数。 - ^ 上型夸克带有电荷+2⁄3，上夸克、粲夸克、顶夸克都是上型夸克；下型夸克带有电荷−1⁄3，下夸克、奇夸克、底夸克都是下型夸克。
- ^ 月球绕着地球公转时，它的引力所造成的潮汐现象，会使得LEP粒子轨道的总长度（~27km）每天延伸或收缩达1mm，这么微小的差异也能够被LEP够测量得到。[20]:63
- ^ 就在大型正负电子对撞机准备关机之前，曾经侦测到一些特别值得注意的超额事件，但由于事件数量不够，主管单位并没有将其除役时间延后，因为这会耽搁大型强子对撞机的建造。
- ^ 磁体失超指的是，由于超导磁铁的局部过热，失去超导性质。假若发生磁体失超，电阻可能会重新出现，因此引起焦耳加热（Joule heating），热能快速蔓延至整个磁铁，使得磁铁周围的冷却剂开始沸腾。
- ^ 标量粒子是一种自旋为零的粒子，这术语出自量子场论，指的是对于洛伦兹变换的某种变换性质
- ^ 取至最低阶，希子与W玻色子、Z玻色子之间的耦合拉格朗日量为[85][90]
；其中， 是耦合常数，
是希子，
是希格斯场真空期望值，
是W玻色子质量，
是W玻色子，
是Z玻色子质量，
是Z玻色子。
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 01:15
希格斯机制[编辑]
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在标准模型里，希格斯机制（英语：Higgs mechanism）是一种生成质量的机制，能够使基本粒子获得质量。为什么费米子、W玻色子、Z玻色子具有质量，而光子、胶子的质量为零？[1]:361-368希格斯机制可以解释这问题。希格斯机制应用自发对称性破缺来赋予规范玻色子质量。在所有可以赋予规范玻色子质量，而同时又遵守规范理论的可能机制中，这是最简单的机制。[1]:378-381根据希格斯机制，希格斯场遍布于宇宙，有些基本粒子因为与希格斯场之间相互作用而获得质量。
更仔细地解释，在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定规范玻色子的质量为零。由于希格斯场的真空期望值不等于零，[注 1]造成自发对称性破缺，因此规范玻色子会获得质量，同时生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子，而希格斯玻色子则是伴随着希格斯场的粒子，是希格斯场的振动。通过选择适当的规范，戈德斯通玻色子会被抵销，只存留带质量希格斯玻色子与带质量规范矢量场。[注 2][1]:378-381
费米子也是因为与希格斯场相互作用而获得质量，但它们获得质量的方式不同于W玻色子、Z玻色子的方式。在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定费米子的质量为零。通过汤川耦合，费米子也可以因为自发对称性破缺而获得质量。[3]:689ff
本条目的数学表述内容需要读者了解一些量子场论的知识。所有方程都遵守爱因斯坦求合约定。按照粒子物理学惯例，采用CGS单位制为物理量的单位，并且设定光速与约化普朗克常数的数值为
。
[/ltr][/size]
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历史[编辑]
1964年，分别有三组研究小组几乎同时地独立研究出希格斯机制，其中，一组为弗朗索瓦·恩格勒和罗伯特·布绕特，[4]另一组为彼得·希格斯，[5]第三组为杰拉德·古拉尼、卡尔·哈庚和汤姆·基博尔。[6]古拉尼于1965年、[7]希格斯于1966年[8]又各自更进一步发表论文探讨这模型的性质。这些论文表明，假若将规范不变性理论与自发对称性破缺的概念以某种特别方式连结在一起，则规范玻色子必然会获得质量。1967年，史蒂文·温伯格与阿卜杜勒·萨拉姆首先应用希格斯机制来打破电弱对称性，并且表述希格斯机制怎样能够并入稍后成为标准模型一部分的谢尔登·格拉肖的电弱理论。[9][10][11]
六位物理学者分别发表的三篇论文，在《物理评论快报》50周年庆祝文献里被公认为里程碑论文。[12]2010年，他们又荣获理论粒子物理学樱井奖。[13]
因为“次原子粒子质量的生成机制理论，促进了人类对这方面的理解，并且最近由欧洲核子研究组织属下大型强子对撞机的超环面仪器及紧凑μ子线圈探测器发现的基本粒子证实”，恩格勒、希格斯荣获2013年诺贝尔物理学奖。[14]
U(1)希格斯机制[编辑]
U(1)希格斯机制是一种很简单的赋予质量的机制，适用于U(1)规范场论。U(1)规范场论的规范变换是相位变换： ；其中， 是复值希格斯场， 是相位。这种变换是U(1)变换，所涉及的是阿贝尔群，因此是一种“阿贝尔希格斯机制”。
假定遍布于宇宙的希格斯场是由两个实函数
、
组成的复值标量场 ：
；
其中，
是四维坐标。
对于这自旋为零、质量为
、势能为 的标量场，克莱因-戈尔登拉格朗日量 为[3]:16-17
。
暂时假设质量项目不存在，则克莱因-戈尔登拉格朗日量的形式变为
；
其中，
是四维导数算子。
这是个波动方程，可以用来描述电磁波处于位势的物理行为。从这方程，似乎找不到任何质量的蛛丝马迹，但是假若将势能泰勒展开于
：
。
注意到
、
、
都是常数。在这展开式里，可以隐约地观察到质量项目的形式 
。
局域规范不变性[编辑]
主条目：规范场论
对于全域相位变换 ，由于相位 是常数，拉格朗日量 具有全域规范不变性：
。
但是，假设 是变量，随着时空坐标不同而改变：
；
其中，
是电荷。
则为了要满足局域规范不变性，必须将 的偏导数 
改换为协变导数 
[3]:691
；
其中，
是规范矢量场。
当做局域相位变换时，规范矢量场 变换为
。
这样，对于局域相位变换，拉格朗日量 具有不变性：
。
为了要满足规范场论的局域规范不变性，必须添加规范矢量场 ，连带地也要添加规范矢量场自由传播时的普罗卡拉格朗日量（Proca Lagrangian）：
；
其中，
。
注意到
满足局域规范不变性，但是 
无法满足局域规范不变性，因此必须设定质量 
。一般而言，为了满足局域规范不变性，所有规范玻色子的质量都必须设定为零。对于传递电磁相互作用的光子与传递强相互作用的胶子，它们都是零质量规范玻色子，所以这理论结果与它们的性质相符合。但是对于传递弱相互作用的W玻色子与Z玻色子，这两种规范玻色子的质量分别为80Gev、91Gev！这理论结果与实验结果有天壤之别。这显露出规范理论对于这论题的严重不足，希格斯机制可以弥补这不足。
总结，表达为以下形式的拉格朗日量 满足局域规范不变性：
。
自发对称性破缺[编辑]
主条目：自发对称性破缺
量子力学的真空与一般认知的真空不同。在量子力学里，真空并不是全无一物的空间，虚粒子会持续地随机生成或湮灭于空间的任意位置，这会造成奥妙的量子效应。将这些量子效应纳入考量之后，空间的最低能量态，是在所有能量态之中，能量最低的能量态，不具有额外能量来制造粒子，又称为基态或“真空态”。最低能量态的空间才是量子力学的真空。[15]
设想某种对称群变换，只能将最低能量态变换为自己，则称最低能量态对于这种变换具有“不变性”，即最低能量态具有这种对称性。尽管一个物理系统的拉格朗日量对于某种对称群变换具有不变性，并不意味着它的最低能量态对于这种对称群变换也具有不变性。假若拉格朗日量与最低能量态都具有同样的不变性，则称这物理系统对于这种变换具有“外显的对称性”；假若只有拉格朗日量具有不变性，而最低能量态不具有不变性，则称这物理系统的对称性被自发打破，或者称这物理系统的对称性被隐藏，这现象称为“自发对称性破缺”。[16]:116-117
[/ltr][/size]
墨西哥帽势能函数的电脑绘图，对于绕着帽子中心轴的旋转，帽顶具有旋转对称性，帽子谷底的任意位置不具有旋转对称性，在帽子谷底的任意位置会出现对称性破缺。[size][ltr]
如右图所示，假设在墨西哥帽（sombrero）的帽顶有一个圆球。这个圆球是处于旋转对称性状态，对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置不变。这圆球也处于局部最大引力势的状态，极不稳定，稍加微扰，就可以促使圆球滚落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力势位置，使得旋转对称性被打破。尽管这圆球在帽子谷底的所有可能位置因旋转对称性而相互关联，圆球实际实现的帽子谷底位置不具有旋转对称性──对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置会改变。[17]:203在帽子谷底有无穷多个不同、简并的最低能量态，都具有同样的最低能量。对于绕着帽子中心轴的旋转，会将圆球所处的最低能量态变换至另一个不同的最低能量态，除非旋转角度为360°的整数倍数，所以，圆球的最低能量态对于旋转变换不具有不变性，即不具有旋转对称性。总结，这物理系统的拉格朗日量具有旋转对称性，但最低能量态不具有旋转对称性，因此出现自发对称性破缺现象。[17]:203
外显的对称性案例[编辑]
假定希格斯势的形式为
；
其中， 、 都是正值常数。
则这物理系统只有一个最低能量态，其希格斯场为零（
）
对于这自旋为零、质量为零、势能为 的标量场 ，克莱因-戈尔登拉格朗日量 为[3]:16-17
。
注意到这拉格朗日量的第一个项目是动能项目。
由于拉格朗日量对于局域相位变换 具有不变性，而最低能量态对于局域相位变换也具有不变性：
，
所以，这物理系统对于局域相位变换具有外显的对称性。[/ltr][/size]
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在标准模型里，希格斯机制（英语：Higgs mechanism）是一种生成质量的机制，能够使基本粒子获得质量。为什么费米子、W玻色子、Z玻色子具有质量，而光子、胶子的质量为零？[1]:361-368希格斯机制可以解释这问题。希格斯机制应用自发对称性破缺来赋予规范玻色子质量。在所有可以赋予规范玻色子质量，而同时又遵守规范理论的可能机制中，这是最简单的机制。[1]:378-381根据希格斯机制，希格斯场遍布于宇宙，有些基本粒子因为与希格斯场之间相互作用而获得质量。
更仔细地解释，在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定规范玻色子的质量为零。由于希格斯场的真空期望值不等于零，[注 1]造成自发对称性破缺，因此规范玻色子会获得质量，同时生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子，而希格斯玻色子则是伴随着希格斯场的粒子，是希格斯场的振动。通过选择适当的规范，戈德斯通玻色子会被抵销，只存留带质量希格斯玻色子与带质量规范矢量场。[注 2][1]:378-381
费米子也是因为与希格斯场相互作用而获得质量，但它们获得质量的方式不同于W玻色子、Z玻色子的方式。在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定费米子的质量为零。通过汤川耦合，费米子也可以因为自发对称性破缺而获得质量。[3]:689ff
本条目的数学表述内容需要读者了解一些量子场论的知识。所有方程都遵守爱因斯坦求合约定。按照粒子物理学惯例，采用CGS单位制为物理量的单位，并且设定光速与约化普朗克常数的数值为
。[/ltr][/size]
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历史[编辑]
1964年，分别有三组研究小组几乎同时地独立研究出希格斯机制，其中，一组为弗朗索瓦·恩格勒和罗伯特·布绕特，[4]另一组为彼得·希格斯，[5]第三组为杰拉德·古拉尼、卡尔·哈庚和汤姆·基博尔。[6]古拉尼于1965年、[7]希格斯于1966年[8]又各自更进一步发表论文探讨这模型的性质。这些论文表明，假若将规范不变性理论与自发对称性破缺的概念以某种特别方式连结在一起，则规范玻色子必然会获得质量。1967年，史蒂文·温伯格与阿卜杜勒·萨拉姆首先应用希格斯机制来打破电弱对称性，并且表述希格斯机制怎样能够并入稍后成为标准模型一部分的谢尔登·格拉肖的电弱理论。[9][10][11]
六位物理学者分别发表的三篇论文，在《物理评论快报》50周年庆祝文献里被公认为里程碑论文。[12]2010年，他们又荣获理论粒子物理学樱井奖。[13]
因为“次原子粒子质量的生成机制理论，促进了人类对这方面的理解，并且最近由欧洲核子研究组织属下大型强子对撞机的超环面仪器及紧凑μ子线圈探测器发现的基本粒子证实”，恩格勒、希格斯荣获2013年诺贝尔物理学奖。[14]
U(1)希格斯机制[编辑]
U(1)希格斯机制是一种很简单的赋予质量的机制，适用于U(1)规范场论。U(1)规范场论的规范变换是相位变换：
；其中， 是复值希格斯场， 是相位。这种变换是U(1)变换，所涉及的是阿贝尔群，因此是一种“阿贝尔希格斯机制”。假定遍布于宇宙的希格斯场是由两个实函数
、 组成的复值标量场 ： ；其中，
是四维坐标。对于这自旋为零、质量为
、势能为 的标量场，克莱因-戈尔登拉格朗日量 为[3]:16-17 。暂时假设质量项目不存在，则克莱因-戈尔登拉格朗日量的形式变为
；其中，
是四维导数算子。这是个波动方程，可以用来描述电磁波处于位势的物理行为。从这方程，似乎找不到任何质量的蛛丝马迹，但是假若将势能泰勒展开于
： 。注意到
、 、 都是常数。在这展开式里，可以隐约地观察到质量项目的形式 。局域规范不变性[编辑]
主条目：规范场论
对于全域相位变换
，由于相位 是常数，拉格朗日量 具有全域规范不变性： 。但是，假设
是变量，随着时空坐标不同而改变： ；其中，
是电荷。则为了要满足局域规范不变性，必须将
的偏导数 改换为协变导数 [3]:691 ；其中，
是规范矢量场。当做局域相位变换时，规范矢量场
变换为 。这样，对于局域相位变换，拉格朗日量
具有不变性：。为了要满足规范场论的局域规范不变性，必须添加规范矢量场
，连带地也要添加规范矢量场自由传播时的普罗卡拉格朗日量（Proca Lagrangian）： ；其中，
。注意到
满足局域规范不变性，但是 无法满足局域规范不变性，因此必须设定质量 。一般而言，为了满足局域规范不变性，所有规范玻色子的质量都必须设定为零。对于传递电磁相互作用的光子与传递强相互作用的胶子，它们都是零质量规范玻色子，所以这理论结果与它们的性质相符合。但是对于传递弱相互作用的W玻色子与Z玻色子，这两种规范玻色子的质量分别为80Gev、91Gev！这理论结果与实验结果有天壤之别。这显露出规范理论对于这论题的严重不足，希格斯机制可以弥补这不足。总结，表达为以下形式的拉格朗日量
满足局域规范不变性： 。自发对称性破缺[编辑]
主条目：自发对称性破缺
量子力学的真空与一般认知的真空不同。在量子力学里，真空并不是全无一物的空间，虚粒子会持续地随机生成或湮灭于空间的任意位置，这会造成奥妙的量子效应。将这些量子效应纳入考量之后，空间的最低能量态，是在所有能量态之中，能量最低的能量态，不具有额外能量来制造粒子，又称为基态或“真空态”。最低能量态的空间才是量子力学的真空。[15]
设想某种对称群变换，只能将最低能量态变换为自己，则称最低能量态对于这种变换具有“不变性”，即最低能量态具有这种对称性。尽管一个物理系统的拉格朗日量对于某种对称群变换具有不变性，并不意味着它的最低能量态对于这种对称群变换也具有不变性。假若拉格朗日量与最低能量态都具有同样的不变性，则称这物理系统对于这种变换具有“外显的对称性”；假若只有拉格朗日量具有不变性，而最低能量态不具有不变性，则称这物理系统的对称性被自发打破，或者称这物理系统的对称性被隐藏，这现象称为“自发对称性破缺”。[16]:116-117
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墨西哥帽势能函数的电脑绘图，对于绕着帽子中心轴的旋转，帽顶具有旋转对称性，帽子谷底的任意位置不具有旋转对称性，在帽子谷底的任意位置会出现对称性破缺。
如右图所示，假设在墨西哥帽（sombrero）的帽顶有一个圆球。这个圆球是处于旋转对称性状态，对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置不变。这圆球也处于局部最大引力势的状态，极不稳定，稍加微扰，就可以促使圆球滚落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力势位置，使得旋转对称性被打破。尽管这圆球在帽子谷底的所有可能位置因旋转对称性而相互关联，圆球实际实现的帽子谷底位置不具有旋转对称性──对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置会改变。[17]:203在帽子谷底有无穷多个不同、简并的最低能量态，都具有同样的最低能量。对于绕着帽子中心轴的旋转，会将圆球所处的最低能量态变换至另一个不同的最低能量态，除非旋转角度为360°的整数倍数，所以，圆球的最低能量态对于旋转变换不具有不变性，即不具有旋转对称性。总结，这物理系统的拉格朗日量具有旋转对称性，但最低能量态不具有旋转对称性，因此出现自发对称性破缺现象。[17]:203
外显的对称性案例[编辑]
假定希格斯势的形式为
；其中，
、 都是正值常数。则这物理系统只有一个最低能量态，其希格斯场为零（
）对于这自旋为零、质量为零、势能为
的标量场 ，克莱因-戈尔登拉格朗日量 为[3]:16-17 。注意到这拉格朗日量的第一个项目是动能项目。
由于拉格朗日量对于局域相位变换
具有不变性，而最低能量态对于局域相位变换也具有不变性： ，所以，这物理系统对于局域相位变换具有外显的对称性。[/ltr][/size]
一星- 帖子数 : 3787
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 01:16
自发对称性破缺案例[编辑]
假定希格斯势的形式为
；
其中， 、 都是正值常数。
如墨西哥帽绘图所示，这势能的猜想形状好似一顶墨西哥帽。希格斯势与拉格朗日量在 、 空间具有旋转对称性。位于z-坐标轴的帽顶为希格斯势的局域最大值，其复值希格斯场为零（），但这不是最低能量态；在帽子的谷底有无穷多个简并的最低能量态。从无穷多个简并的最低能量态中，物理系统只能实现出一个最低能量态，标记这最低能量态为 。这物理系统的拉格朗日量对于局域相位变换 具有不变性，即在 、 空间具有旋转对称性，而最低能量态 对于局域相位变换不具有不变性：
，
通常， 不等于 ，除非角弧 是 的整数倍数。所以，这物理系统对于局域相位变换的对称性被自发打破。
以数学来表述，最低能量态处于势能的最低值，对应的希格斯场真空期望绝对值
可以从势能的公式求得：
。
所以，希格斯场的真空期望绝对值 为
。
为了简化表达式，设定常数
。对于这物理系统，存在有无穷多最低能量态，这些最低能量态在 -复平面形成一个半径为 
的圆圈。物理系统的状态只能实现出一个最低能量态，称这最低能量态的位置为希格斯场的真空期望值。不影响论述的一般性，选择真空期望值 
为
。
这动作打破了其在 、 空间的旋转对称性。设定两个实函数 
、
来标纪对于最低能量态的涨落所产生的量子场：
。
在量子场论里，这些涨落的量子场可以诠释为真实的粒子。将量子场的公式代入拉格朗日量，
。
经过一番计算，取至
的二次方，可以得到新形式
。
仔细分析 的新形式。前两个项目是标量场 的动能项目 
与质量项目 
[注 3] ，这标量场 即是质量为 
的希格斯玻色子，是希格斯场对于最低能量态在径向方面的涨落。第三个项目是标量场 的自由拉格朗日量，它没有质量项目，这标量场 即是零质量的戈德斯通玻色子。第四个、第五个项目是规范矢量场 的自由拉格朗日量 
与质量项目 
，这规范矢量场 是质量为 
的规范玻色子。剩下的 
代表这几个量子场彼此之间相互作用，在这里不多做说明。
按照这结果，应该可以从做实验证实戈德斯通玻色子存在。带质量粒子比较难制成，粒子加速器必须使用很高的能量来碰撞制成带质量粒子。零质量粒子案例跟重质量粒子案例不同，零质量粒子很容易制成，或者可从缺失能量或动量推测其存在。然而，事实并非如此，物理学者无法找到其存在的任何蛛丝马迹。[1]:378-381这意味着理论可能有瑕疵。希格斯机制可以处理这瑕疵。
回想先前的局域相位变换 ，这变换并没有设定相位 。假若设定相位 可以让戈德斯通玻色子消失无踪，则问题就可迎刃而解。仔细观察这变换的公式，
。
只要设定
，就可以除去希格斯场 
的虚部 
，拉格朗日量变为
。
总括而言，从自发对称性破缺，可以赋予规范玻色子质量，但也生成了不符合实际物理的戈德斯通玻色子，选择正确的规范，可以清除戈德斯通玻色子，这就是希格斯机制。[1]:378-381
SU(2)×U(1)希格斯机制[编辑]
在标准模型里，SU(2)×U(1)希格斯机制是最简单的一种赋予质量的机制，适用于电弱相互作用的SU(2)×U(1)规范场论。采用这种机制的标准模型称为最小标准模型（minimal standard model）。在这模型里，希格斯场是复值二重态：
；
其中， 、 、
、
都是实函数。
这种希格斯场是由两个复值标量场，或四个实值标量场组成，其中，两个带有电荷，两个是中性。在这模型里，还有四个零质量规范玻色子，都是横场，如同光子一样，具有两个自由度。总合起来，一共有十二个自由度。自发对称性破缺之后，一共有三个规范玻色子会获得质量、同时各自添加一个纵场，总共有九个自由度，另外还有一个具有两个自由度的零质量规范玻色子，剩下的一个自由度是带质量的希格斯玻色子。三个带质量规范玻色子分别是W+、W-和Z玻色子。零质量规范玻色子是光子。[18]:1-3[3]:700-703
标准模型[编辑]
主条目：标准模型
在标准模型里，假若温度足够高，物理系统的电弱对称性没有被打破，则所有基本粒子都不具有质量。当温度降到低于临界温度，希格斯场会变得不稳定，会跃迁至最低能量态，即量子力学的真空，整个物理系统的连续对称性因此被自发打破，W玻色子、Z玻色子、费米子也因此会获得质量。
局域规范不变性[编辑]
SU(2)×U(1)规范场论的规范变换形式为：
；
其中，
是变换矩阵，
是参数为时空坐标 
的矢量函数，
是三个泡利矩阵 
、
、
共同组成的矩阵矢量。
由于三个泡利矩阵彼此之间不能对易，SU(2)是非阿贝尔群，这机制是“非阿贝尔希格斯机制”。
指数函数
的参数是一个矩阵：
。
这指数函数等于
；
其中，
是单位矩阵，
是 
的数值大小，
是单位矢量。
为了要满足局域规范不变性，必须将 的偏导数 改换为协变导数 [3]:701
；
其中，
、
都是耦合常数，
、
分别是SU(2)规范矢量场、U(1)规范矢量场。
这些规范矢量场的局域相位变换为
、
。
由于这些额外的规范矢量场，又必须添加对应的自由拉格朗日量：
；
其中，
是场强张量，
是由三个场强张量 
、
、
组成的矢量。
总结，表达为以下形式的拉格朗日量 满足局域规范不变性：
；
其中，标号
表示取埃尔米特伴随。
自发对称性破缺[编辑]
假定势能的形式为
，
最低能量态处于势能的最低值，对应的希格斯场满足关系式
。
对于这物理系统，存在有无穷多最低能量态。物理系统的状态只能实现出一个最低能量态，称这最低能量态的位置为希格斯场的真空期望值。不影响论述的一般性，设定真空期望值 为[注 4][19]:6
。
设定四个新实函数 、 、 、
来代表对于最低能量态的涨落所产生的量子场：
。
采用幺正规范（unitary gauge）[3]:691，正确地设定变换矩阵
的参数矢量 ，可以使得 、 、 变为零。[注 5]这动作抵销了三个戈德斯通玻色子。希格斯场变为
。
将这公式代入拉格朗日量，注意到规范玻色子的质量是来自于动能项目的改变：
。
设定W玻色子
、Z玻色子 
、光子 
分别为
、
、
。
从普罗卡拉格朗日量，可以推断W玻色子 、Z玻色子的质量分别为
、
，而光子的质量为零。
经过一番推导，可以查明 是弱耦合常数，与电磁耦合常数 
的关系为[3]:702-703[1]:244[注 6]
。
定义弱混合角（weak mixing angle）
为
。
以耦合常数 与 来表达，
、
。
所以，
。
W玻色子与Z玻色子之间的质量关系为
。
这关系式也可以做为弱混合角的数学定义式。[20]
费米子质量[编辑]
对于费米子的拉格朗日量 ，除了希格斯项目 
、规范项目 
以外，必须再添加一个费米子项目 
：
。
这费米子项目为描述自旋1/2费米子自由传播的狄拉克拉格朗日量：
；
其中，
是费米子的狄拉克旋量（Dirac Spinor），
是其伴随旋量，
是狄拉克矩阵， 是费米子的质量。
这方程右手边第一个项目是动能项目，第二个项目是质量项目。
狄拉克旋量可以按照手征性分解为左手狄拉克旋量
与右手狄拉克旋量 
︰
、
；
其中，
是第五个狄拉克矩阵，
是投影算符，可以挑选出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。
物理学者做实验发现，W玻色子只与左手费米子彼此相互作用，费米子的左手部分与右手部分，两者的物理性质大不相同。[3]:700-705因此，为了要正确地分析每一个部分，必须将费米子项目按照手征性分为左手项目、右手项目。费米子动能项目可以改写为
。
由于在规范场论里，左手费米子与右手费米子的规范群表现不一样。，偏导数 必须按照手征性分别改换为不同的协变导数 
、
，才能满足局域规范不变性：[3]:702-703
、
；
其中， 是单位矩阵，
与 
分别为左手费米子与右手费米子的弱超荷。
注意到 是一个2×2矩阵算符，而 是一个标量算符。应用这性质，设定SU(2)二重态来表示左手费米子，SU(2)单态来表示右手费米子，就可以促使W玻色子只与左手费米子彼此相互作用。例如，对于第一代轻子，左手二重态、右手单态分别为
、 
；
其中，
、
分别是中微子、电子的狄拉克旋量。
费米子质量项目以 、 表示为
。
由于 、 所涉及的SU(2)L变换与U(1)Y变换都不一样，质量项目不能够满足局域规范不变性，必须设定 。在标准模型里，遵守规范理论，所有费米子的质量都必须设定为零。这样，费米子项目变为只拥有遵守手征对称性的动能项目：
。
希格斯机制可以促使费米子获得质量，通过添加汤川耦合项目
在希格斯拉格朗日量 里，可以达成这目标：
；
其中，
是电子的“汤川耦合常数”。
由于自发对称性破缺，采用幺正规范，希格斯场会变为
，
汤川耦合项目会生成电子质量：
。
很明显地，电子质量
为
。
类似地，希格斯机制可以促使其他种费米子获得质量。对于为什么每一种费米子都有其特定的汤川耦合常数
，希格斯机制并没有给出任何说明。标准模型里的自由参数大多数都是汤川耦合常数[3]:79,713-714
参阅[编辑]
注释[编辑]
假定希格斯势的形式为
；其中，
、 都是正值常数。如墨西哥帽绘图所示，这势能的猜想形状好似一顶墨西哥帽。希格斯势与拉格朗日量在
、 空间具有旋转对称性。位于z-坐标轴的帽顶为希格斯势的局域最大值，其复值希格斯场为零（），但这不是最低能量态；在帽子的谷底有无穷多个简并的最低能量态。从无穷多个简并的最低能量态中，物理系统只能实现出一个最低能量态，标记这最低能量态为 。这物理系统的拉格朗日量对于局域相位变换 具有不变性，即在 、 空间具有旋转对称性，而最低能量态 对于局域相位变换不具有不变性： ，通常，
不等于 ，除非角弧 是 的整数倍数。所以，这物理系统对于局域相位变换的对称性被自发打破。以数学来表述，最低能量态处于势能的最低值，对应的希格斯场真空期望绝对值
可以从势能的公式求得： 。所以，希格斯场的真空期望绝对值
为 。为了简化表达式，设定常数
。对于这物理系统，存在有无穷多最低能量态，这些最低能量态在 -复平面形成一个半径为 的圆圈。物理系统的状态只能实现出一个最低能量态，称这最低能量态的位置为希格斯场的真空期望值。不影响论述的一般性，选择真空期望值 为 。这动作打破了其在
、 空间的旋转对称性。设定两个实函数 、 来标纪对于最低能量态的涨落所产生的量子场： 。在量子场论里，这些涨落的量子场可以诠释为真实的粒子。将量子场的公式代入拉格朗日量，
。经过一番计算，取至
的二次方，可以得到新形式 。仔细分析
的新形式。前两个项目是标量场 的动能项目 与质量项目 [注 3] ，这标量场 即是质量为 的希格斯玻色子，是希格斯场对于最低能量态在径向方面的涨落。第三个项目是标量场 的自由拉格朗日量，它没有质量项目，这标量场 即是零质量的戈德斯通玻色子。第四个、第五个项目是规范矢量场 的自由拉格朗日量 与质量项目 ，这规范矢量场 是质量为 的规范玻色子。剩下的 代表这几个量子场彼此之间相互作用，在这里不多做说明。按照这结果，应该可以从做实验证实戈德斯通玻色子存在。带质量粒子比较难制成，粒子加速器必须使用很高的能量来碰撞制成带质量粒子。零质量粒子案例跟重质量粒子案例不同，零质量粒子很容易制成，或者可从缺失能量或动量推测其存在。然而，事实并非如此，物理学者无法找到其存在的任何蛛丝马迹。[1]:378-381这意味着理论可能有瑕疵。希格斯机制可以处理这瑕疵。
回想先前的局域相位变换
，这变换并没有设定相位 。假若设定相位 可以让戈德斯通玻色子消失无踪，则问题就可迎刃而解。仔细观察这变换的公式， 。只要设定
，就可以除去希格斯场 的虚部 ，拉格朗日量变为 。总括而言，从自发对称性破缺，可以赋予规范玻色子质量，但也生成了不符合实际物理的戈德斯通玻色子，选择正确的规范，可以清除戈德斯通玻色子，这就是希格斯机制。[1]:378-381
SU(2)×U(1)希格斯机制[编辑]
在标准模型里，SU(2)×U(1)希格斯机制是最简单的一种赋予质量的机制，适用于电弱相互作用的SU(2)×U(1)规范场论。采用这种机制的标准模型称为最小标准模型（minimal standard model）。在这模型里，希格斯场是复值二重态：
；其中，
、 、 、 都是实函数。这种希格斯场是由两个复值标量场，或四个实值标量场组成，其中，两个带有电荷，两个是中性。在这模型里，还有四个零质量规范玻色子，都是横场，如同光子一样，具有两个自由度。总合起来，一共有十二个自由度。自发对称性破缺之后，一共有三个规范玻色子会获得质量、同时各自添加一个纵场，总共有九个自由度，另外还有一个具有两个自由度的零质量规范玻色子，剩下的一个自由度是带质量的希格斯玻色子。三个带质量规范玻色子分别是W+、W-和Z玻色子。零质量规范玻色子是光子。[18]:1-3[3]:700-703
标准模型[编辑]
主条目：标准模型
在标准模型里，假若温度足够高，物理系统的电弱对称性没有被打破，则所有基本粒子都不具有质量。当温度降到低于临界温度，希格斯场会变得不稳定，会跃迁至最低能量态，即量子力学的真空，整个物理系统的连续对称性因此被自发打破，W玻色子、Z玻色子、费米子也因此会获得质量。
局域规范不变性[编辑]
SU(2)×U(1)规范场论的规范变换形式为：
；其中，
是变换矩阵， 是参数为时空坐标 的矢量函数， 是三个泡利矩阵 、 、 共同组成的矩阵矢量。由于三个泡利矩阵彼此之间不能对易，SU(2)是非阿贝尔群，这机制是“非阿贝尔希格斯机制”。
指数函数
的参数是一个矩阵： 。这指数函数等于
；其中，
是单位矩阵， 是 的数值大小， 是单位矢量。为了要满足局域规范不变性，必须将
的偏导数 改换为协变导数 [3]:701 ；其中，
、 都是耦合常数， 、 分别是SU(2)规范矢量场、U(1)规范矢量场。这些规范矢量场的局域相位变换为
、 。由于这些额外的规范矢量场，又必须添加对应的自由拉格朗日量：
；其中，
是场强张量， 是由三个场强张量 、 、 组成的矢量。总结，表达为以下形式的拉格朗日量
满足局域规范不变性： ；其中，标号
表示取埃尔米特伴随。自发对称性破缺[编辑]
假定势能的形式为
，最低能量态处于势能的最低值，对应的希格斯场满足关系式
。对于这物理系统，存在有无穷多最低能量态。物理系统的状态只能实现出一个最低能量态，称这最低能量态的位置为希格斯场的真空期望值。不影响论述的一般性，设定真空期望值
为[注 4][19]:6。设定四个新实函数
、 、 、 来代表对于最低能量态的涨落所产生的量子场：。采用幺正规范（unitary gauge）[3]:691，正确地设定变换矩阵
的参数矢量 ，可以使得 、 、 变为零。[注 5]这动作抵销了三个戈德斯通玻色子。希格斯场变为。将这公式代入拉格朗日量，注意到规范玻色子的质量是来自于动能项目的改变：
。设定W玻色子
、Z玻色子 、光子 分别为 、 、 。从普罗卡拉格朗日量，可以推断W玻色子 、Z玻色子的质量分别为
、 ，而光子的质量为零。经过一番推导，可以查明
是弱耦合常数，与电磁耦合常数 的关系为[3]:702-703[1]:244[注 6] 。定义弱混合角（weak mixing angle）
为。以耦合常数
与 来表达， 、 。所以，
。W玻色子与Z玻色子之间的质量关系为
。这关系式也可以做为弱混合角的数学定义式。[20]
费米子质量[编辑]
对于费米子的拉格朗日量
，除了希格斯项目 、规范项目 以外，必须再添加一个费米子项目 ： 。这费米子项目为描述自旋1/2费米子自由传播的狄拉克拉格朗日量：
；其中，
是费米子的狄拉克旋量（Dirac Spinor）， 是其伴随旋量， 是狄拉克矩阵， 是费米子的质量。这方程右手边第一个项目是动能项目，第二个项目是质量项目。
狄拉克旋量可以按照手征性分解为左手狄拉克旋量
与右手狄拉克旋量 ︰ 、 ；其中，
是第五个狄拉克矩阵， 是投影算符，可以挑选出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。物理学者做实验发现，W玻色子只与左手费米子彼此相互作用，费米子的左手部分与右手部分，两者的物理性质大不相同。[3]:700-705因此，为了要正确地分析每一个部分，必须将费米子项目按照手征性分为左手项目、右手项目。费米子动能项目可以改写为
。由于在规范场论里，左手费米子与右手费米子的规范群表现不一样。，偏导数
必须按照手征性分别改换为不同的协变导数 、 ，才能满足局域规范不变性：[3]:702-703 、 ；其中，
是单位矩阵， 与 分别为左手费米子与右手费米子的弱超荷。注意到
是一个2×2矩阵算符，而 是一个标量算符。应用这性质，设定SU(2)二重态来表示左手费米子，SU(2)单态来表示右手费米子，就可以促使W玻色子只与左手费米子彼此相互作用。例如，对于第一代轻子，左手二重态、右手单态分别为 、 ；其中，
、 分别是中微子、电子的狄拉克旋量。费米子质量项目以
、 表示为 。由于
、 所涉及的SU(2)L变换与U(1)Y变换都不一样，质量项目不能够满足局域规范不变性，必须设定 。在标准模型里，遵守规范理论，所有费米子的质量都必须设定为零。这样，费米子项目变为只拥有遵守手征对称性的动能项目： 。希格斯机制可以促使费米子获得质量，通过添加汤川耦合项目
在希格斯拉格朗日量 里，可以达成这目标： ；其中，
是电子的“汤川耦合常数”。由于自发对称性破缺，采用幺正规范，希格斯场会变为
，汤川耦合项目会生成电子质量：
。很明显地，电子质量
为 。类似地，希格斯机制可以促使其他种费米子获得质量。对于为什么每一种费米子都有其特定的汤川耦合常数
，希格斯机制并没有给出任何说明。标准模型里的自由参数大多数都是汤川耦合常数[3]:79,713-714参阅[编辑]
注释[编辑]
- ^ 希格斯场在最低能量态的平均值，就是“希格斯场的真空期望值”。费曼微积分（Feymann calculus）用来计算的是希格斯场在最低能量态的振动，即希格斯玻色子。
- ^ 根据量子场论，所有万物都是由量子场形成或组成，而每一种基本粒子则是其对应量子场的微小振动，就如同光子是电磁场的微小振动，夸克是夸克场的微小振动，电子是电子场的微小振动，引力子是引力场的微小振动等等。[2]:32-33
- ^ 参考条目克莱因-戈尔登拉格朗日量。
- ^ 希格斯玻色子的质量为
。费米耦合常数 
与 之间的关系为 
。从μ子衰变实验，可以得到费米耦合常数，准确度为0.6ppm，因此，可以计算出 的数值为246GeV。但是，由于 是未知数，物理学者无法预测希格斯玻色子的质量。 - ^ 假定
；否则，将整个复值二重态乘以 
。设定 为
，
，
，则可以得到 
。 - ^ 在粒子物理学里，电磁耦合常数就是单位电荷：
。
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 07:03
16.8 The Power of Cohomology
We want to show that the BRST symmetry is not an exotic mathematical
trick discovered by chance, but it is closely related to one of the deepest tools
in modern analysis, geometry, and topology called cohomology. Intuitively,
cohomology is rooted in
• the existence of potentials for physical fields,
• the integral theorems of Gauss, Green, and Stokes for physical fields,
• the Gauss–Bonnet theorem on the total curvature of two-dimensional su***ces
and its generalization to higher dimensions by Chern,
• the theory of Abelian integrals and their Riemann su***ces,
• Poincar´e’s dual triangulations of polyhedra, the Betti numbers, and the
Euler characteristic,
• the theory of differential forms developed by ´Elie Cartan and Poincar´e at
the end of the 19th century and completed by de Rham in the 1930s (de
Rham cohomology),
• the Hodge theory for higher-dimensional Riemann manifolds from the
1930s,
• the Riemann–Roch–Hirzebruch theorem from the 1950s,
• the Atiyah–Singer index theorem from the 1960s,
• and the Ritz combination principle for atomic spectra.
This will be studied in Volume IV on quantum mathematics. In particular,
we will show there that cohomology is intimately related to electric circuits
(the Kirchhoff rules), the Maxwell equations in electrodynamics, and Dirac’s
magnetic monopoles. Indeed, the integration of the Maxwell equations via
four-potentials is cohomology in action. At this point, we restrict ourselves
to sketching a few basic ideas.
Poincar´e’s boundary operator ∂. In order to study the qualitative
(i.e., the topological) properties of geometric objects, Poincar´e considered
the equation
S = ∂B. (16.5)
The set S is called the boundary of the set B. Moreover, a set C is called a
cycle iff it has no boundary. We write ∂C = 0. Typical cycles are circles and
spheres.
Poincar´e studied cycles modulo boundaries. That is, he studied cycles
by putting boundaries equal to zero.
This leads to the concept of homology group which was introduced by Emmy
Noether in the 1920s.12 For example, if B is a ball in 3-dimensional space,
then S = ∂B is a sphere, and S is a cycle, that is, ∂S = 0. Therefore, we get
the crucial relation
∂∂B = 0.
It turns out that operators D with the typical property D2 = 0 appear quite
often in mathematics and physics. In such cases, one can apply the methods
of homological algebra which lead to deep results.13
´Elie Cartan’s coboundary operator d. As a further example, let us
consider the equation
ω = dμ (16.6)
for differential forms ω and μ. We are given the field ω, and we are looking
for a potential μ.14 The crucial Poincar´e lemma tells us that
dd = 0.
Motivated by the boundary operator above, the field ω is called a cocycle iff
dω = 0. Moreover, the cocycle field ω is called trivial iff it is a coboundary,
that is, ω = dμ.
Cohomology theory studies cocycles modulo coboundaries. That is, it
studies cocycles by putting coboundaries equal to zero.
It turns out that there exists a crucial duality between homology and cohomology.
In terms of physics, this duality relates the geometry of manifolds
(e.g., space-time manifolds) to the analytic structure of the physical fields on
manifolds (see Volume IV on quantum mathematics).
The BRST operator Q. In the BRST approach, physicists write Q
instead of d, and they use the operator Q in order to eliminate ghosts. Let
us discuss this.
16.8.1 Physical States, Unphysical States, and Cohomology
Use only essential physical states.
Folklore
Consider a linear space X over K = R (real space) or K = C (complex space).
Let Q : X → X be a linear operator which has the characteristic property
QQ = 0.
The elements ω, μ,
, . . . of X are called states. The operator Q allows us to
classify states in the following way:
(i) Physical state ω: The state ω is called a physical state iff Qω = 0. Similarly,
a state ω is called an unphysical state (or a ghost) iff Qω = 0.
(ii) Trivial physical states ω: Each state of the form ω = Qμ for some state
μ is a physical state.15 Such states are called trivial physical states.
(iii) Equivalent physical states: Two physical states ω and
are called equivalent
iff the difference ω −
is a trivial physical state. In other words,
ω ∼
iff ω = + Qμ for some state μ.
This equivalence relation respects linear combinations. Explicitly, for
physical states ω, ω,，’ and numbers α, β ∈ K,16
ω ∼ ω， ∼ ‘ implies αω + β ∼ αω + β’
(iv) Essential physical states [ω] : For each physical state ω, the symbol [ω]
denotes the set of all physical states which are equivalent to ω. In other
words,
[ω] := {ω + Q : ∈ X.}
The equivalence classes [ω] are called essential physical states.
(v) The essential state space X/Q : The space of all essential physical states
[ω] forms a linear space over K. This space is denoted by X/Q. The linear
combinations on X/Q are defined by
α[ω] + β[] := [αω + β]
for all physical states ω,
and all α, β ∈ K. This definition does not
depend on the choice of the representatives.17
In order to eliminate ghosts, we replace the original state space X by the
essential state space X/Q which is also called the cohomology space of X
with respect to the BRST operator Q. From the practical point of view, we
work with physical states by simply putting trivial physical states equal to
zero. For example, if ω,, σ are physical states and σ is a trivial physical
state, then
αω + β + γσ = αω + β
for all α, β ∈ K.
16.8.2 Forces and Potentials
The calculus of differential forms was introduced by ´Elie Cartan (1869–1951)
at the end of the 19th century. This is the most important tool in modern
analysis, geometry, and mathematical physics. Let us discuss the basic ideas.
To this end, introduce the potential function U = U(x, y) and the force 1-form
F = a(x, y)dx + b(x, y)dy
on the Euclidean (x, y)-plane R2. Using the wedge product
dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0, dx∧
dy = −dy ∧ dx,
we define the derivative of differential forms:
• dU := Uxdx + Uydy,
• da = axdx + aydy and db = bxdx + bydy;
• dF = da ∧ dx + db ∧ dy = cdx ∧ dy where we set c := bx − ay;
• d(dU) = dUx ∧ dy + dUy ∧ dx = (Uyx − Uxy)dx ∧ dy = 0;
• d(dF) = dc ∧ dx ∧ dy = cxdx ∧ dx ∧ dy + cydy ∧ dx ∧ dy = 0.
Hence dd = 0. This is called the Poincar´e lemma. The key equation reads as
F = −dU on Ω (16.7)
where Ω is an open subset of R2. Explicitly,
a = −Ux, b= −Uy on Ω.
We are given the smooth force components a, b : Ω → R, and we are looking
for the smooth function U : Ω → R. Introducing the classical force vector
field F(x, y) := a(x, y)i + b(x, y)j, equation (16.7) reads as
F = −gradU on Ω.
In classical mechanics, the function U is called a potential of the given force
field F.
Necessary solution condition. If equation (16.7) has a smooth solution
U : Ω → R, then dF = −d(dU) = 0. This means that curlF = 0 on Ω, in
the language of vector analysis.
Sufficient solution condition. The point is that the necessary solution
condition is not always a sufficient condition. Let us discuss two different
situations.
(i) Choose Ω := R2. Equation (16.7) has a smooth solution U : R2 → R iff
curlF = 0 on R2. The general solution then reads as
U(x) = const −
F(y)dy, x ∈ R2. (16.
This integral does not depend on the choice of the smooth path in Ω
from the fixed initial point x0 to the final point x. In terms of physics,
the integralF(y)dy is the work done by the force field F when moving
a particle from x0 to the point x.
(ii) Choose Ω := R2 \ {0}. Since the force field F may have a singularity
at the origin, the curve integral (16. may depend on the choice of the
path from x0 to x in Ω. In terms of physics, this means that the work
done by the force field may be path-dependent. The precise result reads
as follows: Equation (16.7) has a smooth solution U : Ω → R iff both the
local condition curlF = 0 on Ω and the global condition
F(y)dy = 0
are satisfied. The general solution is then given by the path-independent
integral (16..
Let us reformulate this in terms of cocycles and coboundaries. First consider
the case where Ω := R2 \ {0}.
• The force field F is a cocycle iff dF = 0 on Ω. In terms of polar coordinates
ϕ, r, each cocycle can be represented as
F = dU + γdϕ on Ω
where γ is a real number. Explicitly, 2πγ =
S1 F.
• The cocycle F is a coboundary iff γ = 0.
• The essential physical fields are cocycles by putting coboundaries equal to
zero. This yields
F = γdϕ, γ ∈ R.
Thus, the space H1(Ω) of essential 1-forms is isomorphic to R; we call
H1(Ω) the first de Rham cohomology group of Ω.
The situation changes completely for Ω = R2. Then, each cocycle F, that is,
dF = 0 on R2, can be represented as
F = dU on R2.
The essential physical fields are cocycles by putting coboundaries equal to
zero. Hence F = 0. This corresponds to the trivial first cohomology group,
H1(R2) = 0. Roughly speaking, cohomology theory yields the following general
result:
The topological complexity of a manifold Ω can be measured by the
increasing number of independent physical fields on Ω that have no
potential.
16.8.3 The Cohomology of Geometric Objects
Differential topology studies the qualitative structure of smooth geometric
objects by considering differential forms (physical fields) on manifolds. The
idea is to assign real linear spaces
Hk(M), k= 0, 1, 2, . . .
to a compact manifold M. The space Hk(M) is called the kth cohomology
group of M. Furthermore, the dimension of Hk(M),
βk := dimHk(M),
is called the kth Betti number of M. Finally, the number
χ(M) = β0 − β1 + β2 − . . .
is called the Euler characteristic of M.
The cohomology of the unit circle.We want to use the general scheme
from Sect. 16.8.1 in order to compute the de Rham cohomology algebra of
the unit circle. As usual in mathematics, we will write the symbol d instead
of Q. The points of the unit circle
S1 := {z ∈ C : |z| = 1}
can be uniquely parametrized by the angle ϕ. Explicitly, we have z = eiϕ
where −π < ϕ ≤ π. Let C∞2π(R) denote the set of all smooth functions
f : R → R
which possess the period 2π. The smooth functions f : S1 → R can be
identified with the functions from C∞2π(R).
(i) 0-cochains: The functions f from C∞
2π(R) are called the 0-chains of the
unit circle S1. We define df := f(ϕ)dϕ.
(ii) 1-cochains: The 1-forms g(ϕ)dϕ with g ∈ C∞2π(R) are called 1-cochains.
Using dϕ ∧ dϕ = 0, we define d(gdϕ) := gdϕ ∧ dϕ = 0.
(iii) The Cartan algebra: The set of all differential forms
f + gdϕ, f, g ∈ C∞2π(R).
forms the so-called Cartan algebra of the unit circle S1. There exist two
operations, namely, the sum and the wedge product. For example,
(f1 + g1dϕ) ∧ (f2 + g2dϕ) = f1f2 + (f1g2 + g1f2)dϕ.
(iv) The de Rham cohomology algebra H(S1) of the unit circle: This algebra
consists of all the differential forms
α + βdϕ, α, β ∈ R.
This will be computed below.
(v) Betti numbers and the Euler characteristic of the unit circle: Let Hk(S1)
denote the linear subspace of all the differential forms of H(S1) of order
k = 0, 1, This is called the kth cohomology group of S1. Explicitly, the
first cohomology group H1(S1) consists of all βdϕ with β ∈ R, and H0(S1)
consists of all real numbers α. For the Betti numbers of the unit circle,
we get
βk := dimHk(S1), k= 0, 1.
Explicitly, β0 = β1 = 1. For the Euler characteristic of the unit circle,
we have
χ(S1) = β0 − β1 = 0.
Finally, let us compute H(S1). The key to this is the differential equation
f‘= g, f ∈ C∞2π(R) (16.9)
for a given function g ∈ C∞
2π(R). Integration of (16.9) yields
f(ϕ) = const+g(θ)dθ. (16.10)
This is a 2π-periodic function iff
g(θ)dθ = 0. (16.11)
Therefore, problem (16.9) has a solution iff condition (16.11) is satisfied.
Then, the general solution is given by (16.10).
• The 0-form f is called a cocycle iff df = 0. This means that f is constant.
• Each 1-form gdϕ is a cocycle, since d(gdϕ) = 0.
• The 1-form gdϕ is a coboundary iff the equation
gdϕ = df, f ∈ C∞2π(R)
has a solution. By (16.9), this is equivalent to (16.11).
• By definition, the cohomology algebra H(S1) consists of all cocycles
α + gdϕ
by putting coboundaries equal to zero. Let us write
α + gdϕ = α + (g − β)dϕ + βdϕ
with β := 1/2π g(θ)dθ. Hence
(g(θ) − β)dθ = 0.
Thus, (g − β)dϕ is a coboundary. Setting (g − β)dϕ = 0, we obtain that
α + gdϕ is equal to α + βdϕ. This is the claim from (iv) above.
The cohomology of the 2-dimensional unit sphere S2. It can be
shown that the de Rham cohomology algebra H(S2) of the unit sphere S2
consists of all the differential forms
α + γdϕ ∧ dϑ, α, γ ∈ R
where ϕ and ϑ represent the geographic length and the geographic latitude
of the sphere, respectively. For example, the kth cohomology groups Hk(S2)
with k = 0, 1, 2 consist of
α with α ∈ R; 0; γdϕ ∧ dϑ with γ ∈ R,
respectively. This yields the Betti numbers βk := dimHk(S2). Explicitly,
β0 = β2 = 1 and β1 = 0. For the Euler characteristic of the unit sphere, we
obtain
χ(S2) = β0 − β1 + β2 = 2.
Intuitive meaning of the Euler characteristic. We have computed
the Euler characteristic in terms of differential forms. An important result
of topology tells us that for compact finite-dimensional manifolds, the Euler
characteristic can be computed by means of triangulations or cell decompositions
as in Sect. 5.6.2ff on page 242.
The cohomology of the 2-dimensional torus T2 := S1×S1. It can be
shown that the de Rham cohomology algebra H(T2) of the torus T2 consists
of all differential forms
α + β1dϕ + β2dϑ + γdϕ ∧ dϑ, α, β1, β2, γ ∈ R.
Here, ϕ and ϑ represent the geographic length and the geographic latitude
of the torus, respectively. For example, the kth cohomology groups Hk(T2)
with k = 0, 1, 2 consist of
α with α ∈ R; β1dϕ + β2dϑ, β1, β2 ∈ R; γdϕ ∧ dϑ, γ ∈ R,
respectively. This yields the Betti numbers β0 = β2 = 1 and β1 = 2 along
with the Euler characteristic
χ(T2) := β0 − β1 − β2 = 0.
The following fact is crucial.
If we replace the unit circle, the unit sphere, and the torus above by
diffeomorphic manifolds, then the Betti numbers, and hence the Euler
characteristic remain unchanged.
16.8.4 The Spectra of Atoms and Cohomology
As a prototype, consider the hydrogen atom. By Bohr’s model, the electron
of the hydrogen atom attains the energy levels E1 < E2 < E3 < . . . If the
electron jumps from the upper level Em to the lower level En with m > n,
then a photon of energy
ωmn = Em − En (16.12)
is emitted.18 Using
• the energy 0-cochain E := {E1,E2, . . .} and
• the frequency 1-cochain ω := {ωmn},
18 Recall that we are using the energetic system in this chapter. Thus, h= 1.
the energy-frequency relation (16.12) can elegantly be written as
hω = dE.
This so-called Ritz combination principle tells us that the frequencies of a
radiating atom are not arbitrary, but there is a cohomological structure behind
them. Interestingly enough, this structure was used by Heisenberg in
order to establish quantum mechanics in 1925. This is one of the reasons why
cohomology plays a crucial role in quantum physics.
16.8.5 BRST Symmetry and the Cohomology of Lie Groups
As a further example, we want to show that the classical cohomology of Lie
groups is a special model of BRST symmetry. To this end, as in Sect. 16.2,
let us choose the gauge Lie group SU(N) with N = 2, 3, . . . and the corresponding
Lie algebra LG := su(N). In this setting, the following geometric
picture is behind BRST symmetry:
• antighosts are left-invariant velocity fields on the gauge group G;
• ghosts are dual objects to antighosts, that is, they are left-invariant covelocity
fields on G;
• states are differential forms on G;
• the BRST operator Q coincides with the Cartan derivative d of states; this
implies dd = 0;
• physical states are cocycles with respect to d;
• trivial physical states are coboundaries with respect to d;
• essential physical states are physical states by putting coboundaries equal
to zero; the essential physical states are also called the cohomology classes
with respect to d.
We want to show that the BRST symmetry is not an exotic mathematical
trick discovered by chance, but it is closely related to one of the deepest tools
in modern analysis, geometry, and topology called cohomology. Intuitively,
cohomology is rooted in
• the existence of potentials for physical fields,
• the integral theorems of Gauss, Green, and Stokes for physical fields,
• the Gauss–Bonnet theorem on the total curvature of two-dimensional su***ces
and its generalization to higher dimensions by Chern,
• the theory of Abelian integrals and their Riemann su***ces,
• Poincar´e’s dual triangulations of polyhedra, the Betti numbers, and the
Euler characteristic,
• the theory of differential forms developed by ´Elie Cartan and Poincar´e at
the end of the 19th century and completed by de Rham in the 1930s (de
Rham cohomology),
• the Hodge theory for higher-dimensional Riemann manifolds from the
1930s,
• the Riemann–Roch–Hirzebruch theorem from the 1950s,
• the Atiyah–Singer index theorem from the 1960s,
• and the Ritz combination principle for atomic spectra.
This will be studied in Volume IV on quantum mathematics. In particular,
we will show there that cohomology is intimately related to electric circuits
(the Kirchhoff rules), the Maxwell equations in electrodynamics, and Dirac’s
magnetic monopoles. Indeed, the integration of the Maxwell equations via
four-potentials is cohomology in action. At this point, we restrict ourselves
to sketching a few basic ideas.
Poincar´e’s boundary operator ∂. In order to study the qualitative
(i.e., the topological) properties of geometric objects, Poincar´e considered
the equation
S = ∂B. (16.5)
The set S is called the boundary of the set B. Moreover, a set C is called a
cycle iff it has no boundary. We write ∂C = 0. Typical cycles are circles and
spheres.
Poincar´e studied cycles modulo boundaries. That is, he studied cycles
by putting boundaries equal to zero.
This leads to the concept of homology group which was introduced by Emmy
Noether in the 1920s.12 For example, if B is a ball in 3-dimensional space,
then S = ∂B is a sphere, and S is a cycle, that is, ∂S = 0. Therefore, we get
the crucial relation
∂∂B = 0.
It turns out that operators D with the typical property D2 = 0 appear quite
often in mathematics and physics. In such cases, one can apply the methods
of homological algebra which lead to deep results.13
´Elie Cartan’s coboundary operator d. As a further example, let us
consider the equation
ω = dμ (16.6)
for differential forms ω and μ. We are given the field ω, and we are looking
for a potential μ.14 The crucial Poincar´e lemma tells us that
dd = 0.
Motivated by the boundary operator above, the field ω is called a cocycle iff
dω = 0. Moreover, the cocycle field ω is called trivial iff it is a coboundary,
that is, ω = dμ.
Cohomology theory studies cocycles modulo coboundaries. That is, it
studies cocycles by putting coboundaries equal to zero.
It turns out that there exists a crucial duality between homology and cohomology.
In terms of physics, this duality relates the geometry of manifolds
(e.g., space-time manifolds) to the analytic structure of the physical fields on
manifolds (see Volume IV on quantum mathematics).
The BRST operator Q. In the BRST approach, physicists write Q
instead of d, and they use the operator Q in order to eliminate ghosts. Let
us discuss this.
16.8.1 Physical States, Unphysical States, and Cohomology
Use only essential physical states.
Folklore
Consider a linear space X over K = R (real space) or K = C (complex space).
Let Q : X → X be a linear operator which has the characteristic property
QQ = 0.
The elements ω, μ,
, . . . of X are called states. The operator Q allows us to
classify states in the following way:
(i) Physical state ω: The state ω is called a physical state iff Qω = 0. Similarly,
a state ω is called an unphysical state (or a ghost) iff Qω = 0.
(ii) Trivial physical states ω: Each state of the form ω = Qμ for some state
μ is a physical state.15 Such states are called trivial physical states.
(iii) Equivalent physical states: Two physical states ω and
are called equivalent
iff the difference ω −
is a trivial physical state. In other words,
ω ∼
iff ω =
+ Qμ for some state μ.This equivalence relation respects linear combinations. Explicitly, for
physical states ω, ω,
，’ and numbers α, β ∈ K,16ω ∼ ω，
∼ ‘ implies αω + β ∼ αω + β’(iv) Essential physical states [ω] : For each physical state ω, the symbol [ω]
denotes the set of all physical states which are equivalent to ω. In other
words,
[ω] := {ω + Q
: ∈ X.}The equivalence classes [ω] are called essential physical states.
(v) The essential state space X/Q : The space of all essential physical states
[ω] forms a linear space over K. This space is denoted by X/Q. The linear
combinations on X/Q are defined by
α[ω] + β[
] := [αω + β]for all physical states ω,
and all α, β ∈ K. This definition does not
depend on the choice of the representatives.17
In order to eliminate ghosts, we replace the original state space X by the
essential state space X/Q which is also called the cohomology space of X
with respect to the BRST operator Q. From the practical point of view, we
work with physical states by simply putting trivial physical states equal to
zero. For example, if ω,
, σ are physical states and σ is a trivial physicalstate, then
αω + β
+ γσ = αω + βfor all α, β ∈ K.
16.8.2 Forces and Potentials
The calculus of differential forms was introduced by ´Elie Cartan (1869–1951)
at the end of the 19th century. This is the most important tool in modern
analysis, geometry, and mathematical physics. Let us discuss the basic ideas.
To this end, introduce the potential function U = U(x, y) and the force 1-form
F = a(x, y)dx + b(x, y)dy
on the Euclidean (x, y)-plane R2. Using the wedge product
dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0, dx∧
dy = −dy ∧ dx,
we define the derivative of differential forms:
• dU := Uxdx + Uydy,
• da = axdx + aydy and db = bxdx + bydy;
• dF = da ∧ dx + db ∧ dy = cdx ∧ dy where we set c := bx − ay;
• d(dU) = dUx ∧ dy + dUy ∧ dx = (Uyx − Uxy)dx ∧ dy = 0;
• d(dF) = dc ∧ dx ∧ dy = cxdx ∧ dx ∧ dy + cydy ∧ dx ∧ dy = 0.
Hence dd = 0. This is called the Poincar´e lemma. The key equation reads as
F = −dU on Ω (16.7)
where Ω is an open subset of R2. Explicitly,
a = −Ux, b= −Uy on Ω.
We are given the smooth force components a, b : Ω → R, and we are looking
for the smooth function U : Ω → R. Introducing the classical force vector
field F(x, y) := a(x, y)i + b(x, y)j, equation (16.7) reads as
F = −gradU on Ω.
In classical mechanics, the function U is called a potential of the given force
field F.
Necessary solution condition. If equation (16.7) has a smooth solution
U : Ω → R, then dF = −d(dU) = 0. This means that curlF = 0 on Ω, in
the language of vector analysis.
Sufficient solution condition. The point is that the necessary solution
condition is not always a sufficient condition. Let us discuss two different
situations.
(i) Choose Ω := R2. Equation (16.7) has a smooth solution U : R2 → R iff
curlF = 0 on R2. The general solution then reads as
U(x) = const −
F(y)dy, x ∈ R2. (16.This integral does not depend on the choice of the smooth path in Ω
from the fixed initial point x0 to the final point x. In terms of physics,
the integral
F(y)dy is the work done by the force field F when movinga particle from x0 to the point x.
(ii) Choose Ω := R2 \ {0}. Since the force field F may have a singularity
at the origin, the curve integral (16.
may depend on the choice of thepath from x0 to x in Ω. In terms of physics, this means that the work
done by the force field may be path-dependent. The precise result reads
as follows: Equation (16.7) has a smooth solution U : Ω → R iff both the
local condition curlF = 0 on Ω and the global condition
F(y)dy = 0are satisfied. The general solution is then given by the path-independent
integral (16.
.Let us reformulate this in terms of cocycles and coboundaries. First consider
the case where Ω := R2 \ {0}.
• The force field F is a cocycle iff dF = 0 on Ω. In terms of polar coordinates
ϕ, r, each cocycle can be represented as
F = dU + γdϕ on Ω
where γ is a real number. Explicitly, 2πγ =
S1 F.
• The cocycle F is a coboundary iff γ = 0.
• The essential physical fields are cocycles by putting coboundaries equal to
zero. This yields
F = γdϕ, γ ∈ R.
Thus, the space H1(Ω) of essential 1-forms is isomorphic to R; we call
H1(Ω) the first de Rham cohomology group of Ω.
The situation changes completely for Ω = R2. Then, each cocycle F, that is,
dF = 0 on R2, can be represented as
F = dU on R2.
The essential physical fields are cocycles by putting coboundaries equal to
zero. Hence F = 0. This corresponds to the trivial first cohomology group,
H1(R2) = 0. Roughly speaking, cohomology theory yields the following general
result:
The topological complexity of a manifold Ω can be measured by the
increasing number of independent physical fields on Ω that have no
potential.
16.8.3 The Cohomology of Geometric Objects
Differential topology studies the qualitative structure of smooth geometric
objects by considering differential forms (physical fields) on manifolds. The
idea is to assign real linear spaces
Hk(M), k= 0, 1, 2, . . .
to a compact manifold M. The space Hk(M) is called the kth cohomology
group of M. Furthermore, the dimension of Hk(M),
βk := dimHk(M),
is called the kth Betti number of M. Finally, the number
χ(M) = β0 − β1 + β2 − . . .
is called the Euler characteristic of M.
The cohomology of the unit circle.We want to use the general scheme
from Sect. 16.8.1 in order to compute the de Rham cohomology algebra of
the unit circle. As usual in mathematics, we will write the symbol d instead
of Q. The points of the unit circle
S1 := {z ∈ C : |z| = 1}
can be uniquely parametrized by the angle ϕ. Explicitly, we have z = eiϕ
where −π < ϕ ≤ π. Let C∞2π(R) denote the set of all smooth functions
f : R → R
which possess the period 2π. The smooth functions f : S1 → R can be
identified with the functions from C∞2π(R).
(i) 0-cochains: The functions f from C∞
2π(R) are called the 0-chains of the
unit circle S1. We define df := f(ϕ)dϕ.
(ii) 1-cochains: The 1-forms g(ϕ)dϕ with g ∈ C∞2π(R) are called 1-cochains.
Using dϕ ∧ dϕ = 0, we define d(gdϕ) := gdϕ ∧ dϕ = 0.
(iii) The Cartan algebra: The set of all differential forms
f + gdϕ, f, g ∈ C∞2π(R).
forms the so-called Cartan algebra of the unit circle S1. There exist two
operations, namely, the sum and the wedge product. For example,
(f1 + g1dϕ) ∧ (f2 + g2dϕ) = f1f2 + (f1g2 + g1f2)dϕ.
(iv) The de Rham cohomology algebra H(S1) of the unit circle: This algebra
consists of all the differential forms
α + βdϕ, α, β ∈ R.
This will be computed below.
(v) Betti numbers and the Euler characteristic of the unit circle: Let Hk(S1)
denote the linear subspace of all the differential forms of H(S1) of order
k = 0, 1, This is called the kth cohomology group of S1. Explicitly, the
first cohomology group H1(S1) consists of all βdϕ with β ∈ R, and H0(S1)
consists of all real numbers α. For the Betti numbers of the unit circle,
we get
βk := dimHk(S1), k= 0, 1.
Explicitly, β0 = β1 = 1. For the Euler characteristic of the unit circle,
we have
χ(S1) = β0 − β1 = 0.
Finally, let us compute H(S1). The key to this is the differential equation
f‘= g, f ∈ C∞2π(R) (16.9)
for a given function g ∈ C∞
2π(R). Integration of (16.9) yields
f(ϕ) = const+
g(θ)dθ. (16.10)This is a 2π-periodic function iff
g(θ)dθ = 0. (16.11)Therefore, problem (16.9) has a solution iff condition (16.11) is satisfied.
Then, the general solution is given by (16.10).
• The 0-form f is called a cocycle iff df = 0. This means that f is constant.
• Each 1-form gdϕ is a cocycle, since d(gdϕ) = 0.
• The 1-form gdϕ is a coboundary iff the equation
gdϕ = df, f ∈ C∞2π(R)
has a solution. By (16.9), this is equivalent to (16.11).
• By definition, the cohomology algebra H(S1) consists of all cocycles
α + gdϕ
by putting coboundaries equal to zero. Let us write
α + gdϕ = α + (g − β)dϕ + βdϕ
with β := 1/2π
g(θ)dθ. Hence(g(θ) − β)dθ = 0.
Thus, (g − β)dϕ is a coboundary. Setting (g − β)dϕ = 0, we obtain that
α + gdϕ is equal to α + βdϕ. This is the claim from (iv) above.
The cohomology of the 2-dimensional unit sphere S2. It can be
shown that the de Rham cohomology algebra H(S2) of the unit sphere S2
consists of all the differential forms
α + γdϕ ∧ dϑ, α, γ ∈ R
where ϕ and ϑ represent the geographic length and the geographic latitude
of the sphere, respectively. For example, the kth cohomology groups Hk(S2)
with k = 0, 1, 2 consist of
α with α ∈ R; 0; γdϕ ∧ dϑ with γ ∈ R,
respectively. This yields the Betti numbers βk := dimHk(S2). Explicitly,
β0 = β2 = 1 and β1 = 0. For the Euler characteristic of the unit sphere, we
obtain
χ(S2) = β0 − β1 + β2 = 2.
Intuitive meaning of the Euler characteristic. We have computed
the Euler characteristic in terms of differential forms. An important result
of topology tells us that for compact finite-dimensional manifolds, the Euler
characteristic can be computed by means of triangulations or cell decompositions
as in Sect. 5.6.2ff on page 242.
The cohomology of the 2-dimensional torus T2 := S1×S1. It can be
shown that the de Rham cohomology algebra H(T2) of the torus T2 consists
of all differential forms
α + β1dϕ + β2dϑ + γdϕ ∧ dϑ, α, β1, β2, γ ∈ R.
Here, ϕ and ϑ represent the geographic length and the geographic latitude
of the torus, respectively. For example, the kth cohomology groups Hk(T2)
with k = 0, 1, 2 consist of
α with α ∈ R; β1dϕ + β2dϑ, β1, β2 ∈ R; γdϕ ∧ dϑ, γ ∈ R,
respectively. This yields the Betti numbers β0 = β2 = 1 and β1 = 2 along
with the Euler characteristic
χ(T2) := β0 − β1 − β2 = 0.
The following fact is crucial.
If we replace the unit circle, the unit sphere, and the torus above by
diffeomorphic manifolds, then the Betti numbers, and hence the Euler
characteristic remain unchanged.
16.8.4 The Spectra of Atoms and Cohomology
As a prototype, consider the hydrogen atom. By Bohr’s model, the electron
of the hydrogen atom attains the energy levels E1 < E2 < E3 < . . . If the
electron jumps from the upper level Em to the lower level En with m > n,
then a photon of energy
ωmn = Em − En (16.12)
is emitted.18 Using
• the energy 0-cochain E := {E1,E2, . . .} and
• the frequency 1-cochain ω := {ωmn},
18 Recall that we are using the energetic system in this chapter. Thus, h= 1.
the energy-frequency relation (16.12) can elegantly be written as
hω = dE.
This so-called Ritz combination principle tells us that the frequencies of a
radiating atom are not arbitrary, but there is a cohomological structure behind
them. Interestingly enough, this structure was used by Heisenberg in
order to establish quantum mechanics in 1925. This is one of the reasons why
cohomology plays a crucial role in quantum physics.
16.8.5 BRST Symmetry and the Cohomology of Lie Groups
As a further example, we want to show that the classical cohomology of Lie
groups is a special model of BRST symmetry. To this end, as in Sect. 16.2,
let us choose the gauge Lie group SU(N) with N = 2, 3, . . . and the corresponding
Lie algebra LG := su(N). In this setting, the following geometric
picture is behind BRST symmetry:
• antighosts are left-invariant velocity fields on the gauge group G;
• ghosts are dual objects to antighosts, that is, they are left-invariant covelocity
fields on G;
• states are differential forms on G;
• the BRST operator Q coincides with the Cartan derivative d of states; this
implies dd = 0;
• physical states are cocycles with respect to d;
• trivial physical states are coboundaries with respect to d;
• essential physical states are physical states by putting coboundaries equal
to zero; the essential physical states are also called the cohomology classes
with respect to d.
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 07:29
同调
[ltr]数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。
对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。
[/ltr]
[size][ltr]
同调群的构造[编辑]
其过程如下：给定对象
，首先定义链复形，它包含了的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模
的序列，群同态
满足任何两个相连的同态的复合为0: 
对于所有n成立。着意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的第n阶同调群为因子群（因子模）
链复形称为正合的，如果（n + 1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此的同调群是所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。
例子[编辑]
导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形的单纯同调。
在这里就是中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射，它将单纯形
映射为如下的和
如果我们将模取在一个域上，则的n阶同调的维数就是中n维的洞的个数。
仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间的奇异同调。我们定义的上同调的链复形中的空间为为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到的连续函数。同态
从单纯形的边界映射得到。
抽象代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子
和某个模开始。的链复形定义如下：首先找到一个自由模
和一个满同态
。然后找到一个自由模
和一个满同态
。以该方式继续，得到一个自由模
和同态
的序列。将函子应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调
仅依赖于和，并且按定义就是作用于的n阶导出函子。
同调函子[编辑]
链复形构成一个范畴：从链复形
到链复形
的态射是一个同态的序列
，满足
对于所有n成立。n阶同调 可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。
若链复形以协变的方式依赖于对象（也就是任何态射
诱导出一个从的链复形到
的链复形的态射），则是从所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。
同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为
）构成从所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。
性质[编辑]
若是链复形，满足出有限个外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数
（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:
并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象的重要的不变量
.
每个链复形的短正合序列
导致一个同调群的长正合序列
所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出，除了映射
之外。后者称为 连接同态，有蛇引理给出。
参看[编辑]
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[ltr]数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。
对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。
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同调群的构造[编辑]
其过程如下：给定对象
，首先定义链复形，它包含了的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模的序列，群同态满足任何两个相连的同态的复合为0: 对于所有n成立。着意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的第n阶同调群为因子群（因子模）链复形称为正合的，如果（n + 1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此
的同调群是所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。例子[编辑]
导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形
的单纯同调。在这里就是中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射，它将单纯形映射为如下的和
如果我们将模取在一个域上，则
的n阶同调的维数就是中n维的洞的个数。仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间
的奇异同调。我们定义的上同调的链复形中的空间为为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到的连续函数。同态从单纯形的边界映射得到。抽象代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子
和某个模开始。的链复形定义如下：首先找到一个自由模和一个满同态。然后找到一个自由模和一个满同态。以该方式继续，得到一个自由模和同态的序列。将函子应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调仅依赖于和，并且按定义就是作用于的n阶导出函子。同调函子[编辑]
链复形构成一个范畴：从链复形
到链复形的态射是一个同态的序列，满足对于所有n成立。n阶同调 可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。若链复形以协变的方式依赖于对象
（也就是任何态射诱导出一个从的链复形到的链复形的态射），则是从所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于
，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为）构成从所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。性质[编辑]
若
是链复形，满足出有限个外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:
并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象
的重要的不变量.每个链复形的短正合序列
导致一个同调群的长正合序列
所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出，除了映射
之外。后者称为 连接同态，有蛇引理给出。参看[编辑]
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分类：
同调论[编辑]
[ltr]数学中，同调论（homology theory）是拓扑空间“圈的同调”之直觉几何想法的公理化研究。它可以宽泛地定义为研究拓扑空间的同调理论。
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简单解释[编辑]
直觉上，同调是取一个等价关系，如果链 C - D 是一个高一维链的边界，则链 C 与 D 是同调的。最简单的例子是在图论中，有 C 和 D 两组顶点集，考虑到从 P到 Q 的有向边 E 的边缘是 Q-P。从 D 到 C 的一些边的集合，每一个与前一个相连，是一个同调。
一般的，一个 k-链视为形式组合
其中
是整数而 
是 X 上的 k-维单形。这里的边缘取一个单形的边界；它导致一个高维概念，k=1 即类似于图论情形中的裂项和。这个解释是1900年的风格，从技术上讲有些原始。
以环面为例[编辑]
例如，若 X 是一个二维环面 T，T 上一个一维圈从直觉来说是 T 中曲线之线性组合，且这些曲线是闭合的（圈条件，等价于没有边界）。如果 C 与 D 是以同样方式绕 T 一周的圈，则我们可清晰地找出 T 上一个定向区域其边界是 C − D。可以证明整系数 1-圈的同调类构成一个有两个生成元的自由阿贝尔群，他们是绕此环面的两种不同方式。
十九世纪[编辑]
这种层次的理解是十九世纪数学界中的共有性质，源于黎曼曲面的想法。十九世纪末，庞加莱给出了一个更一般但仍基于直觉的背景。
例如，考虑最先由庞加莱于1899年表述的一般斯托克斯定理：它必须涉及一个积分项（现在我们称为微分形式）和一个积分区域（一个 p-链），以及两类边缘算子，一个用现代术语是外微分，另一个是链上包含了定向的几何边缘算子，它可用于同调论。这两个算子是关于积分是伴随算子。
二十世纪[编辑]
粗糙地讲，对同调的几何论证直到二十世纪初才被严格的技术取代。起先时代的特色是使用组合拓扑（今日代数拓扑的先驱）。这假设了所处理的空间是单纯复形，但最感兴趣的空间通常是流形，故人为的三角化被引入了这个工具。始创者们比如所罗门·莱夫谢茨以及马斯顿·莫尔斯仍更偏好几何方法。组合观点使布劳威尔能证明比如单纯逼近定理之类的基本结论，基于同调是一个函子的想法。布劳威尔使用这个新工具能证明复分析基础的若尔当曲线定理，以及区域不变性；并消除了对拓扑论证的怀疑。
代数拓扑学[编辑]
通常将到“代数”拓扑的转变归功于埃米·诺特的影响，她坚持同调类属于商群——这种观点是基本的，现在已经作为定义[1]。事实上从1920年以来诺特与她的学生建立了任何环的模理论，这两种想法融合形成了系数取值于一个环的同调的概念。在此之前，系数（即链是空间上的基本几何链的线性组合的系数）通常是整数、实数或复数，或者有时为模2同余类。在新的情形下，没有理由不取模3同余类，例如：成为一个圈需满足更复杂的几何条件，例如图论中在每个顶点的边数都是3的倍数。但在代数几何中，定义没有任何新问题。万有系数定理指出整系数同调决定了所以其它同调理论，但利用了张量积；这不是止痛剂，在张量积有导出函子，导致一个一般的表述。
上同调与奇异同调[编辑]
1930年代是上同调论发展的十年，多个研究方向一起成长，而上面讲过在庞加莱工作中不明确的德拉姆上同调成为一个清楚的定理。上同调与同调是对偶理论；同时得知同调论，单纯同调，远非它故事的结束。奇异同调的定义避开了明显的三角化，其代价是引入无限生成模。
公理化与异常理论[编辑]
从1940年到1960年，代数拓扑迅速地发展，同调论的角色通常作为基本理论，容易计算，拓扑学家用它去计算其它函子。艾伦伯格与斯廷罗德的同调论公理化（艾伦伯格-斯廷罗德公理）揭示了同调理论的不同候选通常是，粗糙地讲，某些正合序列特别是迈耶-菲托里斯序列，以及算出了一个点的同调的维数公理。在拓扑K-理论与配边理论中导出的（上）同调，在同伦论中成为标准的推广到异常（上）同调论，中维数公里减弱了。他们对 CW复形范畴容易刻画。
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同调论现状[编辑]
对更一般（即不那么良态）的空间，借助于从层论中的想法得到同调论的许多推广，特别是局部紧空间的博雷尔-穆尔同调。
同调论的基本链复形转置很久以前就成为了同调代数中独立的一种技巧，并独立地应用于例如群上同调。从而在数学中不再只有一个同调论，而是有许多同调和上同调论。
脚注[编辑]
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参考文献[编辑]
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分类：
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同调论[编辑]
[ltr]数学中，同调论（homology theory）是拓扑空间“圈的同调”之直觉几何想法的公理化研究。它可以宽泛地定义为研究拓扑空间的同调理论。
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简单解释[编辑]
直觉上，同调是取一个等价关系，如果链 C - D 是一个高一维链的边界，则链 C 与 D 是同调的。最简单的例子是在图论中，有 C 和 D 两组顶点集，考虑到从 P到 Q 的有向边 E 的边缘是 Q-P。从 D 到 C 的一些边的集合，每一个与前一个相连，是一个同调。
一般的，一个 k-链视为形式组合
其中
是整数而 是 X 上的 k-维单形。这里的边缘取一个单形的边界；它导致一个高维概念，k=1 即类似于图论情形中的裂项和。这个解释是1900年的风格，从技术上讲有些原始。以环面为例[编辑]
例如，若 X 是一个二维环面 T，T 上一个一维圈从直觉来说是 T 中曲线之线性组合，且这些曲线是闭合的（圈条件，等价于没有边界）。如果 C 与 D 是以同样方式绕 T 一周的圈，则我们可清晰地找出 T 上一个定向区域其边界是 C − D。可以证明整系数 1-圈的同调类构成一个有两个生成元的自由阿贝尔群，他们是绕此环面的两种不同方式。
十九世纪[编辑]
这种层次的理解是十九世纪数学界中的共有性质，源于黎曼曲面的想法。十九世纪末，庞加莱给出了一个更一般但仍基于直觉的背景。
例如，考虑最先由庞加莱于1899年表述的一般斯托克斯定理：它必须涉及一个积分项（现在我们称为微分形式）和一个积分区域（一个 p-链），以及两类边缘算子，一个用现代术语是外微分，另一个是链上包含了定向的几何边缘算子，它可用于同调论。这两个算子是关于积分是伴随算子。
二十世纪[编辑]
粗糙地讲，对同调的几何论证直到二十世纪初才被严格的技术取代。起先时代的特色是使用组合拓扑（今日代数拓扑的先驱）。这假设了所处理的空间是单纯复形，但最感兴趣的空间通常是流形，故人为的三角化被引入了这个工具。始创者们比如所罗门·莱夫谢茨以及马斯顿·莫尔斯仍更偏好几何方法。组合观点使布劳威尔能证明比如单纯逼近定理之类的基本结论，基于同调是一个函子的想法。布劳威尔使用这个新工具能证明复分析基础的若尔当曲线定理，以及区域不变性；并消除了对拓扑论证的怀疑。
代数拓扑学[编辑]
通常将到“代数”拓扑的转变归功于埃米·诺特的影响，她坚持同调类属于商群——这种观点是基本的，现在已经作为定义[1]。事实上从1920年以来诺特与她的学生建立了任何环的模理论，这两种想法融合形成了系数取值于一个环的同调的概念。在此之前，系数（即链是空间上的基本几何链的线性组合的系数）通常是整数、实数或复数，或者有时为模2同余类。在新的情形下，没有理由不取模3同余类，例如：成为一个圈需满足更复杂的几何条件，例如图论中在每个顶点的边数都是3的倍数。但在代数几何中，定义没有任何新问题。万有系数定理指出整系数同调决定了所以其它同调理论，但利用了张量积；这不是止痛剂，在张量积有导出函子，导致一个一般的表述。
上同调与奇异同调[编辑]
1930年代是上同调论发展的十年，多个研究方向一起成长，而上面讲过在庞加莱工作中不明确的德拉姆上同调成为一个清楚的定理。上同调与同调是对偶理论；同时得知同调论，单纯同调，远非它故事的结束。奇异同调的定义避开了明显的三角化，其代价是引入无限生成模。
公理化与异常理论[编辑]
从1940年到1960年，代数拓扑迅速地发展，同调论的角色通常作为基本理论，容易计算，拓扑学家用它去计算其它函子。艾伦伯格与斯廷罗德的同调论公理化（艾伦伯格-斯廷罗德公理）揭示了同调理论的不同候选通常是，粗糙地讲，某些正合序列特别是迈耶-菲托里斯序列，以及算出了一个点的同调的维数公理。在拓扑K-理论与配边理论中导出的（上）同调，在同伦论中成为标准的推广到异常（上）同调论，中维数公里减弱了。他们对 CW复形范畴容易刻画。
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同调论现状[编辑]
对更一般（即不那么良态）的空间，借助于从层论中的想法得到同调论的许多推广，特别是局部紧空间的博雷尔-穆尔同调。
同调论的基本链复形转置很久以前就成为了同调代数中独立的一种技巧，并独立地应用于例如群上同调。从而在数学中不再只有一个同调论，而是有许多同调和上同调论。
脚注[编辑]
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- ^ Hilton 1988，第284页
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参考文献[编辑]
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- Hilton, Peter, A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century, Mathematics Magazine. 1988, 60 (5): 282-291
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 07:31
链复形[编辑]
[ltr]数学上，同调代数领域中的一个链复形
是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2... 通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：dn o dn+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式：
定义链复形的同调群为
。当所有同调群为零时，此链复形为正合的。
链复形概念的一个变种是上链复形。一个上链复形
是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2...由一系列同态dn : An→An+1相连，使得任何两个接连的映射的复合为零：dn+1 odn = 0 对于所有的n:
定义上链复形的上同调群为
。当所有上同调群为零时，此上链复形正合。想法基本上是一样的。
链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在交换范畴中定义。
一个有界复形是其中，几乎所有的Ai为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。
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例子[编辑]
奇异同调[编辑]
假定我们给定一个拓扑空间X。
定义Cn(X)（对于自然数n）为自由交换群由X中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射
其中帽子表示省略一个顶点。也就是说，一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和。可以证明∂² = 0，所以
是一个链复形；奇异同调 
是该复形的同调类；也就是说，
.
德拉姆上同调[编辑]
任何光滑流形上的微分k-形式在加法下组成一个交换群（事实上一个R-向量空间）称为Ωk(M)。 外导数 d = d k 映射 Ωk(M) → Ωk+1(M)，而且d 2 = 0可以直接从二阶导数的对称性导出，所以k-形式的向量空间和外导数一起成为一个上链复形：
该复形的上同调是德拉姆上同调
.
链映射[编辑]
两个链复形
、
之间的链映射是一族同态 ，使之满足： 
；全体链复形依此构成一范畴。链映射诱导出同调群间的映射。
上链复形的情形类似：两个上链复形
、
之间的上链映射是一族同态 
，使之满足： 
。上链映射也诱导出上同调群间的映射。
举例来说，拓扑空间之间的连续映射诱导出奇异上同调的链映射；而光滑流形间的光滑映射则诱导出德拉姆上同调的上链映射。这是函子性或称自然性的一个例子：空间与映射的拓扑/几何性质借此反映在代数结构上，因而变得容易操作与计算。
链同伦[编辑]
两个链映射
称作是同伦的，当且仅当存在一族同态 
使得 
。
上链映射的同伦定义也类似，惟此时考虑的是一族同态
。以下给出上链同伦的图解： 
（上）链同伦的链映射在（上）同调群上诱导出相同的映射。特别是：同伦于恒等映射 id. 的（上）链映射是拟同构。
链映射的同伦可理解作单纯形同伦的代数翻译。
参看[编辑]
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[ltr]数学上，同调代数领域中的一个链复形
是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2... 通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：dn o dn+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式：定义链复形的同调群为
。当所有同调群为零时，此链复形为正合的。链复形概念的一个变种是上链复形。一个上链复形
是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2...由一系列同态dn : An→An+1相连，使得任何两个接连的映射的复合为零：dn+1 odn = 0 对于所有的n:定义上链复形的上同调群为
。当所有上同调群为零时，此上链复形正合。想法基本上是一样的。链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在交换范畴中定义。
一个有界复形是其中，几乎所有的Ai为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。
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例子[编辑]
奇异同调[编辑]
假定我们给定一个拓扑空间X。
定义Cn(X)（对于自然数n）为自由交换群由X中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射
其中帽子表示省略一个顶点。也就是说，一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和。可以证明∂² = 0，所以
是一个链复形；奇异同调 是该复形的同调类；也就是说，.德拉姆上同调[编辑]
任何光滑流形上的微分k-形式在加法下组成一个交换群（事实上一个R-向量空间）称为Ωk(M)。 外导数 d = d k 映射 Ωk(M) → Ωk+1(M)，而且d 2 = 0可以直接从二阶导数的对称性导出，所以k-形式的向量空间和外导数一起成为一个上链复形：
该复形的上同调是德拉姆上同调
.链映射[编辑]
两个链复形
、 之间的链映射是一族同态 ，使之满足： ；全体链复形依此构成一范畴。链映射诱导出同调群间的映射。上链复形的情形类似：两个上链复形
、 之间的上链映射是一族同态 ，使之满足： 。上链映射也诱导出上同调群间的映射。举例来说，拓扑空间之间的连续映射诱导出奇异上同调的链映射；而光滑流形间的光滑映射则诱导出德拉姆上同调的上链映射。这是函子性或称自然性的一个例子：空间与映射的拓扑/几何性质借此反映在代数结构上，因而变得容易操作与计算。
链同伦[编辑]
两个链映射
称作是同伦的，当且仅当存在一族同态 使得 。上链映射的同伦定义也类似，惟此时考虑的是一族同态
。以下给出上链同伦的图解： 
（上）链同伦的链映射在（上）同调群上诱导出相同的映射。特别是：同伦于恒等映射 id. 的（上）链映射是拟同构。
链映射的同伦可理解作单纯形同伦的代数翻译。
参看[编辑]
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分类：
德拉姆上同调[编辑]
[ltr]数学上，德拉姆上同调（de Rham cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。
[/ltr]
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定义[编辑]
任何光滑流形M上的光滑微分k-形式在加法之下形成一个交换群(实际上也是一个实向量空间，称为
Ωk(M)
外导数 d 给了以下的映射
d:Ωk(M) → Ωk+1(M).
下面是一个基本的关系
d 2 = 0;
这本质上是因为二阶导数的对称性。所以k-形式和外导数形成一个上链复形(cochain complex),称为de Rham复形:
微分几何术语中，是其它微分形式的外导数的形式称为恰当形式(exact form)，而外导数为0的形式称为闭形式(参看闭形式和恰当形式);d 2 = 0这个关系说明
恰当的微分形式都是闭的.
其逆命题却一般来说不成立；闭形式未必恰当。de Rham上同调的想法就是给一个流形上不同类型的闭形式分类。分类这样进行：称
中的两个闭形式α 和 β 是上同调的，如果他们相差一个恰当形式，也就是，若
为恰当形式。这个分类导出一个 中的闭形式空间的一个等价关系。然后定义 k阶 de Rham上同调群为
HkdR(M)
等价类的集合，也就是，中闭形式模恰当形式.
注意，对所有有n个连通分支的流形 M，
H0dR(M) = Rn
其中等号表示同构。这是因为M上导数为零的
函数在每个连通分量上为常数。
例[编辑]
通常我们可以通过已知的0上同调群和Mayer-Vietoris序列来计算一个流形的其他的德拉姆上同调群。另一个有用的事实是德拉姆上同调是同伦不变量。下面是一些常见拓扑对象的上同调群，但我们没有给出计算步骤:
n-球:
对于n-球，或者球和一个开区间的乘积，我们有以下结果。令n > 0, m ≥ 0, 而 I 为一个实开区间. 则:
n-环面:
类似的，令 n > 0 , 可以得到:
穿孔欧几里得空间:
穿孔欧几里得空间就是拿掉原点的欧几里得空间。对于n > 0, 我们有:
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莫比乌斯带(Möbius strip), M:
大致来说，下面的结果或多或少是因为莫比乌斯带可"收缩(contract)"为一个1-球(圆):
调和形式[编辑]
若M是一个紧黎曼流形，则每个HkdR(M) 中的等价类包含恰好一个调和形式。也就是说，给定闭形式的等价类的任一代表 ω可以写为
其中 α 是一个形式，而γ 是调和的: Δγ=0.
注意一个紧黎曼流形上的调和函数是一个常数。这样，这个特殊的代表元素可以视为流形上所有上同调等价的形式中的一个极值(极小值)。例如，在2-圆环上，一个常1-形式可以视为在一个形式，它所有的"毛"都整齐的梳到一个方向(而且所有的毛都一样长)。这个情况下，这表示2维环的第一贝蒂数是2。更一般的，在一个n维环Tn上，可以考虑k-形式的各种不同的梳理。有n取k种不同的梳理用来建立 HkdR(Tn)的一个基; 因此n-环的第kBetti数就是n取k。
更精确的讲，对于一个微分流形M，可以装备一个附加的黎曼度量。这样拉普拉斯算子 Δ可以定义为
其中d是外导数 而 δ 是余微分。拉普拉斯算子是齐次的(在分次中)线性 微分算子作用在微分形式的外代数上：我们可以分别来看它在每个k阶分量上的作用。
若M为紧且可定向，拉普拉斯算子在k-形式的空间上的核的维度和k阶德拉姆上同调群的维度相同(根据霍奇理论:拉普拉斯算子从闭形式的每个上同调类中挑出唯一的一个调和形式。特别的，所有M上的调和k-形式同构于 Hk(M;R). 每个这种空间的维度都有限，并有k阶贝蒂数给出。
Hodge 分解[编辑]
令 δ 为余微分(codifferential),我们称形式ω 是上闭的(co-closed)如果δω=0 而称其为上恰当(co-exact)。若对于某个形式 α，有ω=δα 。Hodge分解表明任意k-形式 ω 可以分解为3个L2 分量:
其中 γ 为调和的: Δ γ = 0. 这是因为恰当和上恰当形式互相正交；他们的正交补就是同时恰当和上恰当的形式:也就是，调和形式。这里，正交性由上的L2内积定义:
精确的定义和分解的证明需要用索伯列夫空间来表述问题。主要的思想就是Sobolev空间提供了平方可积性和微分形式的柯西列收敛到极限形式的自然设置。这个语言使得我们得以克服紧支撑这样的限制，就像在亚历山大-斯潘尼尔上同调中那样。
德拉姆定理[编辑]
德拉姆定理, 由乔治·德拉姆在1931年证明，它表明对于一个紧致 可定向光滑流形M,群HkdR(M)同构于具有奇异上同调群
Hk(M;R).
的实向量空间。楔积赋予这些群的直和一个环结构。定理的进一步结果是这两个上同调环(作为分次环)是同构的。
一般化的斯托克斯定理是德拉姆上同调和链的同调群的对偶性的表达。[/ltr]
分类：
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德拉姆上同调[编辑]
[ltr]数学上，德拉姆上同调（de Rham cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。
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定义[编辑]
任何光滑流形M上的光滑微分k-形式在加法之下形成一个交换群(实际上也是一个实向量空间，称为
Ωk(M)
外导数 d 给了以下的映射
d:Ωk(M) → Ωk+1(M).
下面是一个基本的关系
d 2 = 0;
这本质上是因为二阶导数的对称性。所以k-形式和外导数形成一个上链复形(cochain complex),称为de Rham复形:
微分几何术语中，是其它微分形式的外导数的形式称为恰当形式(exact form)，而外导数为0的形式称为闭形式(参看闭形式和恰当形式);d 2 = 0这个关系说明
恰当的微分形式都是闭的.
其逆命题却一般来说不成立；闭形式未必恰当。de Rham上同调的想法就是给一个流形上不同类型的闭形式分类。分类这样进行：称
中的两个闭形式α 和 β 是上同调的，如果他们相差一个恰当形式，也就是，若为恰当形式。这个分类导出一个 中的闭形式空间的一个等价关系。然后定义 k阶 de Rham上同调群为HkdR(M)
等价类的集合，也就是，
中闭形式模恰当形式.注意，对所有有n个连通分支的流形 M，
H0dR(M) = Rn
其中等号表示同构。这是因为M上导数为零的
函数在每个连通分量上为常数。例[编辑]
通常我们可以通过已知的0上同调群和Mayer-Vietoris序列来计算一个流形的其他的德拉姆上同调群。另一个有用的事实是德拉姆上同调是同伦不变量。下面是一些常见拓扑对象的上同调群，但我们没有给出计算步骤:
n-球:
对于n-球，或者球和一个开区间的乘积，我们有以下结果。令n > 0, m ≥ 0, 而 I 为一个实开区间. 则:
n-环面:
类似的，令 n > 0 , 可以得到:
穿孔欧几里得空间:
穿孔欧几里得空间就是拿掉原点的欧几里得空间。对于n > 0, 我们有:
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 |  |
 |
莫比乌斯带(Möbius strip), M:
大致来说，下面的结果或多或少是因为莫比乌斯带可"收缩(contract)"为一个1-球(圆):
调和形式[编辑]
若M是一个紧黎曼流形，则每个HkdR(M) 中的等价类包含恰好一个调和形式。也就是说，给定闭形式的等价类的任一代表 ω可以写为
其中 α 是一个形式，而γ 是调和的: Δγ=0.
注意一个紧黎曼流形上的调和函数是一个常数。这样，这个特殊的代表元素可以视为流形上所有上同调等价的形式中的一个极值(极小值)。例如，在2-圆环上，一个常1-形式可以视为在一个形式，它所有的"毛"都整齐的梳到一个方向(而且所有的毛都一样长)。这个情况下，这表示2维环的第一贝蒂数是2。更一般的，在一个n维环Tn上，可以考虑k-形式的各种不同的梳理。有n取k种不同的梳理用来建立 HkdR(Tn)的一个基; 因此n-环的第kBetti数就是n取k。
更精确的讲，对于一个微分流形M，可以装备一个附加的黎曼度量。这样拉普拉斯算子 Δ可以定义为
其中d是外导数 而 δ 是余微分。拉普拉斯算子是齐次的(在分次中)线性 微分算子作用在微分形式的外代数上：我们可以分别来看它在每个k阶分量上的作用。
若M为紧且可定向，拉普拉斯算子在k-形式的空间上的核的维度和k阶德拉姆上同调群的维度相同(根据霍奇理论:拉普拉斯算子从闭形式的每个上同调类中挑出唯一的一个调和形式。特别的，所有M上的调和k-形式同构于 Hk(M;R). 每个这种空间的维度都有限，并有k阶贝蒂数给出。
Hodge 分解[编辑]
令 δ 为余微分(codifferential),我们称形式ω 是上闭的(co-closed)如果δω=0 而称其为上恰当(co-exact)。若对于某个形式 α，有ω=δα 。Hodge分解表明任意k-形式 ω 可以分解为3个L2 分量:
其中 γ 为调和的: Δ γ = 0. 这是因为恰当和上恰当形式互相正交；他们的正交补就是同时恰当和上恰当的形式:也就是，调和形式。这里，正交性由
上的L2内积定义:精确的定义和分解的证明需要用索伯列夫空间来表述问题。主要的思想就是Sobolev空间提供了平方可积性和微分形式的柯西列收敛到极限形式的自然设置。这个语言使得我们得以克服紧支撑这样的限制，就像在亚历山大-斯潘尼尔上同调中那样。
德拉姆定理[编辑]
德拉姆定理, 由乔治·德拉姆在1931年证明，它表明对于一个紧致 可定向光滑流形M,群HkdR(M)同构于具有奇异上同调群
Hk(M;R).
的实向量空间。楔积赋予这些群的直和一个环结构。定理的进一步结果是这两个上同调环(作为分次环)是同构的。
一般化的斯托克斯定理是德拉姆上同调和链的同调群的对偶性的表达。[/ltr]
分类：
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由 一星 2014-08-01, 07:35
平展上同调[编辑]
[ltr]在数学中，一个代数簇或概形的平展上同调（Étale cohomology）是一个与一般拓扑空间的有限系数上同调群类似的代数结构。这一概念作为证明韦伊猜想的工具由亚历山大·格罗滕迪克引入。平展上同调的理论可以用于构建ℓ进上同调，后者则是代数几何中韦伊上同调理论的一个例子。这一理论有着众多的应用，包括Weil猜想的证明以及李型有限单群的表示的构造。[/ltr]
[ltr]
目的[编辑]
对于复代数簇，代数拓扑中的某些不变量（例如基本群和上同调）是非常有用的，因此自然地我们希望为其他域（例如有限域）上的代数簇也定义类似的概念。（特别地，韦伊指出了这样的上同调理论可以用于证明韦伊猜想。）对于凝聚层的上同调，塞尔指出仅利用代数簇上的扎里斯基拓扑就可以进行定义，而且在复代数簇的情况下，这样的定义可以与（更细致的）复数拓扑导出相同的上同调群。但是，对于常值层（例如整数层），这样的定义则不适用，因为使用扎里斯基拓扑定义的上同调群效果不佳。例如，韦伊希望可以为有限域上的簇构造一个上同调理论，使其拥有与拓扑空间的奇异上同调有类似的效力；但实际上，任何不可约簇上的常值层都有着平凡的上同调群（所有高阶上同调群都是平凡的）。
扎里斯基拓扑之所以不适用，是因为它过于粗糙：它包含的开集过少。另一方面，为任意的代数簇赋予更细致的拓扑似乎也并不可行。格罗滕迪克的创见则在于认识到广义的开集并不需要是代数簇的子集：层的定义并不需要限制于开子集范畴，事实上它对于任何范畴都一样适用。于是，格罗滕迪克将开子集范畴替换为平展态射范畴，并由此定义了平展上同调。粗略地来说，平展态射可以被看作空间的有限非分支覆盖上的开集。这样的构造，（经过大量的工作之后），被证明提供了恰好足够多的开集，使得常系数上同调群（特别地，对于
，其中n与域特征互质）有良好的性质。
一些基本的直观理解如下：[/ltr]
[ltr]
定义[编辑]
令
为一个概形之间的态射，
为一个Y-概形，J为一个Z上的幂零理想层（nilpotent sheaf of ideals），
为
所确定的闭浸入。我们称是形式平展的，若对于所有的Y-态射
，都存在唯一的Y-态射
使得
。[1]我们称是局部有限表示的，若对于的每一点
, 都有一个的邻域
和
的邻域
使得
而且
是一个
上的有限表示代数（即，前者可被看作后者的一个有限多项式环约去一个有限生成理想所得到的商代数）。[2]一个形式平展且局部有限表示的态射被成为一个平展态射（Étale morphism）。等效地，一个平坦（flat）且非分歧（unramified）的态射是一个平展态射（参见：概形论术语）。
对于任何一个概形，令
表示其全部平展态射组成的范畴。注意到它与概形的关系类似于开子集范畴与拓扑空间的关系，而该范畴的对象则可以被（非正式地）看成是X的“平展开子集”。拓扑空间中两个开集的交集则可以看成两个平展态射的拉回。稍微需要注意的一点细节是并非是一个小范畴；但是因为平展态射是局部有限表示的，将其视作小范畴亦无妨。
一个拓扑空间上的预层是一个从开子集范畴到集合范畴（
）的逆变函子；类似地，我们定义一个概形的平展预层为从到的一个逆变函子。一个预层被称为层，若层条件（当一个开集被
覆盖，且
均被给定，使得所有的这些在任意的
上都有一致的取值，则都是唯一的某个
的像）可以得到满足；因此类似地，我们称一个平展预层为平展层，若对应的平展层条件得到满足。（这里“并集”被平展映射的拉回代替，而“
覆盖
”则被定义为
覆盖。）对于任何范畴上的格罗滕迪克拓扑，我们都可以类似地定义层的概念。
因为一个概形上的阿贝尔层（取值为阿贝尔群的层）的范畴包含足够多的单射对象，我们可以在其上定义左正合函子的右导出函子。对于一个阿贝尔层的范畴
，其全局截面函子是一个映射
，将每个层映射到其全局截面（也就是
）。给定一个阿贝尔层，定义其平展上同调群
为的右导出函子
在上的值。特别地，
便是
。
更为一般地，若是一个从到的概形态射，则有
函子从X的平展层映射到Y的平展层，而其右导出函子则被写为
。若Y是一个代数闭域的谱（也就是一个点），则
与相同。
令X为诺特概形。若一个X的阿贝尔平展层被X的一个平展覆盖所表示，则我们称其为有限局部常值的。若X可被有限个子概形覆盖，且F在每个子概形上都是有限局部常值的，则称F为可构造的。若对于任何X的平展覆盖U，都是挠群，则称F为挠的。自然地，有限局部常值的层都是可构造的，而可构造层都是挠的。每一个挠层都是一个可构造层的滤子归纳极限。
ℓ进上同调群[编辑]
在关于有限域
的代数几何中，一个重要的目标是找到可以作为整数（或有理数）系数奇异上同调群的替代的结构，因为奇异上同调群在有限域下并不像复数域下一样有着良好的性质。对于（其中n互质于域特征）系数，平展上同调表现尚可，但对于无挠系数则无法给出良好的结果。为了得到无挠的上同调群，我们需要取带某些挠元系数的平展上同调群的逆极限，而这种构造所得到的结构称为ℓ进上同调群。（此处ℓ代表一个与域特征p不同的质数。）对于一个概形V，考虑上同调群
并定义其ℓ进上同调群为其逆极限：
此处
表示ℓ进数，但这一定义则是通过考虑一系列带
系数的常值层完成的。（此处有一个恶名昭著的陷阱：上同调不与逆极限交换，而用逆极限定义的ℓ进上同调群不是系数在平展层内的上同调群——后者虽然存在，但给出的上同调群是错误的）。
更为一般地，令F是一个平展层
的逆序列，则F的上同调可以定义为层的上同调的逆极限：
注意，虽然如下的自然映射存在：
一般来说这个映射并不是一个同构。ℓ进层是一个特殊的平展层逆系统，其中i是正整数，是一个
模，而
到的映射则是模的约化。
若V是一个非奇异的代数曲线，
，则
是一个自由
模，其秩为
（g是V的亏格），且与V的雅可比簇的泰特模对偶。因为一个黎曼曲面的贝蒂数是2g，该群与复数代数曲线的系数奇异上同调群同构。这个例子也说明了为什么我们要求ℓ不等于p：在两者相同的时候，泰特模的秩最多是g。
ℓ进上同调群可能包含挠子群，而迈克尔·阿廷和戴维·芒福德在处理几何问题的时候也用到了这样的性质。若需要从ℓ进上同调群中完全去除挠子群从而得到可被视作零特征域上的向量空间的上同调群，则可以使用如下定义：
（注意这里的符号可能有误导性：
既不是平展层，也不是ℓ进层）。
性质[编辑]
大致上，ℓ进上同调群与复数簇的奇异上同调群有类似的性质，区别在于前者是ℓ进数（或ℓ进有理数）的模而后者是整数（或有理数）的模。在非奇异射影簇上，庞加莱对偶性成立，且复数簇的“模p约化”的ℓ进上同调群与奇异上同调群多数情况下有同样的秩。Künneth公式同样也成立。
例如，一个复椭圆曲线的第一上同调群是一个秩为2的整数自由模，而一个有限域椭圆曲线的第一ℓ进上同调群则是一个秩为2的ℓ进数自由模（只要ℓ不是该有限域的特征），而且后者与泰特模对偶。
ℓ进上同调群在一个意义上优于奇异上同调群：前者往往受伽罗瓦群作用。例如，若一个复数簇在有理数上定义，则其ℓ进上同调群受有理数的绝对伽罗瓦群的作用，因此是一个伽罗瓦表示。
有理数的伽罗瓦群的元素（除去平凡元和共轭元之外），大多不在有理数上定义的复数簇上有连续作用，因此大多不在奇异上同调群上作用。这一现象与拓扑空间的基本群在奇异上同调群上作用的事实有关，因为格罗滕迪克证明了伽罗瓦群可以被视作某种形式的基本群。
平展上同调群的例子[编辑][/ltr]
[ltr]
参见[编辑][/ltr]
[ltr]
书目[编辑][/ltr]
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外部链接[编辑][/ltr]
[ltr]在数学中，一个代数簇或概形的平展上同调（Étale cohomology）是一个与一般拓扑空间的有限系数上同调群类似的代数结构。这一概念作为证明韦伊猜想的工具由亚历山大·格罗滕迪克引入。平展上同调的理论可以用于构建ℓ进上同调，后者则是代数几何中韦伊上同调理论的一个例子。这一理论有着众多的应用，包括Weil猜想的证明以及李型有限单群的表示的构造。[/ltr]
[ltr]
目的[编辑]
对于复代数簇，代数拓扑中的某些不变量（例如基本群和上同调）是非常有用的，因此自然地我们希望为其他域（例如有限域）上的代数簇也定义类似的概念。（特别地，韦伊指出了这样的上同调理论可以用于证明韦伊猜想。）对于凝聚层的上同调，塞尔指出仅利用代数簇上的扎里斯基拓扑就可以进行定义，而且在复代数簇的情况下，这样的定义可以与（更细致的）复数拓扑导出相同的上同调群。但是，对于常值层（例如整数层），这样的定义则不适用，因为使用扎里斯基拓扑定义的上同调群效果不佳。例如，韦伊希望可以为有限域上的簇构造一个上同调理论，使其拥有与拓扑空间的奇异上同调有类似的效力；但实际上，任何不可约簇上的常值层都有着平凡的上同调群（所有高阶上同调群都是平凡的）。
扎里斯基拓扑之所以不适用，是因为它过于粗糙：它包含的开集过少。另一方面，为任意的代数簇赋予更细致的拓扑似乎也并不可行。格罗滕迪克的创见则在于认识到广义的开集并不需要是代数簇的子集：层的定义并不需要限制于开子集范畴，事实上它对于任何范畴都一样适用。于是，格罗滕迪克将开子集范畴替换为平展态射范畴，并由此定义了平展上同调。粗略地来说，平展态射可以被看作空间的有限非分支覆盖上的开集。这样的构造，（经过大量的工作之后），被证明提供了恰好足够多的开集，使得常系数上同调群（特别地，对于
，其中n与域特征互质）有良好的性质。一些基本的直观理解如下：[/ltr]
- 若隐函数定理在代数几何中为真，则平展条件可被看作该定理的前提。（注意隐函数定理在一般的代数几何中并不为真）
- 对于阿贝尔簇，在0和1维的情况下，一些常系数层的基本情况可以用其他理论（例如伽罗瓦上同调和泰特模）来预测。
[ltr]
定义[编辑]
令
为一个概形之间的态射，为一个Y-概形，J为一个Z上的幂零理想层（nilpotent sheaf of ideals），为所确定的闭浸入。我们称是形式平展的，若对于所有的Y-态射，都存在唯一的Y-态射使得。[1]我们称是局部有限表示的，若对于的每一点, 都有一个的邻域和的邻域使得而且是一个上的有限表示代数（即，前者可被看作后者的一个有限多项式环约去一个有限生成理想所得到的商代数）。[2]一个形式平展且局部有限表示的态射被成为一个平展态射（Étale morphism）。等效地，一个平坦（flat）且非分歧（unramified）的态射是一个平展态射（参见：概形论术语）。对于任何一个概形
，令表示其全部平展态射组成的范畴。注意到它与概形的关系类似于开子集范畴与拓扑空间的关系，而该范畴的对象则可以被（非正式地）看成是X的“平展开子集”。拓扑空间中两个开集的交集则可以看成两个平展态射的拉回。稍微需要注意的一点细节是并非是一个小范畴；但是因为平展态射是局部有限表示的，将其视作小范畴亦无妨。一个拓扑空间上的预层
是一个从开子集范畴到集合范畴（）的逆变函子；类似地，我们定义一个概形的平展预层为从到的一个逆变函子。一个预层被称为层，若层条件（当一个开集被覆盖，且均被给定，使得所有的这些在任意的上都有一致的取值，则都是唯一的某个的像）可以得到满足；因此类似地，我们称一个平展预层为平展层，若对应的平展层条件得到满足。（这里“并集”被平展映射的拉回代替，而“覆盖”则被定义为覆盖。）对于任何范畴上的格罗滕迪克拓扑，我们都可以类似地定义层的概念。因为一个概形上的阿贝尔层（取值为阿贝尔群的层）的范畴包含足够多的单射对象，我们可以在其上定义左正合函子的右导出函子。对于一个阿贝尔层的范畴
，其全局截面函子是一个映射，将每个层映射到其全局截面（也就是）。给定一个阿贝尔层，定义其平展上同调群为的右导出函子在上的值。特别地，便是。更为一般地，若
是一个从到的概形态射，则有函子从X的平展层映射到Y的平展层，而其右导出函子则被写为。若Y是一个代数闭域的谱（也就是一个点），则与相同。令X为诺特概形。若一个X的阿贝尔平展层被X的一个平展覆盖所表示，则我们称其为有限局部常值的。若X可被有限个子概形覆盖，且F在每个子概形上都是有限局部常值的，则称F为可构造的。若对于任何X的平展覆盖U，
都是挠群，则称F为挠的。自然地，有限局部常值的层都是可构造的，而可构造层都是挠的。每一个挠层都是一个可构造层的滤子归纳极限。ℓ进上同调群[编辑]
在关于有限域
的代数几何中，一个重要的目标是找到可以作为整数（或有理数）系数奇异上同调群的替代的结构，因为奇异上同调群在有限域下并不像复数域下一样有着良好的性质。对于（其中n互质于域特征）系数，平展上同调表现尚可，但对于无挠系数则无法给出良好的结果。为了得到无挠的上同调群，我们需要取带某些挠元系数的平展上同调群的逆极限，而这种构造所得到的结构称为ℓ进上同调群。（此处ℓ代表一个与域特征p不同的质数。）对于一个概形V，考虑上同调群并定义其ℓ进上同调群为其逆极限：
此处
表示ℓ进数，但这一定义则是通过考虑一系列带系数的常值层完成的。（此处有一个恶名昭著的陷阱：上同调不与逆极限交换，而用逆极限定义的ℓ进上同调群不是系数在平展层内的上同调群——后者虽然存在，但给出的上同调群是错误的）。更为一般地，令F是一个平展层
的逆序列，则F的上同调可以定义为层的上同调的逆极限：注意，虽然如下的自然映射存在：
一般来说这个映射并不是一个同构。ℓ进层是一个特殊的平展层逆系统
，其中i是正整数，是一个模，而到的映射则是模的约化。若V是一个非奇异的代数曲线，
，则是一个自由模，其秩为（g是V的亏格），且与V的雅可比簇的泰特模对偶。因为一个黎曼曲面的贝蒂数是2g，该群与复数代数曲线的系数奇异上同调群同构。这个例子也说明了为什么我们要求ℓ不等于p：在两者相同的时候，泰特模的秩最多是g。ℓ进上同调群可能包含挠子群，而迈克尔·阿廷和戴维·芒福德在处理几何问题的时候也用到了这样的性质。若需要从ℓ进上同调群中完全去除挠子群从而得到可被视作零特征域上的向量空间的上同调群，则可以使用如下定义：
（注意这里的符号可能有误导性：
既不是平展层，也不是ℓ进层）。性质[编辑]
大致上，ℓ进上同调群与复数簇的奇异上同调群有类似的性质，区别在于前者是ℓ进数（或ℓ进有理数）的模而后者是整数（或有理数）的模。在非奇异射影簇上，庞加莱对偶性成立，且复数簇的“模p约化”的ℓ进上同调群与奇异上同调群多数情况下有同样的秩。Künneth公式同样也成立。
例如，一个复椭圆曲线的第一上同调群是一个秩为2的整数自由模，而一个有限域椭圆曲线的第一ℓ进上同调群则是一个秩为2的ℓ进数自由模（只要ℓ不是该有限域的特征），而且后者与泰特模对偶。
ℓ进上同调群在一个意义上优于奇异上同调群：前者往往受伽罗瓦群作用。例如，若一个复数簇在有理数上定义，则其ℓ进上同调群受有理数的绝对伽罗瓦群的作用，因此是一个伽罗瓦表示。
有理数的伽罗瓦群的元素（除去平凡元和共轭元之外），大多不在有理数上定义的复数簇上有连续作用，因此大多不在奇异上同调群上作用。这一现象与拓扑空间的基本群在奇异上同调群上作用的事实有关，因为格罗滕迪克证明了伽罗瓦群可以被视作某种形式的基本群。
平展上同调群的例子[编辑][/ltr]
- 若X是一个带有绝对伽罗瓦群G的域K的谱，则X的平展层与受G作用的连续集（或阿贝尔群）有一一对应，而层的平展上同调则等于G的群上同调（伽罗瓦上同调）。
- 若X是一个复数簇，则有限系数的平展上同调同构于有限系数的奇异上同调。（这对于整数系数并不成立。）此外，任何可构造层系数的上同调都是一致的。
- 若F是一个凝聚层（或
），则F的平展上同调和塞尔的凝聚层上同调（用扎里斯基拓扑计算得到）等同。若X是复数簇，则该上同调也与用一般复数拓扑计算得到的层上同调等同。 - 对于阿贝尔簇和代数曲线，ℓ进上同调有着初等的表述。对于阿贝尔簇，第一ℓ进上同调群是泰特模的对偶，而高阶上同调群由第一ℓ进上同调的外幂（Exterior power）给出。对于曲线，第一ℓ进上同调群则是其雅可比簇的上同调群。这也解释了为何韦伊可以在这两个情况下给出韦伊猜想的初等证明：一般来说，若存在ℓ进上同调群的初等描述，则也可能存在相应的初等证明。
[ltr]
参见[编辑][/ltr]
- ^ Grothendieck & Dieudonné 1964，Définition 17.1.1.
- ^ Grothendieck & Dieudonné 1964，§1.4.
[ltr]
书目[编辑][/ltr]
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1964, 20. MR 0173675.
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1967, 32. MR 0238860.
[ltr]
外部链接[编辑][/ltr]
分类：
李代数上同调[编辑]
[ltr]在数学中，李代数上同调是李代数的一种上同调理论，由谢瓦莱和艾伦伯格[1]为了对紧李群的拓扑空间的上同调进行代数构造而建立。在上文提及的论文中，一个特定的被称作Koszul复形的特殊复形，在李代数的模上定义，而其上同调则以一般形式被构造。[/ltr]
[ltr]
动机[编辑]
令G为一个紧李群，则其被对应的李代数完全确定，因此由李代数来确定李群上同调应为可能的。我们使用如下的构造。注意到李群的上同调是G上的微分形式构成的复形对应的德拉姆上同调，而这个复形可以被替换为等变微分形式的复形，而后者则可以被看作带有一个合适的微分算子的李代数的外代数。这一微分算子的构造对于任何李代数都成立，因此被用于定义所有李代数的李代数上同调。更加一般化地，我们可以用类似的构造来定义模系数的李代数上同调。
定义[编辑]
令
是一个交换环R上的一个李代数，其泛包络代数为
；令M为的一个表示（或者，等效地，的一个模）。将R考虑为的一个平凡表示，则可以构造上同调群
（参见Ext函子）。等效地，我们可以将其看作下面这个左正合不变子模函子的右导出函子：
类似地，可以定义李代数同调群为
（参见Tor函子）。我们也可以将其看作下面这个右正合协不变函子的左导出函子：
李代数上同调的重要基本结果包括：怀特海德引理，外尔定理和莱维分解定理。
低维上同调[编辑]
第零上同调群，由定义，是李代数在模上作用的不变量：
第一上同调群，是所有导子的空间模去内导子空间：
其中导子指一个从李代数到M的映射d使得
若有M内的元素a使得
则称其为内导子。
第二上同调群
是由M对李代数的李代数扩张的等价类的空间
对于更高维的上同调群，似乎没有简单的诠释存在。
参见[编辑][/ltr]
[ltr]
注释[编辑][/ltr]
[ltr]
文献[编辑][/ltr]
分类：
李代数上同调[编辑]
[ltr]在数学中，李代数上同调是李代数的一种上同调理论，由谢瓦莱和艾伦伯格[1]为了对紧李群的拓扑空间的上同调进行代数构造而建立。在上文提及的论文中，一个特定的被称作Koszul复形的特殊复形，在李代数的模上定义，而其上同调则以一般形式被构造。[/ltr]
[ltr]
动机[编辑]
令G为一个紧李群，则其被对应的李代数完全确定，因此由李代数来确定李群上同调应为可能的。我们使用如下的构造。注意到李群的上同调是G上的微分形式构成的复形对应的德拉姆上同调，而这个复形可以被替换为等变微分形式的复形，而后者则可以被看作带有一个合适的微分算子的李代数的外代数。这一微分算子的构造对于任何李代数都成立，因此被用于定义所有李代数的李代数上同调。更加一般化地，我们可以用类似的构造来定义模系数的李代数上同调。
定义[编辑]
令
是一个交换环R上的一个李代数，其泛包络代数为；令M为的一个表示（或者，等效地，的一个模）。将R考虑为的一个平凡表示，则可以构造上同调群（参见Ext函子）。等效地，我们可以将其看作下面这个左正合不变子模函子的右导出函子：
类似地，可以定义李代数同调群为
（参见Tor函子）。我们也可以将其看作下面这个右正合协不变函子的左导出函子：
李代数上同调的重要基本结果包括：怀特海德引理，外尔定理和莱维分解定理。
低维上同调[编辑]
第零上同调群，由定义，是李代数在模上作用的不变量：
第一上同调群，是所有导子的空间模去内导子空间：
其中导子指一个从李代数到M的映射d使得
若有M内的元素a使得
则称其为内导子。
第二上同调群
是由M对李代数的李代数扩张的等价类的空间
对于更高维的上同调群，似乎没有简单的诠释存在。
参见[编辑][/ltr]
- 理论物理学中的BRST量子化。
[ltr]
注释[编辑][/ltr]
[ltr]
文献[编辑][/ltr]
- Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel, Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras, Transactions of the American Mathematical Society. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 1948, 63 (1): 85–124, doi:10.2307/1990637, ISSN 0002-9947
- Hilton, P. J.; Stammbach, U., A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, 4. 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1997, ISBN 978-0-387-94823-2
- Knapp, Anthony W., Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes, 34, Princeton University Press. 1988, ISBN 978-0-691-08498-5
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群上同调[编辑]
[ltr]在同调代数中，群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑，在代数数论上也有重要应用；它是现代类域论的基本构件之一。
[/ltr]
[size][ltr]
起源[编辑]
群论中的指导思想之一，是研究群
及其表示的关系。群 的表示是 -模的特例：一个 -模是一个阿贝尔群 
配上 在 上的群作用 
。等价的说法是： 是群环 
上的模。通常将 的作用写成乘法 
。全体 -模自然地构成一个阿贝尔范畴。
对给定的-模 ，最重要的子群之一是其 -不变子群
若
是一个 -子模（即：是 的子群，且在 的作用下不变），则 
上赋有自然的 -模结构，
，但是未必有 
。第一个群上同调群 
可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言，可以定义一族函子 
，其间关系可以由长正合序列表示。
形式建构[编辑]
以下假设 为有限群，全体 -模构成阿贝尔范畴，其间的态射 
定义为满足 
的群同态 
。由于此范畴等价于 -模范畴，故有充足的内射对象。
函子
是从 -模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 
为其导函子。根据导函子的一般理论，可知：
[/ltr][/size]
[size][ltr]
在上述定义中，若固定一个域
，并以 
代替 ，得到的上同调群依然同构。
标准分解[编辑]
导出函子的定义来自内射分解，不便于具体计算。然而注意到
，其中 
被赋予平凡的 作用：
，故群上同调可以用Ext函子表达为
另一方面，-模范畴中也有充足的射影对象，若取一 的射影分解 
，则有自然的同构 
。最自然的分解是标准分解
而
由 
给出。
定义
，其元素为形如 
的函数，并满足 
，称之为齐次上链。根据 在 
上的作用，这种 由它在形如 
的元素上的取值确定。借此，可将上链复形 
描述为
[/ltr][/size]
[size][ltr]
其中的元素称为非齐次上链。
综上所述，得到
。
例子[编辑]
较常用的上同调是 与 
。从标准分解可导出以下的描述：
准此要领，亦有
群同调[编辑]
上述理论有一对偶版本：对于任一-模 ，定义 
为形如 
的元素生成之子模。考虑从 -模范畴映至阿贝尔群范畴的函子
这是一个右正合函子，其导出函子称为为群同调
。群同调可以藉Tor函子描述为
对于有限群，群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。
非阿贝尔群上同调[编辑]
将上述定义中的-模 改成一般的群 
（未必交换），并带有 的作用 
（称之为 -群）。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调：
须留意
并不是群，而是带有一个指定元素的集合（来自 的单位元），以下所谓的正合性，都应该在此意义下理解。
若
是 -群的短正合序列，则有长正合序列
若落在 
的中心，此序列右端可再加一项 
。
性质[编辑]
Res 与 Cor[编辑]
若
为群同态，则可将任一 -模透过 视为 
-模，此运算导出上同调之间的映射
此映射与群上同调的长正合序列相容。当 是 的子群而 是包含映射，导出的映射称为限制映射，记为 Res。
由于我们假设 为有限群，必有 
，此时映射
导出一个上限制映射
。
定理.
中心扩张[编辑]
若 是平凡的 模（即 
），则 
中的元素一一对应于 对 的中心扩张的等价类
中心扩张意谓：
是群扩张，而且 落在 
的中心内。
具体描述方法是：任取一映射
。
不一定是群同态，但存在函数 
使得 
。 及 刻划了 的群结构。不难验证 
满足 
，而 的选取对应于 
，所以 
仅决定于唯一的一个中心扩张。反之，任一 都来自于某个中心扩张，证毕。
谱序列[编辑]
若
是 的正规子群，则有下述谱序列
对于射影有限群，此式依然成立。
参考文献[编辑]
[/ltr][/size]
[ltr]在同调代数中，群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑，在代数数论上也有重要应用；它是现代类域论的基本构件之一。
[/ltr]
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起源[编辑]
群论中的指导思想之一，是研究群
及其表示的关系。群 的表示是 -模的特例：一个 -模是一个阿贝尔群 配上 在 上的群作用 。等价的说法是： 是群环 上的模。通常将 的作用写成乘法 。全体 -模自然地构成一个阿贝尔范畴。对给定的
-模 ，最重要的子群之一是其 -不变子群若
是一个 -子模（即：是 的子群，且在 的作用下不变），则 上赋有自然的 -模结构，，但是未必有 。第一个群上同调群 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言，可以定义一族函子 ，其间关系可以由长正合序列表示。形式建构[编辑]
以下假设
为有限群，全体 -模构成阿贝尔范畴，其间的态射 定义为满足 的群同态 。由于此范畴等价于 -模范畴，故有充足的内射对象。函子
是从 -模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 为其导函子。根据导函子的一般理论，可知：[/ltr][/size]
- 长正合序列：若
为 -模的短正合序列，则导出相应的长正合序列
[size][ltr]
在上述定义中，若固定一个域
，并以 代替 ，得到的上同调群依然同构。标准分解[编辑]
导出函子的定义来自内射分解，不便于具体计算。然而注意到
，其中 被赋予平凡的 作用：，故群上同调可以用Ext函子表达为另一方面，
-模范畴中也有充足的射影对象，若取一 的射影分解 ，则有自然的同构 。最自然的分解是标准分解而
由 给出。定义
，其元素为形如 的函数，并满足 ，称之为齐次上链。根据 在 上的作用，这种 由它在形如 的元素上的取值确定。借此，可将上链复形 描述为[/ltr][/size]
- 的元素为
之函数。 
[size][ltr]
其中的元素称为非齐次上链。
综上所述，得到
。例子[编辑]
较常用的上同调是
与 。从标准分解可导出以下的描述：准此要领，亦有
群同调[编辑]
上述理论有一对偶版本：对于任一
-模 ，定义 为形如 的元素生成之子模。考虑从 -模范畴映至阿贝尔群范畴的函子这是一个右正合函子，其导出函子称为为群同调
。群同调可以藉Tor函子描述为对于有限群，群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。
非阿贝尔群上同调[编辑]
将上述定义中的
-模 改成一般的群 （未必交换），并带有 的作用 （称之为 -群）。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调：须留意
并不是群，而是带有一个指定元素的集合（来自 的单位元），以下所谓的正合性，都应该在此意义下理解。若
是 -群的短正合序列，则有长正合序列若
落在 的中心，此序列右端可再加一项 。性质[编辑]
Res 与 Cor[编辑]
若
为群同态，则可将任一 -模透过 视为 -模，此运算导出上同调之间的映射此映射与群上同调的长正合序列相容。当
是 的子群而 是包含映射，导出的映射称为限制映射，记为 Res。由于我们假设
为有限群，必有 ，此时映射导出一个上限制映射
。定理.
中心扩张[编辑]
若
是平凡的 模（即 ），则 中的元素一一对应于 对 的中心扩张的等价类中心扩张意谓：
是群扩张，而且 落在 的中心内。具体描述方法是：任取一映射
。 不一定是群同态，但存在函数 使得 。 及 刻划了 的群结构。不难验证 满足 ，而 的选取对应于 ，所以 仅决定于唯一的一个中心扩张。反之，任一 都来自于某个中心扩张，证毕。谱序列[编辑]
若
是 的正规子群，则有下述谱序列对于射影有限群，此式依然成立。
参考文献[编辑]
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- Hopf, Heinz, Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe, Comment. Math. Helv.. 1942, 14: 257--309, MR6510
- Milne, James, Class Field Theory. 2007, Chapter II
- Rotman, Joseph, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag. 1995, MR1307623, ISBN 978-0-387-94285-8
- Serre, Jean-Pierre, Corps locaux, Paris: Hermann. 1968, ISBN 2-7056-1296-3, Chapitre VII
- Serre, Jean-Pierre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics, 5. Fifth, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1994, MR1324577, ISBN 978-3-540-58002-7
- Shatz, Stephen S., Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton, NJ: Princeton University Press. 1972, MR0347778, ISBN 978-0-691-08017-8
分类：
伽罗瓦上同调[编辑]
[ltr]在数学中，伽罗瓦上同调是一套用群上同调研究伽罗瓦群的作用的技术。具体言之，假设伽罗瓦群
作用在一个群 （通常是数论中出现的代数结构，如 
等等）上，伽罗瓦上同调研究相关的群上同调 
。这些群通常具有重要的数论或算术代数几何意义。
伽罗瓦上同调是现代代数数论的基石之一。
在代数数论中的应用[size=13][编辑]
伽罗瓦上同调最早在1950年代被提出，主要与克劳德·谢瓦莱在类域论上的工作相关。这套理论的目的在以群上同调“代数地”阐释类域论，避免使用L-函数。哈瑟原理在伽罗瓦上同调的框架下能得到清晰的描述。
在代数几何中的应用[编辑]
伽罗瓦上同调关系到算术代数几何中的许多重要问题，例如椭圆曲线上的整点个数。作为下降理论在平展拓扑上的应用，第一个伽罗瓦上同调群分类了概形
上的扭子，这是主丛在代数几何上的推广。借着下降理论，可以用伽罗瓦上同调研究二次型式、中心单代数与 Severi-Brauer 簇等等结构。
文献[编辑]
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分类：
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霍赫希尔德同调[编辑]
[ltr]数学中，霍赫希尔德同调（Hochschild homology）是环上结合代数的同调论。对某些函子也有一个霍赫希尔德同调。这是以德国数学家格哈德·霍赫希尔德（Gerhard Hochschild）冠名的。
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2 函子的霍赫希尔德同调
2.1 Loday 函子
2.2 代数的霍赫希尔德同调之另一描述
3 参考文献
4 相关条目
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代数的霍赫希尔德同调之定义[编辑]
设 k 是一个环，A 是一个结合 k-代数，M 是一个 A-双模。我们记 A⊗n 为 A 在 k 上的 n 重张量积。给出霍赫希尔德同调的链复形是
边缘算子 di 定义为
这里对所有 1 ≤ i ≤ n，ai 属于 A，而 m ∈ M。如果我们令
则 b ° b = 0，所以 (Cn(A,M), b) 是一个链复形，叫做霍赫希尔德复形，它的同调是 A 系数取 M 的霍赫希尔德同调。
注释[编辑]
映射 di 是使模 Cn(A,M) 成为 k-模范畴中的单纯对象的面映射（face map），也就是一个函子 Δo → k-mod，这里 Δ 是单纯范畴（simplicial category）而 k-mod 是 k-模范畴。这里 Δo 是 Δ 的反范畴。退化映射（degeneracy map）由 si(a0 ⊗ ··· ⊗ an) = a0 ⊗ ··· ai ⊗ 1 ⊗ ai+1 ⊗ ··· ⊗ an 定义。霍赫希尔德同调是这个单纯模的同调。
函子的霍赫希尔德同调[编辑]
单纯圆周 S1 是有限带基点集合范畴 Fin* 中一个单纯对象，即一个函子 Δo → Fin*。从而，如果 F 是一个函子 F: Fin → k-mod，通过将 F 与 S1 复合，我们得到一个单纯模
这个单纯模的同调是函子 F 的霍赫希尔德同调。如上交换代数的霍赫希尔德同调是当 F 是 Loday 函子的特例。
Loday 函子[编辑]
有限带基点集合范畴的一个骨架由对象
给出，这里 0 是基点，而态射是保持基点的态射。令 A 是一个交换 k-代数，M 是一个对称 A-双模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin* 中的对象由
给出。态射
送到态射 f*
这里
而 bj = 1 如果 f −1(j) = ∅。
代数的霍赫希尔德同调之另一描述[编辑]
一个交换代数 A 的系数取一个对称 A-双模 M 的霍赫希尔德同调是与复合
相伴的同调，这个定义与上面的定义相同。
参考文献[编辑]
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相关条目[编辑]
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分类：
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伽罗瓦上同调[编辑]
[ltr]在数学中，伽罗瓦上同调是一套用群上同调研究伽罗瓦群的作用的技术。具体言之，假设伽罗瓦群
作用在一个群 （通常是数论中出现的代数结构，如 等等）上，伽罗瓦上同调研究相关的群上同调 。这些群通常具有重要的数论或算术代数几何意义。伽罗瓦上同调是现代代数数论的基石之一。
在代数数论中的应用[size=13][编辑]
伽罗瓦上同调最早在1950年代被提出，主要与克劳德·谢瓦莱在类域论上的工作相关。这套理论的目的在以群上同调“代数地”阐释类域论，避免使用L-函数。哈瑟原理在伽罗瓦上同调的框架下能得到清晰的描述。
在代数几何中的应用[编辑]
伽罗瓦上同调关系到算术代数几何中的许多重要问题，例如椭圆曲线上的整点个数。作为下降理论在平展拓扑上的应用，第一个伽罗瓦上同调群分类了概形
上的扭子，这是主丛在代数几何上的推广。借着下降理论，可以用伽罗瓦上同调研究二次型式、中心单代数与 Severi-Brauer 簇等等结构。文献[编辑]
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- Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1867431, ISBN 978-3-540-42192-4, translation ofCohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).
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分类：
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霍赫希尔德同调[编辑]
[ltr]数学中，霍赫希尔德同调（Hochschild homology）是环上结合代数的同调论。对某些函子也有一个霍赫希尔德同调。这是以德国数学家格哈德·霍赫希尔德（Gerhard Hochschild）冠名的。
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代数的霍赫希尔德同调之定义[编辑]
设 k 是一个环，A 是一个结合 k-代数，M 是一个 A-双模。我们记 A⊗n 为 A 在 k 上的 n 重张量积。给出霍赫希尔德同调的链复形是
边缘算子 di 定义为
这里对所有 1 ≤ i ≤ n，ai 属于 A，而 m ∈ M。如果我们令
则 b ° b = 0，所以 (Cn(A,M), b) 是一个链复形，叫做霍赫希尔德复形，它的同调是 A 系数取 M 的霍赫希尔德同调。
注释[编辑]
映射 di 是使模 Cn(A,M) 成为 k-模范畴中的单纯对象的面映射（face map），也就是一个函子 Δo → k-mod，这里 Δ 是单纯范畴（simplicial category）而 k-mod 是 k-模范畴。这里 Δo 是 Δ 的反范畴。退化映射（degeneracy map）由 si(a0 ⊗ ··· ⊗ an) = a0 ⊗ ··· ai ⊗ 1 ⊗ ai+1 ⊗ ··· ⊗ an 定义。霍赫希尔德同调是这个单纯模的同调。
函子的霍赫希尔德同调[编辑]
单纯圆周 S1 是有限带基点集合范畴 Fin* 中一个单纯对象，即一个函子 Δo → Fin*。从而，如果 F 是一个函子 F: Fin → k-mod，通过将 F 与 S1 复合，我们得到一个单纯模
这个单纯模的同调是函子 F 的霍赫希尔德同调。如上交换代数的霍赫希尔德同调是当 F 是 Loday 函子的特例。
Loday 函子[编辑]
有限带基点集合范畴的一个骨架由对象
给出，这里 0 是基点，而态射是保持基点的态射。令 A 是一个交换 k-代数，M 是一个对称 A-双模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin* 中的对象由
给出。态射
送到态射 f*
这里
而 bj = 1 如果 f −1(j) = ∅。
代数的霍赫希尔德同调之另一描述[编辑]
一个交换代数 A 的系数取一个对称 A-双模 M 的霍赫希尔德同调是与复合
相伴的同调，这个定义与上面的定义相同。
参考文献[编辑]
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- Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
- Richard S. Pierce, Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics (88), Springer, 1982.
- Teimuraz Pirashvili, Hodge decomposition for higher order Hochschild homology
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相关条目[编辑]
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分类：
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由 一星 2014-08-01, 07:40
代数拓扑[编辑]
[ltr]代数拓扑（Algebraic topology）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。
[/ltr]
[size][ltr]
代数不变量方法[编辑]
这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是组合拓扑，蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。现在应用于代数拓扑的基本方法是通过函子，把空间映射到相应的代数范畴上。例如，通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。
实现这个目标的主要方法是通过基本群，或者更一般的同伦论，和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是非交换的，可能很难使用。（有限）单纯复形的基本群的确有有限表示。
另一方面来讲，同调和上同调群是交换群，并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整的分类，并且特别易于使用。
同调的结果[编辑]
通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的n-阶同调群的自由阶等于n-阶贝蒂数（Betti number），所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的欧拉示性数。作为另外一个例子，闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性：该群同构于整数或者0，分别在流形可定向和不可定向时。这样，很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。
在只定义在单纯复形的单纯同调之上，还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或Čech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性。德拉姆证明所有这些方法是相互关联的，并且对于闭可定向流形，通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的。
在范畴论中[编辑]
一般来讲，所有代数几何的构造都是函子式的：概念范畴，函子和自然变换起源于此。基本群，同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量；而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态，而这些同态可以用于证明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。
代数拓扑的问题[编辑]
代数拓扑的经典应用包括：
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[size][ltr]
代数拓扑中最著名的问题之一是庞加莱猜想，它已经由俄国数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年解决。同伦论领域包含了很多悬疑，如表述球面的同伦群的正确方式等。
参看[编辑]
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参考[编辑]
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[ltr]代数拓扑（Algebraic topology）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。
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代数不变量方法[编辑]
这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是组合拓扑，蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。现在应用于代数拓扑的基本方法是通过函子，把空间映射到相应的代数范畴上。例如，通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。
实现这个目标的主要方法是通过基本群，或者更一般的同伦论，和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是非交换的，可能很难使用。（有限）单纯复形的基本群的确有有限表示。
另一方面来讲，同调和上同调群是交换群，并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整的分类，并且特别易于使用。
同调的结果[编辑]
通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的n-阶同调群的自由阶等于n-阶贝蒂数（Betti number），所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的欧拉示性数。作为另外一个例子，闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性：该群同构于整数或者0，分别在流形可定向和不可定向时。这样，很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。
在只定义在单纯复形的单纯同调之上，还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或Čech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性。德拉姆证明所有这些方法是相互关联的，并且对于闭可定向流形，通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的。
在范畴论中[编辑]
一般来讲，所有代数几何的构造都是函子式的：概念范畴，函子和自然变换起源于此。基本群，同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量；而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态，而这些同态可以用于证明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。
代数拓扑的问题[编辑]
代数拓扑的经典应用包括：
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- 布劳威尔不动点定理：每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。
- n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。（对于n=2,这有时被称为"毛球定理"。）
- 博苏克-乌拉姆定理：任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。
- 任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思，因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说，任何自由群G可以实现为图X的基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群；但是每个这样的Y又是一个图。所以其基本群H是自由的。
[size][ltr]
代数拓扑中最著名的问题之一是庞加莱猜想，它已经由俄国数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年解决。同伦论领域包含了很多悬疑，如表述球面的同伦群的正确方式等。
参看[编辑]
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参考[编辑]
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- Allen Hatcher, Algebraic Topology ,剑桥大学出版社，剑桥，2002年。ISBN 0-521-79540-0.现代的带几何特色的代数拓扑介绍。该书有免费PDF和PostScript格式免费下载，网址作者的主页。
- C. R. F. Maunder, Algebraic Topology (1970) Van Nostrand Reinhold, London ISBN 73-105346.
分类：
微分形式[编辑]
[size][ltr]
微分形式是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。
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简介[编辑]
我们从Rn中的开集的情形开始。 一个0-形式(0-form)定义为一个光滑函数f. 当我们在Rn的m-维子空间S上对函数f积分时，我们将积分写作:
把dx1, ..., dxn 当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负−dx1, ..., −dxn叫做基本 1-形式。
我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件: 对所有i,j
注意这意味着
.
我们把这些乘积的集合叫做基本 2-形式，类似的我们定义乘积
的集合为基本 3-形式，这里假定n至少为3。现在定义一个单项式 k-形式为一个0-形式乘以一个基本的k-形式，定义 k-形式为一些单项式k-形式的和。
楔积可以推广到这些和上:
等等，这里dxI和类似的项表示k-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。
现在，我们来定义光滑流形上的k-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个k-形式；一个全局的k-形式就是一组坐标领域上的k-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。
楔积的属性[编辑]
若f, g,w为任意微分形式，则
若f为k-形式，g为l-形式:
抽象(简明)定义及讨论[编辑]
在微分几何中，k阶微分k-形式是一个流形的余切丛的k阶外幂(exterior power)的光滑截面。在流形的每一点p,一个k-形式给出一个从切空间的k阶笛卡儿幂(cartesian power)到R的多线性映射。
例如，光滑函数(0-形式)的微分就是一个1-形式。
1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。
微分形式的积分[编辑]
k阶微分形式可以在k维链(chain)上积分。 若k = 0,这就是函数在点上的取值。其他的k = 1, 2, 3, ... 对应于线积分，曲面积分，体积分等等。
设
为一微分形式，设S为一个我们想在其上积分的集合，其中S有参数化形式
u属于参数域D。则[Rudin, 1976]定义S上微分形式的积分为
其中
是雅可比矩阵的行列式。
参见斯托克斯定理(Stokes' Theorem)。
微分形式的操作[编辑]
一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作:楔积, 外微分 (用d表示), 和李导数。d2 = 0, 细节请见德拉姆上同调。
外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。
参考[编辑]
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霍奇理论[编辑]
[ltr]数学上，霍奇理论是光滑流形M的代数拓扑的研究的一个方面。更精确的讲，它寻找M的实系数上同调群在和M上的黎曼度量相关的一般化的拉普拉斯算子的偏微分方程理论中的应用。
它由霍奇于1930年代作为德拉姆上同调的扩展而发展出来，并在三个层次上有重要应用：
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[size][size][ltr]
最初的发展过程中，M 取作紧致并且无边界流形。在所有三个层次上，该理论的后续工作很有影响，作出贡献的有小平邦彦（可能部分受到在普林斯顿的赫尔曼·外尔的影响）和后来的很多人。
参看[编辑]
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微分形式[编辑]
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微分形式是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。
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简介[编辑]
我们从Rn中的开集的情形开始。 一个0-形式(0-form)定义为一个光滑函数f. 当我们在Rn的m-维子空间S上对函数f积分时，我们将积分写作:
把dx1, ..., dxn 当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负−dx1, ..., −dxn叫做基本 1-形式。
我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件: 对所有i,j
注意这意味着
.我们把这些乘积的集合叫做基本 2-形式，类似的我们定义乘积
的集合为基本 3-形式，这里假定n至少为3。现在定义一个单项式 k-形式为一个0-形式乘以一个基本的k-形式，定义 k-形式为一些单项式k-形式的和。
楔积可以推广到这些和上:
等等，这里dxI和类似的项表示k-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。
现在，我们来定义光滑流形上的k-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个k-形式；一个全局的k-形式就是一组坐标领域上的k-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。
楔积的属性[编辑]
若f, g,w为任意微分形式，则
若f为k-形式，g为l-形式:
抽象(简明)定义及讨论[编辑]
在微分几何中，k阶微分k-形式是一个流形的余切丛的k阶外幂(exterior power)的光滑截面。在流形的每一点p,一个k-形式给出一个从切空间的k阶笛卡儿幂(cartesian power)到R的多线性映射。
例如，光滑函数(0-形式)的微分就是一个1-形式。
1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。
微分形式的积分[编辑]
k阶微分形式可以在k维链(chain)上积分。 若k = 0,这就是函数在点上的取值。其他的k = 1, 2, 3, ... 对应于线积分，曲面积分，体积分等等。
设
为一微分形式，设S为一个我们想在其上积分的集合，其中S有参数化形式
u属于参数域D。则[Rudin, 1976]定义S上微分形式的积分为
其中
是雅可比矩阵的行列式。
参见斯托克斯定理(Stokes' Theorem)。
微分形式的操作[编辑]
一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作:楔积, 外微分 (用d表示), 和李导数。d2 = 0, 细节请见德拉姆上同调。
外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。
参考[编辑]
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- Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235.
- Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910.
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分类：
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霍奇理论[编辑]
[ltr]数学上，霍奇理论是光滑流形M的代数拓扑的研究的一个方面。更精确的讲，它寻找M的实系数上同调群在和M上的黎曼度量相关的一般化的拉普拉斯算子的偏微分方程理论中的应用。
它由霍奇于1930年代作为德拉姆上同调的扩展而发展出来，并在三个层次上有重要应用：
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最初的发展过程中，M 取作紧致并且无边界流形。在所有三个层次上，该理论的后续工作很有影响，作出贡献的有小平邦彦（可能部分受到在普林斯顿的赫尔曼·外尔的影响）和后来的很多人。
参看[编辑]
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分类：
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 07:41
外代数[编辑]
[ltr]在数学上，给定向量空间V的外代数(英文：exterior algebra)，也称格拉斯曼代数(Grassmann algebra)，是特定有单位的结合代数，它包含V为一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ•(V)而它的乘法，称为楔积或外积，记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本属性是它在V上交替：
，对于所有向量
这表示
，对于所有向量
，以及
，当
线性相关时。
注意这三个性质只对 V 中向量成立，不对代数Λ(V)中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。
形式为v1∧v2∧…∧vk的元素，其中v1,…,vk在V中，称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为V的k-阶外幂记为Λk(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和：
该外积有一个重要性质，就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释：2-向量u∧v代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量u∧v∧w代表带方向的平行六面体，其边为u, v, 和w。
外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。
[/ltr]
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定义及运算律[编辑]
外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简捷的一个。
定义: 设 是域 
上的一个向量空间，令 
为 的张量代数
的理想（即双边理想），该理想是由所有形如
的张量生成的（其中 任意），则将 上的外代数 
定义为商代数 
，即
并且把
的等价类[1] 
记为 
，其中 . 设 
称
为 的 -阶外幂（th exterior power of ），称 
中的元素为 -向量（-multivector）。
注：
[/ltr][/size]
设 
，则 
，
作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 
，可以把这个 -阶的完全反对称张量等同于 , 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，-向量就是以这种方式定义的。
[size][ltr]
运算律 将上面的注中的内容用
写出，则分别给出
(1)
, 
证明如下： 作为等价类，我们从
中任意挑选一个代表元 ，则 
而且 
根据商代数的定义，
类似地，可以证明
(2) 根据注 3.1 中的内容，显然有
.
(3) 根据注 3.2 中的内容，对任意
成立着
注：即使 的特征为 2，这个公式也是对的，只不过此时有 
而已。
(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算
满足结合律和分配律：
其中
都是任意的。
以前两条性质为例，其证明如下：设张量
分别是 
中的代表元，即 
, 
, 
, 则
(5) 根据上面的 (3) 和 (4)，用数学归纳法可以证明：
证明从略。
基底和维数[编辑]
若V的维数是n而{e1,...,en}是V的基，则集合
是k阶外幂Λk(V)的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积
则每个向量vj可以记为基向量ei的一个线性组合;利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基k-向量前的系数可以用通过积ei来描述vj的矩阵的子式来计算。
数一下基元素，我们可以看到Λk(V) 的维数是n 取 k。特别的有， Λk(V) = {0} 对于 k > n.
外代数是一个分级代数，是如下直和
其维数等于二项式系数之和，也就是2n.
例子: 欧氏三维空间的外代数[编辑]
考虑空间R3，其基为{i, j, k}。一对向量
的楔积为
其中{i ∧ j, i ∧ k, j ∧ k}是三维空间Λ2(R3)的基底。
再加一个向量
,
这三个向量的楔积是
其中i ∧ j ∧ k是一维空间Λ3(R3)的基底。
空间Λ1(R3) 是R3, 而空间Λ0(R3) 是R。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间Λ(R3)，这是八维向量空间
.
那么，给定一对8维向量a和b, 其中a如上给出，而
,
a和b的楔积如下(用列向量表达),
.
容易验证8维楔积以向量(1,0,0,0,0,0,0,0)为乘法幺元。也可以验证该Λ(R3)代数的楔积是结合的(也是双线性的):
所以该代数是有单位且结合的。
叉乘的实质，赝向量与赝标量[编辑]
对三维欧几里得空间
可以建立一个线性同构 
如下：任取 的右手的标准正交基 
，
，
，规定 把 
，
，
分别映射为 ，，，则 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。
不难看出，对任意向量
和 
，这个线性同构把 
映射为 
。这就是叉乘（向量积）的实质。例如， 中平行四边形 
的面积向量可以表示为 
，推广之后，高维黎曼流形 
中的紧的二维曲面 
的面积用
来计算（其中
是度规张量场 
在 上的诱导度规 
的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。
物理学中经常要区分的向量（极向量）与赝向量（轴向量）这两个概念，现在就容易理解了：从根本上说，向量是 中的元素，所以在空间反演变换下会改变方向；而赝向量其实是 
中的元素，在空间反演变换下不会改变方向。
类似地，借助于右手的标准正交基，可以把
中的元素 
映射为“标量" 
。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。
把 2-向量 映射为向量 以及把 3-向量 映射为一个实数 
的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。
泛性质及构造[编辑]
令V为一个域K（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。Λ(V)是“最一般”的包含 V 的并有一个交替乘法在V上由单位的结合K-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：
任给一个有单位的结合 K-代数 A 和一个 K-线性映射 j : V → A 使得 j(v)j(v) = 0 对于每个 v 属于 V 成立，则存在恰好一个由单位的代数同态f : Λ(V) → A 使得 f(v) = j(v) 所有 v属于 V 成立。
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要构造最一般的包含 V 的代数，而且其乘法是在 V 上交替的，很自然可以从包含 V 的最一般的代数开始，也就是张量代数 T(V)，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取T(V) 中由所有形为 v⊗v的元素生成的双边理想 I，其中 v 属于 V，并定义 Λ(V)为商
Λ(V) = T(V)/I
（并且使用 ∧ 为 Λ(V)中的乘法的代号）。然后可以直接证明 Λ(V) 包含 V 并且满足上述泛性质。
如果不是先定义 Λ(V) 然后把外幂 Λk(V) 等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间 Λk(V) 然后把它们合并成为一个代数 Λ(V)。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。
反对称算子和外幂[编辑]
给定两个向量空间V和X，一个从Vk到X的反对称算子是一个多线性映射
f: Vk → X
使得只要v1,...,vk 是V中线性相关的向量，则
f(v1,...,vk) = 0.
最著名的例子是行列式值，从(Kn)n到K的反对称线形算子。
映射
w: Vk → Λk(V)
它关联V中的k个向量到他们的楔积，也就是它们相应的k-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在Vk上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子f : Vk → X，存在一个唯一的线性映射φ: Λk(V) → X with f = φ o w。这个泛性质表述了空间Λk(V)并且可以作为它的定义。
所有从Vk到基域K的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若V是有限维的，维数n，则该空间可以认同为Λk(V∗)，其中V∗表示V的对偶空间。特别的有，从Vk到K的反对称映射的空间是n取k维的。
在这个等同关系下，若基域是R或者C，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设ω : Vk → K和η : Vm → K为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：
其中多线性映射的交替Alt定义为其变量的所有排列的带符号平均：
注意： 有一些书中楔积定义为
指标记法[编辑]
在主要由物理学家使用的指标记法中
微分形式[编辑]
令 M 为一个微分流形。一个微分k-形式 ω 是 ΛkT∗M（M 的余切丛的 k 阶外幂）的一个截面。等价的有：ω 是 M 的光滑函数，对于 M 的每个点 x 给定一个 Λk(TxM)∗的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。
推广[编辑]
给定一个交换环R和一个R-模M，我们可以定义和上文一样的外代数Λ(M)，它是张量代数T(M)适当的商。它会满足类似的泛性质。
物理应用[编辑]
格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。
参看：超空间，超代数，超群
注释[编辑]
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相关课题[编辑]
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[ltr]在数学上，给定向量空间V的外代数(英文：exterior algebra)，也称格拉斯曼代数(Grassmann algebra)，是特定有单位的结合代数，它包含V为一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ•(V)而它的乘法，称为楔积或外积，记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本属性是它在V上交替：
，对于所有向量这表示
，对于所有向量，以及，当 线性相关时。注意这三个性质只对 V 中向量成立，不对代数Λ(V)中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。
形式为v1∧v2∧…∧vk的元素，其中v1,…,vk在V中，称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为V的k-阶外幂记为Λk(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和：
该外积有一个重要性质，就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释：2-向量u∧v代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量u∧v∧w代表带方向的平行六面体，其边为u, v, 和w。
外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。
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定义及运算律[编辑]
外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简捷的一个。
定义: 设
是域 上的一个向量空间，令 为 的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如
的张量生成的（其中 任意），则将 上的外代数 定义为商代数 ，即并且把
的等价类[1] 记为 ，其中 . 设 称为
的 -阶外幂（th exterior power of ），称 中的元素为 -向量（-multivector）。注：
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，当且仅当 
时才有 
，因此，可以把 
等同于 ，并且把 
记为 ；基于类似的原因，可以把 
等同于 ，而且把 
记为 。这一点是前面所讲的能够把 
记为 的特例和前提。- 当
时，-向量并不仅限于形如 的元素，例如，
也是 2-向量，其中 
. - 理想 中的元素并不仅限于形如 的张量，例如，
, 必定有 
和 
.
, 由于 
和 
以及 
, 显然有 
. 这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想 中。- 由于上面的两个结论，，我们有
, 这是因为等式右边的每一项都在 中。对张量 的阶数作数学归纳法，则可以证明：
, 
，总有 
.
，则 ， 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 ，可以把这个 -阶的完全反对称张量等同于 , 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，-向量就是以这种方式定义的。[size][ltr]
运算律 将上面的注中的内容用
写出，则分别给出(1)
, 证明如下： 作为等价类，我们从
中任意挑选一个代表元 ，则 而且 根据商代数的定义，类似地，可以证明
(2) 根据注 3.1 中的内容，显然有
.(3) 根据注 3.2 中的内容，对任意
成立着注：即使
的特征为 2，这个公式也是对的，只不过此时有 而已。(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算
满足结合律和分配律：其中
都是任意的。以前两条性质为例，其证明如下：设张量
分别是 中的代表元，即 , , , 则(5) 根据上面的 (3) 和 (4)，用数学归纳法可以证明：
证明从略。
基底和维数[编辑]
若V的维数是n而{e1,...,en}是V的基，则集合
是k阶外幂Λk(V)的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积
则每个向量vj可以记为基向量ei的一个线性组合;利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基k-向量前的系数可以用通过积ei来描述vj的矩阵的子式来计算。
数一下基元素，我们可以看到Λk(V) 的维数是n 取 k。特别的有， Λk(V) = {0} 对于 k > n.
外代数是一个分级代数，是如下直和
其维数等于二项式系数之和，也就是2n.
例子: 欧氏三维空间的外代数[编辑]
考虑空间R3，其基为{i, j, k}。一对向量
的楔积为
其中{i ∧ j, i ∧ k, j ∧ k}是三维空间Λ2(R3)的基底。
再加一个向量
,这三个向量的楔积是
其中i ∧ j ∧ k是一维空间Λ3(R3)的基底。
空间Λ1(R3) 是R3, 而空间Λ0(R3) 是R。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间Λ(R3)，这是八维向量空间
.那么，给定一对8维向量a和b, 其中a如上给出，而
,a和b的楔积如下(用列向量表达),
.容易验证8维楔积以向量(1,0,0,0,0,0,0,0)为乘法幺元。也可以验证该Λ(R3)代数的楔积是结合的(也是双线性的):
所以该代数是有单位且结合的。
叉乘的实质，赝向量与赝标量[编辑]
对三维欧几里得空间
可以建立一个线性同构 如下：任取 的右手的标准正交基 ，，，规定 把 ，， 分别映射为 ，，，则 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。不难看出，对任意向量
和 ，这个线性同构把 映射为 。这就是叉乘（向量积）的实质。例如， 中平行四边形 的面积向量可以表示为 ，推广之后，高维黎曼流形 中的紧的二维曲面 的面积用来计算（其中
是度规张量场 在 上的诱导度规 的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。物理学中经常要区分的向量（极向量）与赝向量（轴向量）这两个概念，现在就容易理解了：从根本上说，向量是
中的元素，所以在空间反演变换下会改变方向；而赝向量其实是 中的元素，在空间反演变换下不会改变方向。类似地，借助于右手的标准正交基，可以把
中的元素 映射为“标量" 。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。把 2-向量
映射为向量 以及把 3-向量 映射为一个实数 的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。泛性质及构造[编辑]
令V为一个域K（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。Λ(V)是“最一般”的包含 V 的并有一个交替乘法在V上由单位的结合K-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：
任给一个有单位的结合 K-代数 A 和一个 K-线性映射 j : V → A 使得 j(v)j(v) = 0 对于每个 v 属于 V 成立，则存在恰好一个由单位的代数同态f : Λ(V) → A 使得 f(v) = j(v) 所有 v属于 V 成立。
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要构造最一般的包含 V 的代数，而且其乘法是在 V 上交替的，很自然可以从包含 V 的最一般的代数开始，也就是张量代数 T(V)，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取T(V) 中由所有形为 v⊗v的元素生成的双边理想 I，其中 v 属于 V，并定义 Λ(V)为商
Λ(V) = T(V)/I
（并且使用 ∧ 为 Λ(V)中的乘法的代号）。然后可以直接证明 Λ(V) 包含 V 并且满足上述泛性质。
如果不是先定义 Λ(V) 然后把外幂 Λk(V) 等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间 Λk(V) 然后把它们合并成为一个代数 Λ(V)。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。
反对称算子和外幂[编辑]
给定两个向量空间V和X，一个从Vk到X的反对称算子是一个多线性映射
f: Vk → X
使得只要v1,...,vk 是V中线性相关的向量，则
f(v1,...,vk) = 0.
最著名的例子是行列式值，从(Kn)n到K的反对称线形算子。
映射
w: Vk → Λk(V)
它关联V中的k个向量到他们的楔积，也就是它们相应的k-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在Vk上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子f : Vk → X，存在一个唯一的线性映射φ: Λk(V) → X with f = φ o w。这个泛性质表述了空间Λk(V)并且可以作为它的定义。
所有从Vk到基域K的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若V是有限维的，维数n，则该空间可以认同为Λk(V∗)，其中V∗表示V的对偶空间。特别的有，从Vk到K的反对称映射的空间是n取k维的。
在这个等同关系下，若基域是R或者C，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设ω : Vk → K和η : Vm → K为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：
其中多线性映射的交替Alt定义为其变量的所有排列的带符号平均：
注意： 有一些书中楔积定义为
指标记法[编辑]
在主要由物理学家使用的指标记法中
微分形式[编辑]
令 M 为一个微分流形。一个微分k-形式 ω 是 ΛkT∗M（M 的余切丛的 k 阶外幂）的一个截面。等价的有：ω 是 M 的光滑函数，对于 M 的每个点 x 给定一个 Λk(TxM)∗的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。
推广[编辑]
给定一个交换环R和一个R-模M，我们可以定义和上文一样的外代数Λ(M)，它是张量代数T(M)适当的商。它会满足类似的泛性质。
物理应用[编辑]
格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。
参看：超空间，超代数，超群
注释[编辑]
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所形成的等价类：
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相关课题[编辑]
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由 一星 2014-08-01, 07:42
斯托克斯定理[编辑]
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斯托克斯定理（英文：Stokes theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。
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ℝ³ 上的斯托克斯公式[编辑]
设S 是 分片光滑的有向曲面，S 的边界为有向闭曲线Γ ，即
，且Γ 的正向与 S 的侧符合右手规则： 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都是定义在“曲面 S连同其边界 Γ”上且都具有一阶连续偏导数的函数，则有[1]
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旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。[size][ltr]
这个公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：[2]
它将ℝ³ 空间上“向量场的旋度的曲面积分”跟“向量场在曲面边界上的线积分”之间建立联系，这是一般的斯托克斯公式（在 n�三维;2 时）的特例，我们只需用ℝ³ 空间上的度量把向量场看作等价的1形式。该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森（开尔文勋爵）给出，出现在他给斯托克斯的信中。
类似的，高斯散度定理
也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把向量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。 微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。
另一种形式[编辑]
通过以下公式可以在对坐标的“曲线积分”和对面积的“面积积分”之间相互转换：
流形上的斯托克斯公式[编辑]
令 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，令 ω 为 M 上的 n−1 阶 C1 类紧支撑微分形式。如果 ∂M 表示 M 的边界，并以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则
这里 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。
该定理经常用于 M 是嵌入到某个定义了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。
定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。
应用[编辑]
斯托克斯公式是格林公式的推广。
利用斯托克斯公式可计算曲线积分。
参考文献[编辑]
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斯托克斯定理（英文：Stokes theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。
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ℝ³ 上的斯托克斯公式[编辑]
设S 是 分片光滑的有向曲面，S 的边界为有向闭曲线Γ ，即
，且Γ 的正向与 S 的侧符合右手规则： 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都是定义在“曲面 S连同其边界 Γ”上且都具有一阶连续偏导数的函数，则有[1][/ltr][/size]
旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。
这个公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：[2]
它将ℝ³ 空间上“向量场的旋度的曲面积分”跟“向量场在曲面边界上的线积分”之间建立联系，这是一般的斯托克斯公式（在 n�三维;2 时）的特例，我们只需用ℝ³ 空间上的度量把向量场看作等价的1形式。该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森（开尔文勋爵）给出，出现在他给斯托克斯的信中。
类似的，高斯散度定理
也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把向量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。 微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。
另一种形式[编辑]
通过以下公式可以在对坐标的“曲线积分”和对面积的“面积积分”之间相互转换：
流形上的斯托克斯公式[编辑]
令 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，令 ω 为 M 上的 n−1 阶 C1 类紧支撑微分形式。如果 ∂M 表示 M 的边界，并以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则
这里 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。
该定理经常用于 M 是嵌入到某个定义了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。
定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。
应用[编辑]
斯托克斯公式是格林公式的推广。
利用斯托克斯公式可计算曲线积分。
参考文献[编辑]
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分类：
闭形式和恰当形式[编辑]
[ltr]在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 α 是微分算子 d 的核，即 dα = 0 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) α 是微分算子 d 的像，即存在某个微分形式 β 使得α = dβ，β 称为关于 α 的一个“本原”。
因为 d2 = 0，所以恰当形式一定是闭形式，但闭形式是否为恰当形式并不显然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息来得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 d 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。
当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 ζ 与 η 是闭形式，且存在某个 β 使得
则我们说 ζ 与 η 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。
R2 与 R3 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 dx∧dy，故只有 1-形式
具有真正的意义，其外导数 d 是
这里下标表示偏导数。从而 α“闭”的条件是
当 h(x,y) 是一个函数时则
“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。
在 R3 上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。
庞加莱引理[size=13][编辑]
庞加莱引理断言：如果 X 是 Rn 中可缩开子集，对任何整数 p>0，任何定义在 X 上的光滑闭 p-形式 α 是恰当的（这只在 p ≤ n 有内容）。
可缩意味着存在同伦映射 Ft: X×[0,1] → X 将 X 形变为一点。从而任何 X 中的闭链 c 都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为 c 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。
更确切地，我们将 X 与柱 X×[0,1] 联系起来，分别通过映射 j1(x) = (x, 1) 与 j0(x) = (x, 0) 与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导拉回映射 j1* 与 j0* 由上链同伦联系：
令 Ωp(X) 表示 X 上的 p-形式，映射 K: Ωp + 1( X×[0,1] ) → Ωp(X) 是柱映射的对偶，定义为：
这里 dxp 是一个不含 dt 的单项 p-形式。所以如果 F 是 X 到一点 Q 的同伦形变，那么
在形式上：
将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。
这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理。
不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如，在 t ∈ [0,1] 参数化圆周 S1 上，闭 1-形式 dt 不是恰当的（注意：t 不能定义为整个 S1 上的函数，但 dt 是一个良定的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但 dt 在圆周上积分是 2π。
参考文献[编辑]
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分类：
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闭形式和恰当形式[编辑]
[ltr]在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 α 是微分算子 d 的核，即 dα = 0 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) α 是微分算子 d 的像，即存在某个微分形式 β 使得α = dβ，β 称为关于 α 的一个“本原”。
因为 d2 = 0，所以恰当形式一定是闭形式，但闭形式是否为恰当形式并不显然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息来得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 d 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。
当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 ζ 与 η 是闭形式，且存在某个 β 使得
则我们说 ζ 与 η 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。
R2 与 R3 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 dx∧dy，故只有 1-形式
具有真正的意义，其外导数 d 是
这里下标表示偏导数。从而 α“闭”的条件是
当 h(x,y) 是一个函数时则
“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。
在 R3 上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。
庞加莱引理[size=13][编辑]
庞加莱引理断言：如果 X 是 Rn 中可缩开子集，对任何整数 p>0，任何定义在 X 上的光滑闭 p-形式 α 是恰当的（这只在 p ≤ n 有内容）。
可缩意味着存在同伦映射 Ft: X×[0,1] → X 将 X 形变为一点。从而任何 X 中的闭链 c 都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为 c 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。
更确切地，我们将 X 与柱 X×[0,1] 联系起来，分别通过映射 j1(x) = (x, 1) 与 j0(x) = (x, 0) 与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导拉回映射 j1* 与 j0* 由上链同伦联系：
令 Ωp(X) 表示 X 上的 p-形式，映射 K: Ωp + 1( X×[0,1] ) → Ωp(X) 是柱映射的对偶，定义为：
这里 dxp 是一个不含 dt 的单项 p-形式。所以如果 F 是 X 到一点 Q 的同伦形变，那么
在形式上：
将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。
这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理。
不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如，在 t ∈ [0,1] 参数化圆周 S1 上，闭 1-形式 dt 不是恰当的（注意：t 不能定义为整个 S1 上的函数，但 dt 是一个良定的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但 dt 在圆周上积分是 2π。
参考文献[编辑]
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- Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.). 1999, ISBN 7-5062-0112-7
- 陈维桓, 微分流形初步. 2, 高等教育出版社. 2001年, ISBN 7-04-009921-7
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分类：
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注册日期 : 13-08-07
回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 07:44
K-理论[编辑]
[ltr]在数学中，K-理论（K-theory）是多个领域使用的一个工具。在代数拓扑中，它是一种异常上同调，称为拓扑K-理论；在代数与代数几何中，称之为代数K-理论；在算子代数中也有诸多应用。它导致了一类 K-函子构造，K-函子包含了有用、却难以计算的信息。
在物理学中，K-理论特别是扭曲K-理论（twisted K-theory）出现在II型弦理论（Type II string theory），其中猜测它们可分类D-膜（D-branes）、拉蒙-拉蒙场强（Ramond-Ramond field）以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)。
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早期历史[编辑]
这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“Klasse”，意为“分类”class ，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理[1]。格罗腾迪格需要在代数簇 X 的层上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。首先，他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群
通过取层的分类的形式和以及形式加法逆（这是得到给定函子左伴随的明确方法）。在第二个构造中，他强加以与层扩张一致的额外关系，得到一个现在记作 
的群。这两个构造都被称为格罗腾迪克群； 具有上同调表现而 有同调表现。
如果 是一个光滑簇，两个群是相同的。
在拓扑学中，我们对向量丛有类似的和构造。迈克尔·阿蒂亚与弗里德里希·希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）在1959年使用格罗腾迪格群构造来定义拓扑空间 的 （两个构造一致）。这是在代数拓扑中发现的第一个奇异上同调理论的基础。它在指标定理的第二证明中起了巨大的作用。此外，这种途径导向了 C*-代数的非交换 -理论。
在1955年，让-皮埃尔·塞尔已经用具有投射模向量丛的类似物来表述塞尔猜想（Serre's conjecture），该猜想声称一个域上多项式环上的投射模是自由模；这个论断是正确的，但知道20年后才解决（斯旺定理（Swan'theorem）是这个类比的另一方面）。1959年，塞尔给出了环的格罗腾迪克群构造，用它来证明投射模是稳定自由的。这个应用是代数K-理论之开端。
发展[编辑]
随后一个时期，出现了各种类型的“高阶 K-理论函子”定义。最后，两种有用的等价定义由丹尼尔·奎伦（Daniel Quillen）在1969年与1972年用同伦理论给出。另一种变体也由弗里德海姆·瓦尔德豪森（Friedhelm Waldhausen）为了研究“空间的代数 K-理论”提出，这与伪同痕的研究有关。大多数现代高阶 K-理论研究与代数几何和主上同调（motivic cohomology）有关。
带有一个辅助的二次型的相应构造具有一般名字L-理论（L-theory）。它是割补理论（surgery theory）的主要工具。
在弦理论中，拉蒙-拉蒙场强与稳定D-膜电荷的 K-理论分类在1997年首次提出[2]。
另见[编辑]
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参考文献[编辑]
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注释[编辑]
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[ltr]在数学中，K-理论（K-theory）是多个领域使用的一个工具。在代数拓扑中，它是一种异常上同调，称为拓扑K-理论；在代数与代数几何中，称之为代数K-理论；在算子代数中也有诸多应用。它导致了一类 K-函子构造，K-函子包含了有用、却难以计算的信息。
在物理学中，K-理论特别是扭曲K-理论（twisted K-theory）出现在II型弦理论（Type II string theory），其中猜测它们可分类D-膜（D-branes）、拉蒙-拉蒙场强（Ramond-Ramond field）以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)。
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早期历史[编辑]
这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“Klasse”，意为“分类”class ，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理[1]。格罗腾迪格需要在代数簇 X 的层上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。首先，他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群
通过取层的分类的形式和以及形式加法逆（这是得到给定函子左伴随的明确方法）。在第二个构造中，他强加以与层扩张一致的额外关系，得到一个现在记作 的群。这两个构造都被称为格罗腾迪克群； 具有上同调表现而 有同调表现。如果
是一个光滑簇，两个群是相同的。在拓扑学中，我们对向量丛有类似的和构造。迈克尔·阿蒂亚与弗里德里希·希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）在1959年使用格罗腾迪格群构造来定义拓扑空间
的 （两个构造一致）。这是在代数拓扑中发现的第一个奇异上同调理论的基础。它在指标定理的第二证明中起了巨大的作用。此外，这种途径导向了 C*-代数的非交换 -理论。在1955年，让-皮埃尔·塞尔已经用具有投射模向量丛的类似物来表述塞尔猜想（Serre's conjecture），该猜想声称一个域上多项式环上的投射模是自由模；这个论断是正确的，但知道20年后才解决（斯旺定理（Swan'theorem）是这个类比的另一方面）。1959年，塞尔给出了环的格罗腾迪克群构造，用它来证明投射模是稳定自由的。这个应用是代数K-理论之开端。
发展[编辑]
随后一个时期，出现了各种类型的“高阶 K-理论函子”定义。最后，两种有用的等价定义由丹尼尔·奎伦（Daniel Quillen）在1969年与1972年用同伦理论给出。另一种变体也由弗里德海姆·瓦尔德豪森（Friedhelm Waldhausen）为了研究“空间的代数 K-理论”提出，这与伪同痕的研究有关。大多数现代高阶 K-理论研究与代数几何和主上同调（motivic cohomology）有关。
带有一个辅助的二次型的相应构造具有一般名字L-理论（L-theory）。它是割补理论（surgery theory）的主要工具。
在弦理论中，拉蒙-拉蒙场强与稳定D-膜电荷的 K-理论分类在1997年首次提出[2]。
另见[编辑]
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参考文献[编辑]
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- Atiyah, Michael Francis, K-theory, Advanced Book Classics. 2nd, Addison-Wesley. 1989, MR1043170, ISBN 978-0-201-09394-0（阿蒂亚在哈佛的介绍性课程，基于 D. W. Anderson 的笔记出版。由定义向量丛开始，不需要多少高深数学。）
- Max Karoubi, K-theory, an introduction (1978) Springer-Verlag
- Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory, (2003)
- PlanetMath上K-theory的资料。
- PlanetMath上Examples of K-theory groups的资料。
- PlanetMath上Algebraic K-theory的资料。
- PlanetMath上Examples of algebraic K-theory groups的资料。
- PlanetMath上Fredholm module的资料。
- PlanetMath上K-homology的资料。
- Max Karoubi's Page
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注释[编辑]
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- ^ http://arxiv.org/abs/math/0602082
- ^ 由 Ruben Minasian（http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7 ）和格里高利·摩尔（Gregory Moore http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore) 于K-theory and Ramond-Ramond Charge中提出。
分类：
陈类[编辑]
[ltr]数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（Chern class）是一类复向量丛的示性类, 类比于斯蒂弗尔-惠特尼类（Stiefel-Whitney class）作为实向量丛的示性类。
陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。
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定义[编辑]
给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E,E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的第k个陈类通常记为ck(E),是X的整数系数的上同调群H2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理:
公理1. 对于任何
公理2. 自然性：如果
是一个复向量丛，
是一个连续映射，
是拉回的向量丛，那么对任意k，
.
公理3. 惠特尼求和公式：如果
是两个复向量丛，那么它们的直和 
的陈类是
.
公理4. 如果
是复射影直线上的超平面丛，那么
的庞加莱对偶是
.
等价定义[编辑]
同时，有很多处理这个定义的办法：陈省身最初使用了微分几何；在代数拓扑中，陈类是通过同伦理论定义的，该理论提供了把E 和一个分类空间(在这个情况下是格拉斯曼流形联系起来的映射；还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。
直观地说，陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。
殆复流形的陈类和配边[编辑]
陈类的理论导致了殆复流形的配边不变量的研究。
若M是一个复流形，则其切丛是一个复向量丛。M的陈类定义为其切丛的陈类。若M是紧的2d维的，则每个陈类中的2d次单项式可以和M的基本类配对，得到一个整数，称为M的陈数。
若M′ 是另一个同维度的近复流形，则它和M配边，当且仅当M′和M陈数相同.
推广[编辑]
陈类理论有个一般化，其中普通的上同调由一个广义上同调群理论所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同，但有一个关键的不同：计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的（普通）加法而是一个形式化群法则(formal group law)。
参考文献[编辑]
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昂利·嘉当[编辑]
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Henri Cartan[size][size][ltr]
昂利·嘉当（Henri Cartan，1904年7月8日－2008年8月13日），法国数学家，数学家埃利·嘉当之子，曾荣获沃尔夫奖。
昂利·嘉当生于法国南锡，在法国巴黎高等师范学院获得博士学位。他曾研究代数几何、层论和同调代数，一些重要工作有上同调运算、基灵同调群和群上同调。他在法国几所大学有学术职位，多在巴黎工作。
嘉当在1945年于巴黎开了一个研讨班，主要题目有多复变分析、层论和谱序列。这研究班对让-皮埃尔·塞尔、阿尔芒·波莱尔，亚历山大·格罗滕迪克和弗兰克·亚当斯等的后一辈数学家有深远影响。他也是布尔巴基小组的创会成员，是最活跃成员之一。
嘉当和塞缪尔·艾伦伯格合著《同调代数》（Homological Algebra），以适度的抽象化和范畴论来论述。
他在1974年1月28日获选进法兰西科学院，在1976年获颁法国国家科学研究中心金奖章。
外部链接[编辑]
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陈类[编辑]
[ltr]数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（Chern class）是一类复向量丛的示性类, 类比于斯蒂弗尔-惠特尼类（Stiefel-Whitney class）作为实向量丛的示性类。
陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。
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定义[编辑]
给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E,E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的第k个陈类通常记为ck(E),是X的整数系数的上同调群H2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理:
公理1. 对于任何
公理2. 自然性：如果
是一个复向量丛， 是一个连续映射，是拉回的向量丛，那么对任意k，.公理3. 惠特尼求和公式：如果
是两个复向量丛，那么它们的直和 的陈类是.公理4. 如果
是复射影直线上的超平面丛，那么的庞加莱对偶是.等价定义[编辑]
同时，有很多处理这个定义的办法：陈省身最初使用了微分几何；在代数拓扑中，陈类是通过同伦理论定义的，该理论提供了把E 和一个分类空间(在这个情况下是格拉斯曼流形联系起来的映射；还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。
直观地说，陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。
殆复流形的陈类和配边[编辑]
陈类的理论导致了殆复流形的配边不变量的研究。
若M是一个复流形，则其切丛是一个复向量丛。M的陈类定义为其切丛的陈类。若M是紧的2d维的，则每个陈类中的2d次单项式可以和M的基本类配对，得到一个整数，称为M的陈数。
若M′ 是另一个同维度的近复流形，则它和M配边，当且仅当M′和M陈数相同.
推广[编辑]
陈类理论有个一般化，其中普通的上同调由一个广义上同调群理论所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同，但有一个关键的不同：计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的（普通）加法而是一个形式化群法则(formal group law)。
参考文献[编辑]
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- Chern, Shiing-Shen, Characteristic classes of Hermitian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series. 1946, 47: 85-121, MR0015793, ISSN 0003-486X
- Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
- Chern, Shiing-Shen Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.
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昂利·嘉当[编辑]
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Henri Cartan
昂利·嘉当（Henri Cartan，1904年7月8日－2008年8月13日），法国数学家，数学家埃利·嘉当之子，曾荣获沃尔夫奖。
昂利·嘉当生于法国南锡，在法国巴黎高等师范学院获得博士学位。他曾研究代数几何、层论和同调代数，一些重要工作有上同调运算、基灵同调群和群上同调。他在法国几所大学有学术职位，多在巴黎工作。
嘉当在1945年于巴黎开了一个研讨班，主要题目有多复变分析、层论和谱序列。这研究班对让-皮埃尔·塞尔、阿尔芒·波莱尔，亚历山大·格罗滕迪克和弗兰克·亚当斯等的后一辈数学家有深远影响。他也是布尔巴基小组的创会成员，是最活跃成员之一。
嘉当和塞缪尔·艾伦伯格合著《同调代数》（Homological Algebra），以适度的抽象化和范畴论来论述。
他在1974年1月28日获选进法兰西科学院，在1976年获颁法国国家科学研究中心金奖章。
外部链接[编辑]
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- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Cartan_Henri, MacTutor History of Mathematics archive
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 07:46
塞尔谱序列[编辑]
[ltr]在数学中，塞尔谱序列（Serre spectral sequence），有时为了纪念让·勒雷早先的工作称为勒雷-塞尔谱序列（Leray-Serre spectral sequence），是代数拓扑学中的基本工具。它用同调代数的语言将一个（塞尔）纤维化的全空间 E 的奇异（上）同调表示为底空间 B 和纤维 F 的（上）同调。此结论属于让-皮埃尔·塞尔的博士论文。
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表述[编辑]
令
是拓扑空间的一个塞尔纤维化，F 是其纤维。结论用谱序列和标准记号表示。在没有简化假设时，记号必须正确地理解。
上同调谱序列[编辑]
塞尔上同调谱序列为：
E2pq = Hp(B, Hq(F))
Hp+q(E).
这里，至少在标准简化条件下，E2-项中的系数群是 F 的第 q 个整上同调群，外面的群是 B 的系数取值于这个群的奇异上同调。
严格地说，这表示关于 B 上由不同的纤维的上同调给出的局部系数系统的上同调。如果假设，B 是单连通，便退化为通常的上同调。对一个道路连通底空间，所有不同的纤维是同伦等价的。特别的，它们的同调是同构的，所以纤维的选取没有歧义。
收敛项表示整个空间的整上同调。
其中有乘法结构
在 E2-项上与 qs-倍上积重合，且关于乘法结构，dr 是（分次）导子，由 Er-页的乘法结构诱导了 Er-页的乘法结构。
同调谱序列[编辑]
类似于上同调谱序列，有同调谱序列：
E2pq = Hp(B, Hq(F)) Hp+q(E),
这里的记号与上一节对偶。
这事实上是更一般的单纯集的纤维化的塞尔谱序列的一个特例。如果 f 是一个单纯集的纤维化（一个阚纤维化（Kan fibration）），使得
，单纯集 B 的第一同伦群，消失，则有正好和上面一样的谱序列。（利用将任何拓扑空间的单纯形相伴为一个拓扑空间的纤维化的函子，我们得到上面的序列）。
参考文献[编辑]
塞尔谱序列包含于代数拓扑学的一般教材中，例如：
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单纯集情形可参见：
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[ltr]在数学中，塞尔谱序列（Serre spectral sequence），有时为了纪念让·勒雷早先的工作称为勒雷-塞尔谱序列（Leray-Serre spectral sequence），是代数拓扑学中的基本工具。它用同调代数的语言将一个（塞尔）纤维化的全空间 E 的奇异（上）同调表示为底空间 B 和纤维 F 的（上）同调。此结论属于让-皮埃尔·塞尔的博士论文。
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表述[编辑]
令
是拓扑空间的一个塞尔纤维化，F 是其纤维。结论用谱序列和标准记号表示。在没有简化假设时，记号必须正确地理解。上同调谱序列[编辑]
塞尔上同调谱序列为：
E2pq = Hp(B, Hq(F))
Hp+q(E).这里，至少在标准简化条件下，E2-项中的系数群是 F 的第 q 个整上同调群，外面的群是 B 的系数取值于这个群的奇异上同调。
严格地说，这表示关于 B 上由不同的纤维的上同调给出的局部系数系统的上同调。如果假设，B 是单连通，便退化为通常的上同调。对一个道路连通底空间，所有不同的纤维是同伦等价的。特别的，它们的同调是同构的，所以纤维的选取没有歧义。
收敛项表示整个空间的整上同调。
其中有乘法结构
在 E2-项上与 qs-倍上积重合，且关于乘法结构，dr 是（分次）导子，由 Er-页的乘法结构诱导了 Er-页的乘法结构。
同调谱序列[编辑]
类似于上同调谱序列，有同调谱序列：
E2pq = Hp(B, Hq(F))
Hp+q(E),这里的记号与上一节对偶。
这事实上是更一般的单纯集的纤维化的塞尔谱序列的一个特例。如果 f 是一个单纯集的纤维化（一个阚纤维化（Kan fibration）），使得
，单纯集 B 的第一同伦群，消失，则有正好和上面一样的谱序列。（利用将任何拓扑空间的单纯形相伴为一个拓扑空间的纤维化的函子，我们得到上面的序列）。参考文献[编辑]
塞尔谱序列包含于代数拓扑学的一般教材中，例如：
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- Allen Hatcher, The Serre spectral sequence
- Edwin Spanier, Algebraic topology, Springer
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单纯集情形可参见：
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- P. Goerss, R. Jardine, Simplicial homotopy theory, Birkhäuser
分类：
代数几何[编辑]
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代数几何是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点，而现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。
代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。
代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。
进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支：
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20世纪以来，代数几何主流的许多进展都在抽象代数的框架内进行，越发强调代数簇“内蕴的”性质，即那些不取决于代数簇在射影空间的具体嵌入方式的性质，与拓扑学、微分几何及复几何等学科的发展相应。抽象代数几何的一大关键成就是格罗滕迪克的概形论；概形论允许人们应用层论研究代数簇，某种意义上与应用层论研究微分流形与解析流形是否相似。概形论延伸了点的概念。在经典代数几何中，根据希尔伯特零点定理，一个仿射代数簇的一点对应于坐标环上的一个极大理想，仿射概形上的子簇则对应于坐标环的素理想。而在概型论中，概型的点集包含了经典情况代数簇的点集，以及所有子簇的信息。这种方法使得经典代数几何（主要涉及闭点）同时联系起了微分几何、数论等主流分支的问题研究。
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联立多项式的零点[编辑]
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球和倾斜的圆周[size][ltr]
在古典代数几何中，主要的研究对象是一组多项式的公共零点集，即同时满足一个或多个多项式方程的所有点组成的集合。 例如，在三维欧几里德空间
中的单位球面被定义为满足方程
的所有点
的集合。
一个 "倾斜的" 圆周在三维欧几里德空间中可以被定义为同时满足如下两个方程
，
的所有点的集合。
仿射簇[编辑]
现在我们开始进入稍微抽象的领域。考虑一个数域 k，在古典代数几何中这个域通常是复数域C，现在我们把它推广为一个代数封闭的数域。我们定义数域 k上的 n维仿射空间
，简单讲来，它只是一些点的集合，以下为方便我们简记为
。
如果函数
可以被写为多项式，即如果有多项式p在
k[x1,...,xn] 上，
对上的每个点
(t1,...,tn)
都有
f(t1,...,tn) = p(t1,...,tn)，定义这个函数是正则的。
n维仿射空间的正则函数正是数域 k上n个变量的多项式。我们将上的正则函数记为 
。
正则函数[编辑]
仿射簇范畴[编辑]
射影空间[编辑]
现代的观点[编辑]
与数论的关系;Hodge 结构[编辑]
极小模型与双有理几何[编辑]
与拓扑场论的关系[编辑]
拓扑场论是数学物理中对sigma 模型（sigma model）的场做路径积分量子化的理论。
sigma 模型是从一个实二维曲面到一个固定空间的映射，再加上此二维曲面上一些丛的平滑截面。其中映射部份被称为玻色场（boson field），截面部份被称为费米场（fermi field）。该理论的主要目的是通过路径积分计算配分函数 （partition function）。
在一些特殊情况下，可以用局部化方法把配分函数原在无限维空间的积分化简为在有限维空间的积分。对不同的作用量（action）而言，这个过程给出了代数几何的几种计数理论，包括：
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IIB型弦论则利用了 Hodge 结构的形变来计算。
注解[编辑]
参见[编辑]
参考书目[编辑]
经典教科书，先于概形:
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不使用概形的语言的现代教科书:
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关于概形的教科书和参考书:
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互联网上的资料:
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分类：
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代数几何[编辑]
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代数几何是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点，而现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。
代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。
代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。
进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支：
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- 研究代数簇中，坐标在有理数域或代数数域里的点；这一分支发展成算术几何（更经典地，丢番图几何），属于代数数论的分支。
- 研究代数簇的实点，即实代数几何。
- 奇点理论的一大部分致力于研究代数簇中的奇异点，及关于奇异点的解消的存在性和方法。
- 代数簇的上同调理论，如晶体上同调、平展上同调、以及Motive上同调。
- 几何不变量理论，起始于戴维·芒福德在二十世纪六十年代的研究，其思想起源于大卫·希尔伯特的古典不变量理论。
- 随着计算机的兴起，计算代数几何作为代数几何与符号运算两支的交叉而崭露头角。这一分支本质上包含开发算法和软件与寻找显代数簇的性质这两项工作。
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20世纪以来，代数几何主流的许多进展都在抽象代数的框架内进行，越发强调代数簇“内蕴的”性质，即那些不取决于代数簇在射影空间的具体嵌入方式的性质，与拓扑学、微分几何及复几何等学科的发展相应。抽象代数几何的一大关键成就是格罗滕迪克的概形论；概形论允许人们应用层论研究代数簇，某种意义上与应用层论研究微分流形与解析流形是否相似。概形论延伸了点的概念。在经典代数几何中，根据希尔伯特零点定理，一个仿射代数簇的一点对应于坐标环上的一个极大理想，仿射概形上的子簇则对应于坐标环的素理想。而在概型论中，概型的点集包含了经典情况代数簇的点集，以及所有子簇的信息。这种方法使得经典代数几何（主要涉及闭点）同时联系起了微分几何、数论等主流分支的问题研究。
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联立多项式的零点[编辑]
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球和倾斜的圆周
在古典代数几何中，主要的研究对象是一组多项式的公共零点集，即同时满足一个或多个多项式方程的所有点组成的集合。 例如，在三维欧几里德空间
中的单位球面被定义为满足方程的所有点
的集合。一个 "倾斜的" 圆周在三维欧几里德空间
中可以被定义为同时满足如下两个方程，的所有点
的集合。仿射簇[编辑]
现在我们开始进入稍微抽象的领域。考虑一个数域 k，在古典代数几何中这个域通常是复数域C，现在我们把它推广为一个代数封闭的数域。我们定义数域 k上的 n维仿射空间
，简单讲来，它只是一些点的集合，以下为方便我们简记为。如果函数
可以被写为多项式，即如果有多项式p在
k[x1,...,xn] 上，
对
上的每个点(t1,...,tn)
都有
f(t1,...,tn) = p(t1,...,tn)，定义这个函数是正则的。
n维仿射空间的正则函数正是数域 k上n个变量的多项式。我们将
上的正则函数记为 。正则函数[编辑]
仿射簇范畴[编辑]
射影空间[编辑]
现代的观点[编辑]
与数论的关系;Hodge 结构[编辑]
极小模型与双有理几何[编辑]
与拓扑场论的关系[编辑]
拓扑场论是数学物理中对sigma 模型（sigma model）的场做路径积分量子化的理论。
sigma 模型是从一个实二维曲面到一个固定空间的映射，再加上此二维曲面上一些丛的平滑截面。其中映射部份被称为玻色场（boson field），截面部份被称为费米场（fermi field）。该理论的主要目的是通过路径积分计算配分函数 （partition function）。
在一些特殊情况下，可以用局部化方法把配分函数原在无限维空间的积分化简为在有限维空间的积分。对不同的作用量（action）而言，这个过程给出了代数几何的几种计数理论，包括：
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IIB型弦论则利用了 Hodge 结构的形变来计算。
注解[编辑]
参见[编辑]
参考书目[编辑]
经典教科书，先于概形:
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- W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe. Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press. 1994. ISBN 0-521-46900-7.
- Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel. Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press. 1994. ISBN 0-521-46901-5.
- Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel. Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press. 1994. ISBN 0-521-46775-6.
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不使用概形的语言的现代教科书:
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- Phillip Griffiths; Joe Harris. Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. 1994. ISBN 0-471-05059-8.
- Joe Harris. Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-97716-3.
- David Mumford. Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties 2nd ed. Springer-Verlag. 1995. ISBN 3-540-58657-1.
- Miles Reid. Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. 1988. ISBN 0-521-35662-8.
- Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space 2nd ed. Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-54812-2.
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关于概形的教科书和参考书:
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- David Eisenbud; Joe Harris. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 0-387-98637-5.
- 亚历山大·格罗滕迪克. 代数几何基础. Publications mathématiques de l'IHÉS. 1960.
- 亚历山大·格罗滕迪克. 代数几何基础 1 2nd ed. Springer-Verlag. 1971. ISBN 3-540-05113-9.
- Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997. ISBN 0-387-90244-9.
- David Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians 2nd ed. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-63293-X.
- Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-54812-2.
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互联网上的资料:
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- Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System
- Algebraic geometry entry on PlanetMath
- Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations
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分类：
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 07:47
同调代数[编辑]
[ltr]同调代数是数学的一个分支，它研究同调与上同调技术的一般框架。
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简述[编辑]
同调代数是一门相对年轻的学科，其源头可追溯到代数拓扑（单纯形同调）与抽象代数（合冲模）在十九世纪末的发展，这两门理论各自由庞加莱与希尔伯特开创。
同调代数的发展与范畴论的出现密不可分。大致说来，同调代数是（上）同调函子及其代数结构的研究。“同调”与“上同调”是一对对偶的概念，它们满足的范畴论性质相反（即：箭头反向）。数学很大一部分的内在构造可藉链复形理解，其性质则以同调与上同调的面貌展现，同调代数能萃取这些链复形蕴含的资讯，并表之为拓扑空间、层、群、环、李代数与C*-代数等等“具体”对象的（上）同调不变量。谱序列是计算这些量的有力工具。
同调代数肇始即在代数拓扑中扮演要角。其影响日渐扩大，目前已遍及交换代数、代数几何、代数数论、表示理论、算子代数、偏微分方程与非交换几何。K-理论是一门独立的学科，它也采用同调代数的办法。
主要对象：链复形[编辑]
主条目：链复形
同调代数领域的基本对象是一个链复形。这是一个由交换群、模或更广义地说是由一个阿贝尔范畴的对象组成的序列 A0, A1, A2……。它们通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的合成 为零：对所有 n 有 dn o dn+1 = 0 （有时迳写作 
）
链复形的同调群定义为：
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链复形概念的一个对偶版本是上链复形。一个上链复形是个序列 A0, A1, A2……。它们由一系列同态dn : An→An+1相连，使得任何两个接连的映射的合成为零：对所有 n 有dn+1 o dn = 0：
关于链复形的种种定义可以照搬至上链复形；实质上，我们仅须将原定义中的所有箭头反转。例如上链复形的上同调群定义为：
形式地说，同调代数可定义为链复形与上链复形的抽象研究。以下我们将看到它的具体根源。
溯源[编辑]
代数拓扑学的黎明[编辑]
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环面上的两种闭曲线，它们都无法表成区域的边界。[size][ltr]
同调代数的根源之一在代数拓扑，而后者的历史则可上溯至十九世纪中。早在黎曼关于阿贝尔簇的工作中，就已考虑过黎曼曲面上的闭曲线是否为一块区域的边界的问题；根据斯托克斯定理，闭形式在这类闭曲线上的积分恒为零，而这类曲线的多寡显然牵涉到曲面的拓扑性状。黎曼依此定义了“连通数”——用现代的语言表述即是
，此量关系到黎曼曲面的亏格，直观地理解便是曲面上有几个“洞”。
庞加莱在1895年的经典论文 Analysis Situs 及其后续工作真正奠定了代数拓扑学的基础。他考虑的对象是后来所谓的单纯复形，这类空间在同胚的意义下可剖分为多面体，它包含了微分拓扑中处理的大多数有限维空间。庞加莱考虑一个单纯复形 中各种维度的单纯形（零维的点、一维的线、二维的三角形、三维的四面体等等）的整系数线性组合，称之为链，它们构成一系列的阿贝尔群 
，其中下标代表维度。庞加莱还定义了一个边界映射 
，它在单纯形上的作用是将 
维单纯形的 
维边界取适当正负号后作线性组合；彼此差个边界的链在拓扑上称作同调的，这也是同调代数的词源。庞加莱证明 
，于是我们有以下链复形
定义 的贝蒂数与欧拉示性数：
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单纯复形的例子：八面体，它有6个顶点、12个边和8个面[size][ltr]
这两个量都与空间 的剖分方式无关，仅决定于空间的伦型。起初庞加莱只考虑数值不变量；在1925年，埃米·诺特于一份只有14行的报告中指出：根本的不变量是阿贝尔群 
，而不仅仅是它派生的非负整数 
；群结构能给出更细的拓扑资讯，而空间的连续映射能导出同调群的同态。代数拓扑的风貌从此遂澈底改变。
循此脉络，L. Mayer 在1929年定义了抽象的链复形及其同调群。同调理论自此有了纯代数的框架。
随后十年间，数学家们为各种空间定义了形形色色的同调与上同调，例如在德拉姆上同调中，我们设
为光滑流形 上的 次微分形式，同态 
定义为外微分。无论哪种理论，对同一空间总是给出相同的同调群；塞缪尔·艾伦伯格与诺曼·斯廷罗德在1945年以公理化方法梳理拓扑空间的（上）同调理论，从而证明先前种种理论只是同一个对象的不同面貌。此时同调代数俨然已自成一格了。
此后拓扑学仍不断为同调代数注入动力，例子包括了：
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希尔伯特与合冲模[编辑]
同调代数的另一条线索可以追溯到十九世纪的显学不变量理论与大卫·希尔伯特。希尔伯特为了研究不变量本身、不变量间的关系、以及关系间的关系……，而考虑自由分解的问题：设 为诺特环， 为有限生成的 -模，
希尔伯特基底定理（1888年）. 存在正整数
及满态射 
。
设
，则 
是 的一个有限展示；
称作第一个合冲模（syzygy）。
另一方面， 也是有限生成的，于是存在另一个有限展示
称作第二个合冲模。反复操作遂得到一个 -模的链复形：
其中每个同态的核都是前一个同态的像；用现代语言来说，这乃是 的一个自由分解，长度最短的自由分解称作极小分解。自由分解的好处在于：自由模的不变量很容易计算，而透过自由分解又能适当地拼合各个 
上的资讯，从而推出 的代数性质。这是同调代数的基本技术之一。
希尔伯特合冲定理（1890年）. 上述分解在有限步之内停止；换言之，存在够大的
使得第 个合冲模 
是自由模。当 是域而
时，极小分解的长度不大于 
。
希尔伯特借着一个分次版的合冲定理证明了：在同样条件下，一个有限生成分次模的希尔伯特函数是个多项式；他借此阐明了不变量的个数对次数的关系。希尔伯特考虑的自由分解是投射分解的特例；在现代的同调代数理论中，投射分解及内射分解是定义导函子的基础。
当 是局部环时，极小分解的长度称作 的投射维度，它相当于使下式成立的最小整数 ：
对所有-模的投射维度取极大值，得到的数称为同调维度；同调维度等于 
当且仅当 是正则局部环；在这个意义下，可以说极小分解反映了几何性质。合冲模也是计算代数几何中的重要方法。
嘉当-艾伦伯格革命[编辑]
昂利·嘉当与塞缪尔·艾伦伯格在1956年出版的著作 Homological Algebra 标示了同调代数的成熟。书中的概念与工具影响之深广，成为各领域数学家们不可须臾离的生活资料。以下举出数点例子：
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一直到 1970 年代，嘉当与艾伦伯格的著作都是同调代数的圣经，同时期受欢迎的教本还有麦克兰恩的 Homology，格罗滕迪克的《代数几何基础》与东北论文。
嘉当在1980年接受牛津大学荣誉博士时，曾用拉丁文写下这么一段话：
…… utinam intelligere possim rationacinationes pulcherrimas quae e propositione concisa DE QUADRATUM NIHILO EXAEQUARI fluunt ……但愿我能理解 这个简洁公式的美妙推论 [1]
格罗滕迪克的东北论文[编辑]
更多资料：阿贝尔范畴
亚历山大·格罗滕迪克在1955年左右对韦伊猜想发生兴趣，而真正勾动他的是此猜想的上同调表述；格罗滕迪克为此开始研习同调代数，当时嘉当-艾伦伯格的书尚未出版。嘉当与艾伦伯格仅考虑模构成的范畴。格罗滕迪克在1956年一封给塞尔的信中写道：
我了解到，如果能在比模更广的范畴上制定导函子理论，则可轻易获得空间的上同调。存在性来自一个一般的判准，而细层将扮演内射模的角色。基本谱序列将成为一些有用且可爱的一般谱序列的特例。但我不确定这在不可分空间上管不管用，而且我也想起你怀疑维度
时是否存在上同调正合序列。也许这在嘉当-艾伦伯格的书里多少都有明确表述，但我还无缘一读。（1955年2月26日）[2]
这封信铺陈了后来所谓东北论文的梗概。空间的上同调系指层上同调，当时是以 Čech上同调或细层分解定义的；而所谓细层是一类带有单位分解的层，因此只在仿紧空间（当时称作可分空间）上有细层分解；这对微分几何与复几何不成问题，但对一般的代数簇则是致命缺陷。塞尔回复道：
“嘉当-艾伦伯格的书中并未以导函子演绎层上同调（至少在仿紧的情形）。嘉当意识到这个问题，并吩咐 Buchsbaum 去做，但看来他还没做出来。主要的兴趣应在于找出我们需要的细层性质，依此可以判断不可分空间上是否有够多细层（我想答案是否定的，但我一点也不确定！）。” （1955年3月12日）[3]
格罗滕迪克遂着手重写同调代数的基础。
这条思路在他于1957年发表于《东北数学杂志》的论文 Sur quelques points d'algèbre homologique 中开花结果。原本区区数页的简单定义变为 102 页的范畴论论证，谣传他因此花了两年才找到地方刊登；但后续发展证明他的努力与收获是相称的。论文提出的重要观念如下：
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格罗滕迪克借此将层上同调化为导函子的特例，阿贝尔范畴也成为同调代数的标准语言。
导范畴[编辑]
更多资料：导范畴
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八角形公理图解，它是三角范畴最难理解的公理之一。[size][ltr]
格罗滕迪克在1961年左右面临一个技术瓶颈：为了为任意概形上的凝聚层建立对偶定理，必须为同调代数发展新工具。这个任务由他的学生让-路易·韦迪耶（Jean-Louis Verdier）完成了。
Verdier 在 1967 年的博士论文 Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes 中引入了三角范畴与导范畴的观念。约略地说，三角范畴是一种能制造长正合序列与上同调函子的范畴；一个阿贝尔范畴
上的链复形范畴 
便是一例。其次，我们等同 中同伦等价的态射，从而得到商范畴 
，它仍然具备三角范畴的结构；最后，建构 对拟同构的局部化以获得导范畴 
，换言之即是为所有拟同构添加逆态射。
假设 有够多内射元，则在导范畴里同样可以定义左正合函子 的右导函子 
，它与古典定义 
的关系由下式给出：
假设左正合函子 将内射对象映至 的非循环对象，此时格罗滕迪克谱序列化作格外简明的形式：
对右正合函子也有相应的结果。尽管谱序列在导范畴的进路中不是那么根本，但在具体计算时仍占一席之地。
Verdier 藉这套语言证明了 Verdier对偶定理，这是庞加莱对偶定理的深远推广，适用于任何局部紧有限维拓扑空间。导范畴的应用仍在不断扩大中；在代数几何之外，导范畴理论的最大成功之一是证明了任意维度的黎曼-希尔伯特对应。
Verdier 直到1996年才出版他的博士论文，此前导范畴的第一手资料是由他执笔的 SGA 4½ 末章：Catégories dérivées (état 0)。
单纯形法[编辑]
庞加莱研究拓扑的方法是将空间剖分为多面体，这时空间的拓扑性质完全决定于这些点、线、面……等等[“单纯形”及其间的相交关系。将这套方法抽象化，便可对任何范畴 定义单纯形对象（及其对偶上单纯形对象）。在 为集合范畴的情形特别有用，此时的单纯形对象称为单纯形集合（及其对偶上单纯形集合）。对单纯形集合可定义其几何实现，这是一个CW-复形。对于来自一个源自拓扑空间的单纯形集合，几何实现不外是将空间“拼回去”；而对源于代数构造的单纯形集，几何实现则能用以构造分类空间。在单纯形集合上可以抽象地开展同伦论的研究。
另一方面，若取 为一阿贝尔范畴，对任一单纯形对象 皆可定义一个链复形 
。此时单纯形对象与链复形的关系由以下定理阐明：
Dold-Kan 对应定理（1957年）. 函子 给出范畴间的等价
{ 中的单纯形对象 } 
{ 上的链复形 
，并满足 
}
透过这个对应，单纯形集合理论可助同调代数一臂之力，例如我们可借此定义更广义的导函子，或得到某类对象的典范分解。
非交换理论[编辑]
源于同调论的古典同调代数只给出“可交换”的资讯。对于空间 上的非交换群层 ，古典方法只能定义第一个上同调 
；这个集合分类了 上的扭子。数学家们尝试定义高阶的非交换上同调，这方面的理论常牵涉到同伦理论、单纯形集合，或者高阶的范畴论（如叠论）。
同调代数与同伦代数[编辑]
就模型范畴的观点，同调代数可被视为同伦理论的一支。这是 Daniel Quillen 将模型范畴理论称作同伦代数的原因 。
参考资料[编辑]
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外部链接[编辑]
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文献[编辑]
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[ltr]同调代数是数学的一个分支，它研究同调与上同调技术的一般框架。
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简述[编辑]
同调代数是一门相对年轻的学科，其源头可追溯到代数拓扑（单纯形同调）与抽象代数（合冲模）在十九世纪末的发展，这两门理论各自由庞加莱与希尔伯特开创。
同调代数的发展与范畴论的出现密不可分。大致说来，同调代数是（上）同调函子及其代数结构的研究。“同调”与“上同调”是一对对偶的概念，它们满足的范畴论性质相反（即：箭头反向）。数学很大一部分的内在构造可藉链复形理解，其性质则以同调与上同调的面貌展现，同调代数能萃取这些链复形蕴含的资讯，并表之为拓扑空间、层、群、环、李代数与C*-代数等等“具体”对象的（上）同调不变量。谱序列是计算这些量的有力工具。
同调代数肇始即在代数拓扑中扮演要角。其影响日渐扩大，目前已遍及交换代数、代数几何、代数数论、表示理论、算子代数、偏微分方程与非交换几何。K-理论是一门独立的学科，它也采用同调代数的办法。
主要对象：链复形[编辑]
主条目：链复形
同调代数领域的基本对象是一个链复形
。这是一个由交换群、模或更广义地说是由一个阿贝尔范畴的对象组成的序列 A0, A1, A2……。它们通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的合成 为零：对所有 n 有 dn o dn+1 = 0 （有时迳写作 ）链复形的同调群定义为：
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- 同调群皆为零的链复形称作正合的。
- 两个链复形 、 之间的链映射是一族同态 ，使之满足： ；全体链复形依此构成一范畴。链映射诱导出同调群的映射。
- 对链映射可以定义同伦的概念，这是拓扑学的同伦在代数框架下的翻译。同伦的链映射在同调群上诱导出相同的映射。
- 在同调群上诱导出同构的链映射称作拟同构。
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链复形概念的一个对偶版本是上链复形。一个上链复形
是个序列 A0, A1, A2……。它们由一系列同态dn : An→An+1相连，使得任何两个接连的映射的合成为零：对所有 n 有dn+1 o dn = 0：关于链复形的种种定义可以照搬至上链复形；实质上，我们仅须将原定义中的所有箭头反转。例如上链复形的上同调群定义为：
形式地说，同调代数可定义为链复形与上链复形的抽象研究。以下我们将看到它的具体根源。
溯源[编辑]
代数拓扑学的黎明[编辑]
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环面上的两种闭曲线，它们都无法表成区域的边界。
同调代数的根源之一在代数拓扑，而后者的历史则可上溯至十九世纪中。早在黎曼关于阿贝尔簇的工作中，就已考虑过黎曼曲面上的闭曲线是否为一块区域的边界的问题；根据斯托克斯定理，闭形式在这类闭曲线上的积分恒为零，而这类曲线的多寡显然牵涉到曲面的拓扑性状。黎曼依此定义了“连通数”——用现代的语言表述即是
，此量关系到黎曼曲面的亏格，直观地理解便是曲面上有几个“洞”。庞加莱在1895年的经典论文 Analysis Situs 及其后续工作真正奠定了代数拓扑学的基础。他考虑的对象是后来所谓的单纯复形，这类空间在同胚的意义下可剖分为多面体，它包含了微分拓扑中处理的大多数有限维空间。庞加莱考虑一个单纯复形
中各种维度的单纯形（零维的点、一维的线、二维的三角形、三维的四面体等等）的整系数线性组合，称之为链，它们构成一系列的阿贝尔群 ，其中下标代表维度。庞加莱还定义了一个边界映射 ，它在单纯形上的作用是将 维单纯形的 维边界取适当正负号后作线性组合；彼此差个边界的链在拓扑上称作同调的，这也是同调代数的词源。庞加莱证明 ，于是我们有以下链复形定义
的贝蒂数与欧拉示性数：[/ltr][/size]
单纯复形的例子：八面体，它有6个顶点、12个边和8个面
这两个量都与空间
的剖分方式无关，仅决定于空间的伦型。起初庞加莱只考虑数值不变量；在1925年，埃米·诺特于一份只有14行的报告中指出：根本的不变量是阿贝尔群 ，而不仅仅是它派生的非负整数 ；群结构能给出更细的拓扑资讯，而空间的连续映射能导出同调群的同态。代数拓扑的风貌从此遂澈底改变。循此脉络，L. Mayer 在1929年定义了抽象的链复形及其同调群。同调理论自此有了纯代数的框架。
随后十年间，数学家们为各种空间定义了形形色色的同调与上同调，例如在德拉姆上同调中，我们设
为光滑流形 上的 次微分形式，同态 定义为外微分。无论哪种理论，对同一空间总是给出相同的同调群；塞缪尔·艾伦伯格与诺曼·斯廷罗德在1945年以公理化方法梳理拓扑空间的（上）同调理论，从而证明先前种种理论只是同一个对象的不同面貌。此时同调代数俨然已自成一格了。此后拓扑学仍不断为同调代数注入动力，例子包括了：
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- 万有系数定理：关系到函子
与 
。这个定理告诉我们如何从系数为 
的（上）同调群决定任意系数的情形。 - 非球空间的上同调群：它们可由基本群的群上同调算出，这也是一种Ext函子。
- 李群的上同调群：由其李代数决定，由此催生了李代数上同调理论。
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希尔伯特与合冲模[编辑]
同调代数的另一条线索可以追溯到十九世纪的显学不变量理论与大卫·希尔伯特。希尔伯特为了研究不变量本身、不变量间的关系、以及关系间的关系……，而考虑自由分解的问题：设
为诺特环， 为有限生成的 -模，希尔伯特基底定理（1888年）. 存在正整数
及满态射 。设
，则 是 的一个有限展示； 称作第一个合冲模（syzygy）。另一方面，
也是有限生成的，于是存在另一个有限展示 称作第二个合冲模。反复操作遂得到一个 -模的链复形：其中每个同态的核都是前一个同态的像；用现代语言来说，这乃是
的一个自由分解，长度最短的自由分解称作极小分解。自由分解的好处在于：自由模的不变量很容易计算，而透过自由分解又能适当地拼合各个 上的资讯，从而推出 的代数性质。这是同调代数的基本技术之一。希尔伯特合冲定理（1890年）. 上述分解在有限步之内停止；换言之，存在够大的
使得第 个合冲模 是自由模。当 是域而 时，极小分解的长度不大于 。希尔伯特借着一个分次版的合冲定理证明了：在同样条件下，一个有限生成分次模的希尔伯特函数是个多项式；他借此阐明了不变量的个数对次数的关系。希尔伯特考虑的自由分解是投射分解的特例；在现代的同调代数理论中，投射分解及内射分解是定义导函子的基础。
当
是局部环时，极小分解的长度称作 的投射维度，它相当于使下式成立的最小整数 ：对所有
-模的投射维度取极大值，得到的数称为同调维度；同调维度等于 当且仅当 是正则局部环；在这个意义下，可以说极小分解反映了几何性质。合冲模也是计算代数几何中的重要方法。嘉当-艾伦伯格革命[编辑]
昂利·嘉当与塞缪尔·艾伦伯格在1956年出版的著作 Homological Algebra 标示了同调代数的成熟。书中的概念与工具影响之深广，成为各领域数学家们不可须臾离的生活资料。以下举出数点例子：
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- 投射模与内射模
- 左正合函子与右正合函子
- 投射分解与内射分解，并由此定义一个函子的导函子。
- 将Tor函子与Ext函子分别定义为
与 
的右导函子与左导函子，并探讨了同调维度。 - 介绍了谱序列，并用以计算 Tor 与 Ext。
- 链复形的嘉当-艾伦伯格分解与超上同调，可视为导范畴的滥觞。
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一直到 1970 年代，嘉当与艾伦伯格的著作都是同调代数的圣经，同时期受欢迎的教本还有麦克兰恩的 Homology，格罗滕迪克的《代数几何基础》与东北论文。
嘉当在1980年接受牛津大学荣誉博士时，曾用拉丁文写下这么一段话：
…… utinam intelligere possim rationacinationes pulcherrimas quae e propositione concisa DE QUADRATUM NIHILO EXAEQUARI fluunt ……但愿我能理解
这个简洁公式的美妙推论 [1]格罗滕迪克的东北论文[编辑]
更多资料：阿贝尔范畴
亚历山大·格罗滕迪克在1955年左右对韦伊猜想发生兴趣，而真正勾动他的是此猜想的上同调表述；格罗滕迪克为此开始研习同调代数，当时嘉当-艾伦伯格的书尚未出版。嘉当与艾伦伯格仅考虑模构成的范畴。格罗滕迪克在1956年一封给塞尔的信中写道：
我了解到，如果能在比模更广的范畴上制定导函子理论，则可轻易获得空间的上同调。存在性来自一个一般的判准，而细层将扮演内射模的角色。基本谱序列将成为一些有用且可爱的一般谱序列的特例。但我不确定这在不可分空间上管不管用，而且我也想起你怀疑维度
时是否存在上同调正合序列。也许这在嘉当-艾伦伯格的书里多少都有明确表述，但我还无缘一读。（1955年2月26日）[2]这封信铺陈了后来所谓东北论文的梗概。空间的上同调系指层上同调，当时是以 Čech上同调或细层分解定义的；而所谓细层是一类带有单位分解的层，因此只在仿紧空间（当时称作可分空间）上有细层分解；这对微分几何与复几何不成问题，但对一般的代数簇则是致命缺陷。塞尔回复道：
“嘉当-艾伦伯格的书中并未以导函子演绎层上同调（至少在仿紧的情形）。嘉当意识到这个问题，并吩咐 Buchsbaum 去做，但看来他还没做出来。主要的兴趣应在于找出我们需要的细层性质，依此可以判断不可分空间上是否有够多细层（我想答案是否定的，但我一点也不确定！）。” （1955年3月12日）[3]
格罗滕迪克遂着手重写同调代数的基础。
这条思路在他于1957年发表于《东北数学杂志》的论文 Sur quelques points d'algèbre homologique 中开花结果。原本区区数页的简单定义变为 102 页的范畴论论证，谣传他因此花了两年才找到地方刊登；但后续发展证明他的努力与收获是相称的。论文提出的重要观念如下：
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- 阿贝尔范畴的公理
- δ-函子与泛δ-函子
- 相对于一个函子的非循环对象：例如仿紧空间上的细层之于截面函子。
- 格罗滕迪克谱序列：涉及如何计算合成函子的导函子，可从此导出嘉当-艾伦伯格书中的许多谱序列与拓扑学中的 Leray 谱序列。
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格罗滕迪克借此将层上同调化为导函子的特例，阿贝尔范畴也成为同调代数的标准语言。
导范畴[编辑]
更多资料：导范畴
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八角形公理图解，它是三角范畴最难理解的公理之一。
格罗滕迪克在1961年左右面临一个技术瓶颈：为了为任意概形上的凝聚层建立对偶定理，必须为同调代数发展新工具。这个任务由他的学生让-路易·韦迪耶（Jean-Louis Verdier）完成了。
Verdier 在 1967 年的博士论文 Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes 中引入了三角范畴与导范畴的观念。约略地说，三角范畴是一种能制造长正合序列与上同调函子的范畴；一个阿贝尔范畴
上的链复形范畴 便是一例。其次，我们等同 中同伦等价的态射，从而得到商范畴 ，它仍然具备三角范畴的结构；最后，建构 对拟同构的局部化以获得导范畴 ，换言之即是为所有拟同构添加逆态射。假设
有够多内射元，则在导范畴里同样可以定义左正合函子 的右导函子 ，它与古典定义 的关系由下式给出：假设左正合函子
将内射对象映至 的非循环对象，此时格罗滕迪克谱序列化作格外简明的形式：对右正合函子也有相应的结果。尽管谱序列在导范畴的进路中不是那么根本，但在具体计算时仍占一席之地。
Verdier 藉这套语言证明了 Verdier对偶定理，这是庞加莱对偶定理的深远推广，适用于任何局部紧有限维拓扑空间。导范畴的应用仍在不断扩大中；在代数几何之外，导范畴理论的最大成功之一是证明了任意维度的黎曼-希尔伯特对应。
Verdier 直到1996年才出版他的博士论文，此前导范畴的第一手资料是由他执笔的 SGA 4½ 末章：Catégories dérivées (état 0)。
单纯形法[编辑]
庞加莱研究拓扑的方法是将空间剖分为多面体，这时空间的拓扑性质完全决定于这些点、线、面……等等[“单纯形”及其间的相交关系。将这套方法抽象化，便可对任何范畴
定义单纯形对象（及其对偶上单纯形对象）。在 为集合范畴的情形特别有用，此时的单纯形对象称为单纯形集合（及其对偶上单纯形集合）。对单纯形集合可定义其几何实现，这是一个CW-复形。对于来自一个源自拓扑空间的单纯形集合，几何实现不外是将空间“拼回去”；而对源于代数构造的单纯形集，几何实现则能用以构造分类空间。在单纯形集合上可以抽象地开展同伦论的研究。另一方面，若取
为一阿贝尔范畴，对任一单纯形对象 皆可定义一个链复形 。此时单纯形对象与链复形的关系由以下定理阐明：Dold-Kan 对应定理（1957年）. 函子
给出范畴间的等价{
中的单纯形对象 } { 上的链复形 ，并满足 }透过这个对应，单纯形集合理论可助同调代数一臂之力，例如我们可借此定义更广义的导函子，或得到某类对象的典范分解。
非交换理论[编辑]
源于同调论的古典同调代数只给出“可交换”的资讯。对于空间
上的非交换群层 ，古典方法只能定义第一个上同调 ；这个集合分类了 上的扭子。数学家们尝试定义高阶的非交换上同调，这方面的理论常牵涉到同伦理论、单纯形集合，或者高阶的范畴论（如叠论）。同调代数与同伦代数[编辑]
就模型范畴的观点，同调代数可被视为同伦理论的一支。这是 Daniel Quillen 将模型范畴理论称作同伦代数的原因 。
参考资料[编辑]
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- ^ 见文献 Methods of Homological Algebra, Preface
- ^ 见文献 Correspondance Grothendieck-Serre, pp.13-14
- ^ 见文献 Correspondance Grothendieck-Serre, p.15
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外部链接[编辑]
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- Colin McLarty, The Rising Sea: Grotendieck on simplicity and generality I
- Colin MacLarty, Emmy Noether's Set-Theoretic Topology: From Dedekind to the first functors
- Charles Weibel, A History of Homological Algebra
- V.E. Govorov A.V. Mikhalev, Homological Algebra//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104
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文献[编辑]
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- Henri Cartan, Samuel Eilenberg, Homological algebra. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp. ISBN 0-691-04991-2
- Deligne, Pierre; ed. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4½) (1977), Lecture notes in mathematics 569), Berlin; New York: Springer-Verlag, iv+312.
- Alexander Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique. Tôhoku Math. J. (2) 9, 1957, 119--221
- Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Methods of homological algebra. Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
- Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1
- Verdier, Jean-Louis, Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes (1996), Astérisque 239.
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-01, 13:28
16.9 The Batalin–Vilkovisky Formalism
There exists a powerful general formalism for quantizing gauge field theories
which is called the Batalin–Vilkovisky formalism.20 This can be viewed as a
far-reaching generalization of the Lagrange multiplier method. The idea is to
introduce additional ghost fields, antighost fields, and antifields to all kind of
fields. Furthermore, the original classical action functional S is replaced by
the modified action functional
S + S1.
Here, the additional term S1 depends on all kind of fields and antifields.
The key of the Batalin–Vilkovisky formalism is the formulation of a master
equation for S + S1. This is a functional differential equation which is the
consequence of a generalized BRST symmetry. The functional derivatives of
S + S1 in the master equation refer to both fields and antifields. Roughly
speaking, the master equation encodes crucial relations between fields and
antifields. These relations are important for
• an effective renormalization procedure and
• for analyzing the violations of the symmetries of the action by quantum
effects (anomalies).
As an introduction to this, we recommendWeinberg (1995), Vol. 2, Sect. 15.9.
The geometric meaning of the master equation was clarified in the paper by
M. Aleksandrov, M. Kontsevich, A. Schwarz, and O. Zaboronsky, Geometry
of the master equation, Int. J. Mod. Phys. A 12 (1997), 1405–1430.
In modern literature, one calls this the AKSZ master equation.
16.10 A Glance at Quantum Symmetries
Symmetries play a crucial role in the process of quantizing classical theories.
For example, the symmetry properties of functional integrals are very useful
for studying quantum fields:
• The invariance of functional integrals under gauge transformations leads
to identities for the Green’s functions called the Ward–Takehashi identities
and the Taylor–Slavnov identities.
• It is possible that the functional integral related to the action of a classical
field theory does not possess all the symmetry properties of the classical
theory. This leads to the so-called anomalies.
We will study this in Volume V on the physics of the Standard Model. We
recommend the following monographs:
M. Peskin and Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory,
Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1995.
O. Piguet and S. Sorella, Algebraic Renormalization: Perturbative Renormalization,
Symmetries, and Anomalies. Springer, Berlin, 1995.
E. Evans and Y. Kawahigashi, Quantum Symmetries on Operator Algebras,
Clarendon Press, Oxford, 1998.
A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press,
2003.
K. Fujikawa and H. Suzuki, Path Integrals and Quantum Anomalies, Oxford
University Press, 2004.
There exists a powerful general formalism for quantizing gauge field theories
which is called the Batalin–Vilkovisky formalism.20 This can be viewed as a
far-reaching generalization of the Lagrange multiplier method. The idea is to
introduce additional ghost fields, antighost fields, and antifields to all kind of
fields. Furthermore, the original classical action functional S is replaced by
the modified action functional
S + S1.
Here, the additional term S1 depends on all kind of fields and antifields.
The key of the Batalin–Vilkovisky formalism is the formulation of a master
equation for S + S1. This is a functional differential equation which is the
consequence of a generalized BRST symmetry. The functional derivatives of
S + S1 in the master equation refer to both fields and antifields. Roughly
speaking, the master equation encodes crucial relations between fields and
antifields. These relations are important for
• an effective renormalization procedure and
• for analyzing the violations of the symmetries of the action by quantum
effects (anomalies).
As an introduction to this, we recommendWeinberg (1995), Vol. 2, Sect. 15.9.
The geometric meaning of the master equation was clarified in the paper by
M. Aleksandrov, M. Kontsevich, A. Schwarz, and O. Zaboronsky, Geometry
of the master equation, Int. J. Mod. Phys. A 12 (1997), 1405–1430.
In modern literature, one calls this the AKSZ master equation.
16.10 A Glance at Quantum Symmetries
Symmetries play a crucial role in the process of quantizing classical theories.
For example, the symmetry properties of functional integrals are very useful
for studying quantum fields:
• The invariance of functional integrals under gauge transformations leads
to identities for the Green’s functions called the Ward–Takehashi identities
and the Taylor–Slavnov identities.
• It is possible that the functional integral related to the action of a classical
field theory does not possess all the symmetry properties of the classical
theory. This leads to the so-called anomalies.
We will study this in Volume V on the physics of the Standard Model. We
recommend the following monographs:
M. Peskin and Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory,
Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1995.
O. Piguet and S. Sorella, Algebraic Renormalization: Perturbative Renormalization,
Symmetries, and Anomalies. Springer, Berlin, 1995.
E. Evans and Y. Kawahigashi, Quantum Symmetries on Operator Algebras,
Clarendon Press, Oxford, 1998.
A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press,
2003.
K. Fujikawa and H. Suzuki, Path Integrals and Quantum Anomalies, Oxford
University Press, 2004.
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2014-08-20, 03:07
http://www.swarmagents.cn/swarma/detail.php?id=18587
标度论拯救高能物理？
At Multiverse Impasse, a New Theory of Scale
原文地址：http://www.simonsfoundation.org/quanta/20140818-at-multiverse-impasse-a-new-theory-of-scale/
Though galaxies look larger than atoms and elephants appear to outweigh ants, some physicists have begun to suspect that size differences are illusory. Perhaps the fundamental description of the universe does not include the concepts of “mass” and “length,” implying that at its core, nature lacks a sense of scale.
This little-explored idea, known as scale symmetry, constitutes a radical departure from long-standing assumptions about how elementary particles acquire their properties. But it has recently emerged as a common theme of numerous talks and papers by respected particle physicists. With their field stuck at a nasty impasse, the researchers have returned to the master equations that describe the known particles and their interactions, and are asking: What happens when you erase the terms in the equations having to do with mass and length?
Nature, at the deepest level, may not differentiate between scales. With scale symmetry, physicists start with a basic equation that sets forth a massless collection of particles, each a unique confluence of characteristics such as whether it is matter or antimatter and has positive or negative electric charge. As these particles attract and repel one another and the effects of their interactions cascade like dominoes through the calculations, scale symmetry “breaks,” and masses and lengths spontaneously arise.
Similar dynamical effects generate 99 percent of the mass in the visible universe. Protons and neutrons are amalgams — each one a trio of lightweight elementary particles called quarks. The energy used to hold these quarks together gives them a combined mass that is around 100 times more than the sum of the parts. “Most of the mass that we see is generated in this way, so we are interested in seeing if it’s possible to generate all mass in this way,” said Alberto Salvio, a particle physicist at the Autonomous University of Madrid and the co-author of a recent paper on a scale-symmetric theory of nature.
In the equations of the “Standard Model” of particle physics, only a particle discovered in 2012, called the Higgs boson, comes equipped with mass from the get-go. According to a theory developed 50 years ago by the British physicist Peter Higgs and associates, it doles out mass to other elementary particles through its interactions with them. Electrons, W and Z bosons, individual quarks and so on: All their masses are believed to derive from the Higgs boson — and, in a feedback effect, they simultaneously dial the Higgs mass up or down, too.
The new scale symmetry approach rewrites the beginning of that story.
Alessandro Strumia of the University of Pisa, pictured speaking at a conference in 2013, has co-developed a scale-symmetric theory of particle physics called “agravity.”[/size]
“The idea is that maybe even the Higgs mass is not really there,” said Alessandro Strumia, a particle physicist at the University of Pisa in Italy. “It can be understood with some dynamics.”
The concept seems far-fetched, but it is garnering interest at a time of widespread soul-searching in the field. When the Large Hadron Collider at CERN Laboratory in Geneva closed down for upgrades in early 2013, its collisions had failed to yield any of dozens of particles that many theorists had included in their equations for more than 30 years. The grand flop suggests that researchers may have taken a wrong turn decades ago in their understanding of how to calculate the masses of particles.
“We’re not in a position where we can afford to be particularly arrogant about our understanding of what the laws of nature must look like,” said Michael Dine, a professor of physics at the University of California, Santa Cruz, who has been following the new work on scale symmetry. “Things that I might have been skeptical about before, I’m willing to entertain.”
The Giant Higgs Problem
The scale symmetry approach traces back to 1995, when William Bardeen, a theoretical physicist at Fermi National Accelerator Laboratory in Batavia, Ill., showed that the mass of the Higgs boson and the other Standard Model particles could be calculated as consequences of spontaneous scale-symmetry breaking. But at the time, Bardeen’s approach failed to catch on. The delicate balance of his calculations seemed easy to spoil when researchers attempted to incorporate new, undiscovered particles, like those that have been posited to explain the mysteries of dark matter and gravity.
Instead, researchers gravitated toward another approach called “supersymmetry” that naturally predicted dozens of new particles. One or more of these particles could account for dark matter. And supersymmetry also provided a straightforward solution to a bookkeeping problem that has bedeviled researchers since the early days of the Standard Model.
In the standard approach to doing calculations, the Higgs boson’s interactions with other particles tend to elevate its mass toward the highest scales present in the equations, dragging the other particle masses up with it. “Quantum mechanics tries to make everybody democratic,” explained theoretical physicist Joe Lykken, deputy director of Fermilab and a collaborator of Bardeen’s. “Particles will even each other out through quantum mechanical effects.”
This democratic tendency wouldn’t matter if the Standard Model particles were the end of the story. But physicists surmise that far beyond the Standard Model, at a scale about a billion billion times heavier known as the “Planck mass,” there exist unknown giants associated with gravity. These heavyweights would be expected to fatten up the Higgs boson — a process that would pull the mass of every other elementary particle up to the Planck scale. This hasn’t happened; instead, an unnatural hierarchy seems to separate the lightweight Standard Model particles and the Planck mass.
With his scale symmetry approach, Bardeen calculated the Standard Model masses in a novel way that did not involve them smearing toward the highest scales. From his perspective, the lightweight Higgs seemed perfectly natural. Still, it wasn’t clear how he could incorporate Planck-scale gravitational effects into his calculations.
Meanwhile, supersymmetry used standard mathematical techniques, and dealt with the hierarchy between the Standard Model and the Planck scale directly. Supersymmetry posits the existence of a missing twin particle for every particle found in nature. If for each particle the Higgs boson encounters (such as an electron) it also meets that particle’s slightly heavier twin (the hypothetical “selectron”), the combined effects would nearly cancel out, preventing the Higgs mass from ballooning toward the highest scales. Like the physical equivalent of x + (–x) ≈ 0, supersymmetry would protect the small but non-zero mass of the Higgs boson. The theory seemed like the perfect missing ingredient to explain the masses of the Standard Model — so perfect that without it, some theorists say the universe simply doesn’t make sense.
Yet decades after their prediction, none of the supersymmetric particles have been found. “That’s what the Large Hadron Collider has been looking for, but it hasn’t seen anything,” said Savas Dimopoulos, a professor of particle physics at Stanford University who helped develop the supersymmetry hypothesis in the early 1980s. “Somehow, the Higgs is not protected.”
The LHC will continue probing for convoluted versions of supersymmetry when it switches back on next year, but many physicists have grown increasingly convinced that the theory has failed. Just last month at the International Conference of High-Energy Physics in Valencia, Spain, researchers analyzing the largest data set yet from the LHC found no evidence of supersymmetric particles. (The data also strongly disfavors an alternative proposal called “technicolor.”)
The implications are enormous. Without supersymmetry, the Higgs boson mass seems as if it is reduced not by mirror-image effects but by random and improbable cancellations between unrelated numbers — essentially, the initial mass of the Higgs seems to exactly counterbalance the huge contributions to its mass from gluons, quarks, gravitational states and all the rest. And if the universe is improbable, then manyphysicists argue that it must be one universe of many: just a rare bubble in an endless, foaming “multiverse.” We observe this particular bubble, the reasoning goes, not because its properties make sense, but because its peculiar Higgs boson is conducive to the formation of atoms and, thus, the rise of life. More typical bubbles, with their Planck-size Higgs bosons, are uninhabitable.
“It’s not a very satisfying explanation, but there’s not a lot out there,” Dine said.
As the logical conclusion of prevailing assumptions, the multiverse hypothesis has surged in begrudging popularity in recent years. But the argument feels like a cop-out to many, or at least a huge letdown. A universe shaped by chance cancellations eludes understanding, and the existence of unreachable, alien universes may be impossible to prove. “And it’s pretty unsatisfactory to use the multiverse hypothesis to explain only things we don’t understand,” said Graham Ross, an emeritus professor of theoretical physics at the University of Oxford.
The multiverse ennui can’t last forever.
“People are forced to adjust,” said Manfred Lindner, a professor of physics and director of the Max Planck Institute for Nuclear Physics in Heidelberg who has co-authored several new papers on the scale symmetry approach. The basic equations of particle physics need something extra to rein in the Higgs boson, and supersymmetry may not be it. Theorists like Lindner have started asking, “Is there another symmetry that could do the job, without creating this huge amount of particles we didn’t see?”
Wrestling Ghosts
Picking up where Bardeen left off, researchers like Salvio, Strumia and Lindner now think scale symmetry may be the best hope for explaining the small mass of the Higgs boson. “For me, doing real computations is more interesting than doing philosophy of multiverse,” said Strumia, “even if it is possible that this multiverse could be right.”
For a scale-symmetric theory to work, it must account for both the small masses of the Standard Model and the gargantuan masses associated with gravity. In the ordinary approach to doing the calculations, both scales are put in by hand at the beginning, and when they connect in the equations, they try to even each other out. But in the new approach, both scales must arise dynamically — and separately — starting from nothing.
“The statement that gravity might not affect the Higgs mass is very revolutionary,” Dimopoulos said.
A theory called “agravity” (for “adimensional gravity”) developed by Salvio and Strumia may be the most concrete realization of the scale symmetry idea thus far. Agravity weaves the laws of physics at all scales into a single, cohesive picture in which the Higgs mass and the Planck mass both arise through separate dynamical effects. As detailed in June in the Journal of High-Energy Physics, agravity also offers an explanation for why the universe inflated into existence in the first place. According to the theory, scale-symmetry breaking would have caused an exponential expansion in the size of space-time during the Big Bang.
However, the theory has what most experts consider a serious flaw: It requires the existence of strange particle-like entities called “ghosts.” Ghosts either have negative energies or negative probabilities of existing — both of which wreck havoc on the equations of the quantum world.
“Negative probabilities rule out the probabilistic interpretation of quantum mechanics, so that’s a dreadful option,” said Kelly Stelle, a theoretical particle physicist at Imperial College, London, who first showed in 1977 that certain gravity theories give rise to ghosts. Such theories can only work, Stelle said, if the ghosts somehow decouple from the other particles and keep to themselves. “Many attempts have been made along these lines; it’s not a dead subject, just rather technical and without much joy,” he said.
Marcela Carena, a senior scientist at Fermi National Accelerator Laboratory in Batavia, Ill.[/size]
Strumia and Salvio think that, given all the advantages of agravity, ghosts deserve a second chance. “When antimatter particles were first considered in equations, they seemed like negative energy,” Strumia said. “They seemed nonsense. Maybe these ghosts seem nonsense but one can find some sensible interpretation.”
Meanwhile, other groups are crafting their own scale-symmetric theories. Lindner and colleagues have proposed a model with a new “hidden sector” of particles, while Bardeen, Lykken, Marcela Carena and Martin Bauer of Fermilab and Wolfgang Altmannshofer of the Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Canada, argue in an Aug. 14 paper that the scales of the Standard Model and gravity are separated as if by a phase transition. The researchers have identified a mass scale where the Higgs boson stops interacting with other particles, causing their masses to drop to zero. It is at this scale-free point that a phase change-like crossover occurs. And just as water behaves differently than ice, different sets of self-contained laws operate above and below this critical point.
To get around the lack of scales, the new models require a calculation technique that some experts consider mathematically dubious, and in general, few will say what they really think of the whole approach. It is too different, too new. But agravity and the other scale symmetric models each predict the existence of new particles beyond the Standard Model, and so future collisions at the upgraded LHC will help test the ideas.
In the meantime, there’s a sense of rekindling hope.
“Maybe our mathematics is wrong,” Dine said. “If the alternative is the multiverse landscape, that is a pretty drastic step, so, sure — let’s see what else might be.”
标度论拯救高能物理？
At Multiverse Impasse, a New Theory of Scale
原文地址：http://www.simonsfoundation.org/quanta/20140818-at-multiverse-impasse-a-new-theory-of-scale/
Though galaxies look larger than atoms and elephants appear to outweigh ants, some physicists have begun to suspect that size differences are illusory. Perhaps the fundamental description of the universe does not include the concepts of “mass” and “length,” implying that at its core, nature lacks a sense of scale.
This little-explored idea, known as scale symmetry, constitutes a radical departure from long-standing assumptions about how elementary particles acquire their properties. But it has recently emerged as a common theme of numerous talks and papers by respected particle physicists. With their field stuck at a nasty impasse, the researchers have returned to the master equations that describe the known particles and their interactions, and are asking: What happens when you erase the terms in the equations having to do with mass and length?
Nature, at the deepest level, may not differentiate between scales. With scale symmetry, physicists start with a basic equation that sets forth a massless collection of particles, each a unique confluence of characteristics such as whether it is matter or antimatter and has positive or negative electric charge. As these particles attract and repel one another and the effects of their interactions cascade like dominoes through the calculations, scale symmetry “breaks,” and masses and lengths spontaneously arise.
Similar dynamical effects generate 99 percent of the mass in the visible universe. Protons and neutrons are amalgams — each one a trio of lightweight elementary particles called quarks. The energy used to hold these quarks together gives them a combined mass that is around 100 times more than the sum of the parts. “Most of the mass that we see is generated in this way, so we are interested in seeing if it’s possible to generate all mass in this way,” said Alberto Salvio, a particle physicist at the Autonomous University of Madrid and the co-author of a recent paper on a scale-symmetric theory of nature.
In the equations of the “Standard Model” of particle physics, only a particle discovered in 2012, called the Higgs boson, comes equipped with mass from the get-go. According to a theory developed 50 years ago by the British physicist Peter Higgs and associates, it doles out mass to other elementary particles through its interactions with them. Electrons, W and Z bosons, individual quarks and so on: All their masses are believed to derive from the Higgs boson — and, in a feedback effect, they simultaneously dial the Higgs mass up or down, too.
The new scale symmetry approach rewrites the beginning of that story.
Thomas Lin/Quanta Magazine
[size]Alessandro Strumia of the University of Pisa, pictured speaking at a conference in 2013, has co-developed a scale-symmetric theory of particle physics called “agravity.”[/size]
“The idea is that maybe even the Higgs mass is not really there,” said Alessandro Strumia, a particle physicist at the University of Pisa in Italy. “It can be understood with some dynamics.”
The concept seems far-fetched, but it is garnering interest at a time of widespread soul-searching in the field. When the Large Hadron Collider at CERN Laboratory in Geneva closed down for upgrades in early 2013, its collisions had failed to yield any of dozens of particles that many theorists had included in their equations for more than 30 years. The grand flop suggests that researchers may have taken a wrong turn decades ago in their understanding of how to calculate the masses of particles.
“We’re not in a position where we can afford to be particularly arrogant about our understanding of what the laws of nature must look like,” said Michael Dine, a professor of physics at the University of California, Santa Cruz, who has been following the new work on scale symmetry. “Things that I might have been skeptical about before, I’m willing to entertain.”
The Giant Higgs Problem
The scale symmetry approach traces back to 1995, when William Bardeen, a theoretical physicist at Fermi National Accelerator Laboratory in Batavia, Ill., showed that the mass of the Higgs boson and the other Standard Model particles could be calculated as consequences of spontaneous scale-symmetry breaking. But at the time, Bardeen’s approach failed to catch on. The delicate balance of his calculations seemed easy to spoil when researchers attempted to incorporate new, undiscovered particles, like those that have been posited to explain the mysteries of dark matter and gravity.
Instead, researchers gravitated toward another approach called “supersymmetry” that naturally predicted dozens of new particles. One or more of these particles could account for dark matter. And supersymmetry also provided a straightforward solution to a bookkeeping problem that has bedeviled researchers since the early days of the Standard Model.
In the standard approach to doing calculations, the Higgs boson’s interactions with other particles tend to elevate its mass toward the highest scales present in the equations, dragging the other particle masses up with it. “Quantum mechanics tries to make everybody democratic,” explained theoretical physicist Joe Lykken, deputy director of Fermilab and a collaborator of Bardeen’s. “Particles will even each other out through quantum mechanical effects.”
This democratic tendency wouldn’t matter if the Standard Model particles were the end of the story. But physicists surmise that far beyond the Standard Model, at a scale about a billion billion times heavier known as the “Planck mass,” there exist unknown giants associated with gravity. These heavyweights would be expected to fatten up the Higgs boson — a process that would pull the mass of every other elementary particle up to the Planck scale. This hasn’t happened; instead, an unnatural hierarchy seems to separate the lightweight Standard Model particles and the Planck mass.
With his scale symmetry approach, Bardeen calculated the Standard Model masses in a novel way that did not involve them smearing toward the highest scales. From his perspective, the lightweight Higgs seemed perfectly natural. Still, it wasn’t clear how he could incorporate Planck-scale gravitational effects into his calculations.
Meanwhile, supersymmetry used standard mathematical techniques, and dealt with the hierarchy between the Standard Model and the Planck scale directly. Supersymmetry posits the existence of a missing twin particle for every particle found in nature. If for each particle the Higgs boson encounters (such as an electron) it also meets that particle’s slightly heavier twin (the hypothetical “selectron”), the combined effects would nearly cancel out, preventing the Higgs mass from ballooning toward the highest scales. Like the physical equivalent of x + (–x) ≈ 0, supersymmetry would protect the small but non-zero mass of the Higgs boson. The theory seemed like the perfect missing ingredient to explain the masses of the Standard Model — so perfect that without it, some theorists say the universe simply doesn’t make sense.
Yet decades after their prediction, none of the supersymmetric particles have been found. “That’s what the Large Hadron Collider has been looking for, but it hasn’t seen anything,” said Savas Dimopoulos, a professor of particle physics at Stanford University who helped develop the supersymmetry hypothesis in the early 1980s. “Somehow, the Higgs is not protected.”
The LHC will continue probing for convoluted versions of supersymmetry when it switches back on next year, but many physicists have grown increasingly convinced that the theory has failed. Just last month at the International Conference of High-Energy Physics in Valencia, Spain, researchers analyzing the largest data set yet from the LHC found no evidence of supersymmetric particles. (The data also strongly disfavors an alternative proposal called “technicolor.”)
The multiverse hypothesis has surged in begrudging popularity in recent years. But the argument feels like a cop-out to many, or at least a huge letdown.
The implications are enormous. Without supersymmetry, the Higgs boson mass seems as if it is reduced not by mirror-image effects but by random and improbable cancellations between unrelated numbers — essentially, the initial mass of the Higgs seems to exactly counterbalance the huge contributions to its mass from gluons, quarks, gravitational states and all the rest. And if the universe is improbable, then manyphysicists argue that it must be one universe of many: just a rare bubble in an endless, foaming “multiverse.” We observe this particular bubble, the reasoning goes, not because its properties make sense, but because its peculiar Higgs boson is conducive to the formation of atoms and, thus, the rise of life. More typical bubbles, with their Planck-size Higgs bosons, are uninhabitable.
“It’s not a very satisfying explanation, but there’s not a lot out there,” Dine said.
As the logical conclusion of prevailing assumptions, the multiverse hypothesis has surged in begrudging popularity in recent years. But the argument feels like a cop-out to many, or at least a huge letdown. A universe shaped by chance cancellations eludes understanding, and the existence of unreachable, alien universes may be impossible to prove. “And it’s pretty unsatisfactory to use the multiverse hypothesis to explain only things we don’t understand,” said Graham Ross, an emeritus professor of theoretical physics at the University of Oxford.
The multiverse ennui can’t last forever.
“People are forced to adjust,” said Manfred Lindner, a professor of physics and director of the Max Planck Institute for Nuclear Physics in Heidelberg who has co-authored several new papers on the scale symmetry approach. The basic equations of particle physics need something extra to rein in the Higgs boson, and supersymmetry may not be it. Theorists like Lindner have started asking, “Is there another symmetry that could do the job, without creating this huge amount of particles we didn’t see?”
Wrestling Ghosts
Picking up where Bardeen left off, researchers like Salvio, Strumia and Lindner now think scale symmetry may be the best hope for explaining the small mass of the Higgs boson. “For me, doing real computations is more interesting than doing philosophy of multiverse,” said Strumia, “even if it is possible that this multiverse could be right.”
For a scale-symmetric theory to work, it must account for both the small masses of the Standard Model and the gargantuan masses associated with gravity. In the ordinary approach to doing the calculations, both scales are put in by hand at the beginning, and when they connect in the equations, they try to even each other out. But in the new approach, both scales must arise dynamically — and separately — starting from nothing.
“The statement that gravity might not affect the Higgs mass is very revolutionary,” Dimopoulos said.
A theory called “agravity” (for “adimensional gravity”) developed by Salvio and Strumia may be the most concrete realization of the scale symmetry idea thus far. Agravity weaves the laws of physics at all scales into a single, cohesive picture in which the Higgs mass and the Planck mass both arise through separate dynamical effects. As detailed in June in the Journal of High-Energy Physics, agravity also offers an explanation for why the universe inflated into existence in the first place. According to the theory, scale-symmetry breaking would have caused an exponential expansion in the size of space-time during the Big Bang.
However, the theory has what most experts consider a serious flaw: It requires the existence of strange particle-like entities called “ghosts.” Ghosts either have negative energies or negative probabilities of existing — both of which wreck havoc on the equations of the quantum world.
“Negative probabilities rule out the probabilistic interpretation of quantum mechanics, so that’s a dreadful option,” said Kelly Stelle, a theoretical particle physicist at Imperial College, London, who first showed in 1977 that certain gravity theories give rise to ghosts. Such theories can only work, Stelle said, if the ghosts somehow decouple from the other particles and keep to themselves. “Many attempts have been made along these lines; it’s not a dead subject, just rather technical and without much joy,” he said.
Courtesy of Marcela Carena
[size]Marcela Carena, a senior scientist at Fermi National Accelerator Laboratory in Batavia, Ill.[/size]
Strumia and Salvio think that, given all the advantages of agravity, ghosts deserve a second chance. “When antimatter particles were first considered in equations, they seemed like negative energy,” Strumia said. “They seemed nonsense. Maybe these ghosts seem nonsense but one can find some sensible interpretation.”
Meanwhile, other groups are crafting their own scale-symmetric theories. Lindner and colleagues have proposed a model with a new “hidden sector” of particles, while Bardeen, Lykken, Marcela Carena and Martin Bauer of Fermilab and Wolfgang Altmannshofer of the Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Canada, argue in an Aug. 14 paper that the scales of the Standard Model and gravity are separated as if by a phase transition. The researchers have identified a mass scale where the Higgs boson stops interacting with other particles, causing their masses to drop to zero. It is at this scale-free point that a phase change-like crossover occurs. And just as water behaves differently than ice, different sets of self-contained laws operate above and below this critical point.
To get around the lack of scales, the new models require a calculation technique that some experts consider mathematically dubious, and in general, few will say what they really think of the whole approach. It is too different, too new. But agravity and the other scale symmetric models each predict the existence of new particles beyond the Standard Model, and so future collisions at the upgraded LHC will help test the ideas.
In the meantime, there’s a sense of rekindling hope.
“Maybe our mathematics is wrong,” Dine said. “If the alternative is the multiverse landscape, that is a pretty drastic step, so, sure — let’s see what else might be.”
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回复： Quantum Field Theory I
由 一星 2015-01-26, 09:07
Green函数的物理意义
从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。
电源密度与其产生的电势的关系？
应该满足possion方程 ∇2 U=ρ/ε
Green 函数G满足单位点源（或线源）的泊松方程，一般来说G比U容易求，特别在边界面为无限平面、球面等简单的情况下，边值问题的G可以用类似“镜像法”的方法求出。要由G求U，首先要先找出G与U的关系。
格林函数法是物理学中的一个重要函数，是数学物理方程中一种常用的方法。在数学物理方法中,格林函数又称为源函数或影响函数，是英国人G.格林于1828年引入的。
物理学中单体量子理论所使用的格林函数，其定义稍有扩充。它满足方程: (-)(,,)=(-),其中是单粒子哈密顿量,可以包括外场及杂质势等。单格林函数在无序体系研究中有重要应用,例如用平均矩阵近似、相干势近似求态密度。
多体量子理论的格林函数自20世纪60年代以来已成为凝聚态理论研究的有力工具。目前物理当中格林函数常指用于研究大量相互作用粒子组成的体系的多体格林函数。多体格林函数代表某时某地向体系外加一个粒子，又于它时它地出现的几率振幅。格林函数描写粒子的传播行为，又称为传播子。
为了研究多粒子体系在大于绝对零度时的平衡态行为，引入了温度格林函数。由于温度的倒数和虚时间有形式上的对应，温度格林函数也称为虚时间格林函数。为了研究0K的非平衡态行为,[kg2]引入了0K的时间格林函数及闭路格林函数。
在量子场论中计算具体物理过程的矩阵元时，也常出现格林函数，其物理意义也是代表粒子传播的几率振幅。由于多体格林函数=0K时对应于它，所以量子场论中的费因曼图解法（见费因曼图）也可用于多体格林函数。重正化群方法近十年来也用于凝聚态研究中，例如近藤效应、一维导体。
从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。
电源密度与其产生的电势的关系？
应该满足possion方程 ∇2 U=ρ/ε
Green 函数G满足单位点源（或线源）的泊松方程，一般来说G比U容易求，特别在边界面为无限平面、球面等简单的情况下，边值问题的G可以用类似“镜像法”的方法求出。要由G求U，首先要先找出G与U的关系。
格林函数法是物理学中的一个重要函数，是数学物理方程中一种常用的方法。在数学物理方法中,格林函数又称为源函数或影响函数，是英国人G.格林于1828年引入的。
物理学中单体量子理论所使用的格林函数，其定义稍有扩充。它满足方程: (-)(,,)=(-),其中是单粒子哈密顿量,可以包括外场及杂质势等。单格林函数在无序体系研究中有重要应用,例如用平均矩阵近似、相干势近似求态密度。
多体量子理论的格林函数自20世纪60年代以来已成为凝聚态理论研究的有力工具。目前物理当中格林函数常指用于研究大量相互作用粒子组成的体系的多体格林函数。多体格林函数代表某时某地向体系外加一个粒子，又于它时它地出现的几率振幅。格林函数描写粒子的传播行为，又称为传播子。
为了研究多粒子体系在大于绝对零度时的平衡态行为，引入了温度格林函数。由于温度的倒数和虚时间有形式上的对应，温度格林函数也称为虚时间格林函数。为了研究0K的非平衡态行为,[kg2]引入了0K的时间格林函数及闭路格林函数。
在量子场论中计算具体物理过程的矩阵元时，也常出现格林函数，其物理意义也是代表粒子传播的几率振幅。由于多体格林函数=0K时对应于它，所以量子场论中的费因曼图解法（见费因曼图）也可用于多体格林函数。重正化群方法近十年来也用于凝聚态研究中，例如近藤效应、一维导体。
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